一維準周期鑲嵌模型的擴展態(tài)

摘" 要：最近的理論研究發(fā)現(xiàn)，一維準周期鑲嵌模型存在遷移率邊。在該文中，研究該模型的量子輸運，尤其是擴展態(tài)的兩端口電導，模型的輸運相圖、平均值和統(tǒng)計分布。擴展態(tài)的電導并不恒為1，而是有干涉共振條紋，用波函數(shù)的行為解釋這些干涉條紋。該模型的擴展態(tài)能在極強的準周期勢能下存活，通過電導的統(tǒng)計分布，以及與波函數(shù)分形維度的比較，解釋其中的物理圖像。

關鍵詞：準周期鑲嵌模型;擴展態(tài);電導;介觀輸運;量子輸運

中圖分類號：O413" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2095-2945（2024）26-0032-06

Abstract： Recent theoretical studies have found that there is a mobility edge in the one-dimensional quasi-periodic mosaic model. This paper studies the quantum transport of the model， especially the two-port conductance of the extended state， its transport phase diagram， average value and statistical distribution. The conductance of the extended state is not always 1， but there are interference resonance fringes. We explain these interference fringes by the behavior of wave function. The extended state of the model can survive under extremely strong quasi-periodic potential energy. Explain the physical images through the statistical distribution of conductance and the comparison with the fractal dimension of wave function.

Keywords： quasiperiodic mosaic model; extended state; conductance; mesoscopic transport; quantum transport

量子輸運是量子相干效應明顯時發(fā)生的輸運現(xiàn)象，其可以發(fā)生于低溫的普通晶體材料中，也可以發(fā)生于光子晶體等現(xiàn)代量子材料中。量子輸運是微觀粒子（如電子）的波函數(shù)經(jīng)歷晶格和雜質(zhì)相干散射的結(jié)果，因此晶體的細節(jié)，例如周期性或非周期性都會對量子輸運產(chǎn)生很大的影響。根據(jù)標準的固體能帶理論，周期晶格中的波函數(shù)都是擴展的布洛赫波，有良好的導電性。然而，無序會破壞晶格的周期性，同時影響波函數(shù)的擴展性。這個影響與系統(tǒng)的空間維度密切相關[1-2]。在三維晶格中，弱無序不會改變波函數(shù)的擴展性，但強無序會導致金屬-絕緣體相變（或叫“擴展態(tài)-局域態(tài)轉(zhuǎn)變”），能量軸上的相變點稱為遷移率邊。不過，在一維或二維晶格中，任何有限的無序都會使波函數(shù)局域化，從而導致全部狀態(tài)都處于絕緣相[1-2]。這些都是凝聚態(tài)物理中熟知的結(jié)論。

準周期結(jié)構微妙地介于無序和周期之間，是傳統(tǒng)固體電子理論較少研究的對象，其對量子態(tài)的影響是現(xiàn)代凝聚態(tài)物理感興趣的話題。近期最著名的準周期結(jié)構出現(xiàn)在轉(zhuǎn)角石墨烯中，兩層石墨烯之間存在一個非公度角度的時候，晶格形成準周期結(jié)構[3-4]。這個二維準周期結(jié)構會在狄拉克點附近形成平帶，從而有助于超導、強關聯(lián)等豐富物理現(xiàn)象的發(fā)生。

在一維系統(tǒng)中，準周期對波函數(shù)的作用也是近期的一個研究熱點[5]。在著名的Aubry-André-Harper模型（簡稱AAH模型）中，人們在一維緊束縛模型上施加了一個周期勢，但其周期與晶格的周期不公度，從而構成準周期勢。理論研究發(fā)現(xiàn)，如果準周期勢足夠弱的話，即便在一維也能出現(xiàn)擴展態(tài)[6]。當準周期勢能大于臨界值后，本征態(tài)會被局域化。但這個模型中的擴展態(tài)-局域態(tài)轉(zhuǎn)變對能量軸上的所有本征態(tài)是同時發(fā)生的，因此沒有遷移率邊。

最近，Wang等[7]對AAH模型進行了改進，設計了一個被稱為鑲嵌模型的一維結(jié)構，即周期性（周期大于1）地讓格點的勢能為零。這個看似簡單的改變就能讓系統(tǒng)出現(xiàn)遷移率邊：能帶中心為擴展態(tài)，能帶邊緣為局域態(tài)。

在本論文中，對這個鑲嵌模型的量子輸運進行了更細致的理論研究，尤其是其中擴展態(tài)（即金屬態(tài)）的行為。計算了該模型不同參數(shù)下的分形維度和兩端口電導，并詳細討論了其統(tǒng)計漲落和尺寸標度效應。研究發(fā)現(xiàn)擴展態(tài)確實對應著非零的電導，但電導的行為有很多有趣的細節(jié)，例如干涉共振起伏與波函數(shù)的關系。在能帶中心，該模型的擴展態(tài)可以在非常大的勢能強度下存活，但這個過程中，其能帶結(jié)構和電導的統(tǒng)計性質(zhì)會有對應的改變。我們分析和解釋了擴展態(tài)的特征。

1" 模型和方法

許多原來只出現(xiàn)在理論研究中的一維晶格模型，目前已經(jīng)能夠通過冷原子、光晶格等現(xiàn)代實驗方法實現(xiàn)。其中的周期、無序或準周期結(jié)構也能夠通過越來越成熟的技術進行設計和調(diào)控。在本文中，考慮一維晶格中的準周期鑲嵌模型，其緊束縛哈密頓量可以描述為[7]

H=t（cc+H.c.）+2λjnj ， （1）

式中：c（cj）是費米子在第j個格點處的產(chǎn)生（湮滅）算符;nj是該處的粒子數(shù)算符（或勢能算符）。t是最近相鄰格點的跳躍系數(shù)，把其設為1作為能量單位。同時把晶格常數(shù)（最近鄰格點間的距離）設為1作為長度單位。λj是第j個格點上的準周期鑲嵌勢能，由下面的式子給出

λj=λcos[2π（ωj+θ）]，j=mκ

0，其他， （2）

式中：λ是勢能的強度，θ是勢能的空間初相位。參數(shù)ω決定了勢能的周期，如果其是無理數(shù)就能保證勢能周期與晶格周期非公度，形成研究的準周期勢能。如無明確指出，設置θ和ω的值分別為： θ=0，ω=（-1）/2。κ是決定鑲嵌調(diào)制周期的整數(shù)，當κ=1時，即為最初的AAH模型，不具備遷移率邊。當κ≠1時，此時模型有鑲嵌，即可出現(xiàn)遷移率邊[7]。本文中κ=2。取 m=1，2，...，N，此時系統(tǒng)長度為L=κN。對于這個模型，文獻[7]中已經(jīng)給出了不同勢能強度時候的遷移率邊為Ec=±1/λ，也就是說，當能量|E|小于1/λ時，本征態(tài)處于擴展態(tài)，而|E|大于1/λ時的本征態(tài)處于局域態(tài)。有了哈密頓量，就可以通過標準的對角化方法求得本征能量和相應的本征態(tài)。為了表征本征態(tài)的局域化性質(zhì)，引入逆參與率（IPR），其定義式為[7-8]

IPR（m）=Ψm，j， （3）

式中：Ψm，j表示第m個本征態(tài)。典型的擴展態(tài)和局域態(tài)分別對應著IPR接近0和1。通過IPR還可以定義另一個更直觀的量，即分形維度，表達式如下

Γ=- 。 （4）

在一維晶格中，趨于0和1分別對應局域態(tài)和擴展態(tài)。

以上物理量研究的都是孤立晶格中波函數(shù)的性質(zhì)。波函數(shù)的局域化程度會直接影響量子輸運。設想把一定長度的該模型晶格（即研究對象）接上電極，就可以測量其電導。在零溫時，可以利用著名的Landauer 公式來模擬計算此時的電導，其正比于費米子的量子透射率，用格林函數(shù)表達是[9-10]

（5）

式中：e是電子電荷;h是普朗克常數(shù);τ是透射率;ES是測量時研究對象中的費米能。ΓL和ΓR分別是左右電極的譜函數(shù)矩陣，其計算公式為

ΓL/R（Elead）=i（ΣL/R （Elead）-Σ（Elead），（6）

式中：ΣL/R（Elead）是描述左右電極自能的矩陣;Elead是電極中的費米能。Gr（E）和Ga（E）分別是推遲和超前格林函數(shù)，計算公式為

Gr/a（E）=[E-H-Σr/a（Elead）]-1，（7）

式中：H為研究對象的哈密頓量;E為本征能量。

實驗中測到的電導是經(jīng)歷了多個相位相干長度后的平均結(jié)果，這在無序系統(tǒng)中相當于取了不同的無序構型進行平均[11-12]。在這里的準周期結(jié)構中，為了類比無序系統(tǒng)中的無序構型樣本，在其他關鍵模型參數(shù)取定的情況下，采用2種抽樣和平均方式。第一種是在公式（2）中取一組隨機的θ，簡稱為“相位平均”。第二種是在公式（5）中取一組隨機的電極費米能Elead，簡稱為“能量平均”。這2個參數(shù)的改變都能導致電導的漲落。然后就可以得到相應電導的平均值、方差和統(tǒng)計分布，從而獲得量子輸運的更豐富信息。

2" 結(jié)果和討論

首先來研究孤立體系的性質(zhì)，即本征波函數(shù)的分形維數(shù)。由之前的介紹得知，當分形維度Γ趨于1時，模型處于擴展態(tài)，這引發(fā)了筆者對于分形維度與樣本長度之間關系的深入探討。

在圖1中，取勢能強度λ=1，畫出了本征函數(shù)的分形維度Γ作為本征能量E的函數(shù)，不同形狀的點代表了不同的樣品長度。由于計算結(jié)果對于能量原點是對稱的，因此只畫了正能量部分的結(jié)果。圖中第一個明顯的特征是：本征能量的分布并不完全連續(xù)，而是被分割成了幾個子能帶。這是鑲嵌勢能的一個特點[7]。

現(xiàn)在仔細觀察數(shù)值點的細節(jié)?？梢钥吹剑谶w移率邊Ec=1的兩側(cè)，分形維度的尺寸標度確實具有不同的特征。在遷移率邊左側(cè)的本征態(tài)，其分形維度數(shù)值都隨著尺寸N的增加而增大。例如，菱形數(shù)據(jù)點（N=25 600）位于圓形數(shù)據(jù)點（N=400）的上方。因此可以預見在熱力學極限N→∞時，分形維度將趨于1，顯示出明顯的擴展態(tài)行為。另一方面，在遷移率邊右側(cè)的本征態(tài)，其標度行為則是相反的：菱形數(shù)據(jù)點（N=25 600）位于圓形數(shù)據(jù)點（N=400）的下方，也就是分形維度隨著尺寸增大而減小，從而在熱力學極限下趨于0，顯示出標準的局域態(tài)行為。

以上是一個固定λ值時孤立體系的波函數(shù)局域化性質(zhì)，應證了解析計算的結(jié)果。現(xiàn)在轉(zhuǎn)到輸運性質(zhì)。在圖2中，畫出了平均電導隨著樣品能量與勢能的變化的相圖。圖2（a）、圖2（c）、圖2（e）表示電極能量EL的平均的結(jié)果，圖2（b）、圖2（d）、圖2 （f）表示相位偏移θ的平均的結(jié)果。圖2（a）、圖2（b）中的Nx=1 000， 圖2（c）、圖2（d）中的Nx=2 000，圖2（e）、圖2（f）中的Nx=4 000。圖中的淺色和深色分別代表電導接近1和0。首先可以看到，2種平均下亮色的區(qū)域都是一致的，而且這些區(qū)域的范圍并不隨著長度增長而縮小，因此代表了穩(wěn)定的擴展態(tài)。這些擴展態(tài)的分布區(qū)域與分形維度[5]的計算結(jié)果一致。因此，量子輸運確實忠實地體現(xiàn)了波函數(shù)的性質(zhì)。

Nx=1 000，2 000，4 000，朗道電導的平均值L作為樣本中心能量ES和準周期勢強度λ的函數(shù)，圖2（a）（c）（e）表示電極能量EL的改變，圖2（b）（d）（f）表示相位偏移θ的改變。

進一步觀察發(fā)現(xiàn)，淺色區(qū)域的電導盡管都遠大于0，但并不都等于1，而是有起伏，形成精致的干涉共振條紋。其中最顯眼的是ES=0的中心線上的淺色的點，代表了最明顯的共振峰。在相同長度的情況下，共振峰的位置對2種平均都是相同的，但共振峰的個數(shù)隨著長度的增長而增加。

為了更好地理解電導和波函數(shù)之間的對應關系，例如圖2所示的共振峰的來源，比較實空間波函數(shù)的起伏。與電導隨長度變化的關聯(lián)性。為了反映波函數(shù)對于樣品空間的依賴細節(jié)，選取一個位于擴展態(tài)區(qū)域的本征能量，計算波函數(shù)模平方的傅里葉變換，其包含了波函數(shù)實空間漲落的特征性信息。與此同時計算該樣品處于這個費米能時，電導作為樣品長度的依賴關系，并且對其也作傅里葉變換。在圖3中，選取了2個典型的能量，分別用黑線和灰線畫出了這2個量的傅里葉變換?？梢钥吹?，2條曲線在多數(shù)情況下具有相同的峰值位置，這就說明了電導的起伏確實來源于波函數(shù)的起伏，兩者是高度相關的。剩下有少數(shù)峰值不相關，可以歸結(jié)為樣品邊界的散射影響，因為計算波函數(shù)時采用的是固定邊界條件，但計算電導時樣品邊界則連著半無限電極。這2種不同邊界對波函數(shù)的散射，會導致一些不同的相干空間漲落，于是形成不同的傅里葉峰。

上面討論的是電導的平均值，現(xiàn)在來研究其統(tǒng)計漲落。眾所周知，電導的統(tǒng)計性質(zhì)與局域化性質(zhì)密切相關[2，11-12]。在圖4中展現(xiàn)了電極能量改變時電導的統(tǒng)計直方圖，4個子圖對應著依次增大的勢函數(shù)強度λ。在圖4（a）中，極弱勢能時（λ=0.125 63），電導集中分布高度集中在接近1的區(qū)域，也就是接近完美透射的擴展態(tài)。隨著勢能增大，如圖4（b）和圖4（c）所示，電導分布逐漸展寬，直到占滿區(qū)間（0，1）。與此同時，統(tǒng)計分布的重心往低電導方向移動。最后，強勢能時，如圖4（d）所示，電導出現(xiàn)一個峰值接近0的長尾分布。此時盡管電導的平均值比較小，但即便在很長樣品的情況下（例如N=100 000）這個平均值仍然不是0，而且時不時還會出現(xiàn)一些電導遠大于零的統(tǒng)計樣本。這對于只有一個通道、背散射風險很大的一維時間反演模型已經(jīng)非常不容易了[2，11]?？傊藭r系統(tǒng)仍然處于良好定義的擴展態(tài)。與此相反，在|E|gt;1/λ時的局域態(tài)，即便在弱勢能、樣品長度不大的情況下，所有統(tǒng)計樣品的兩端口電導都非常接近零了。

對于周期系統(tǒng)，良好定義的能帶結(jié)構與輸運性質(zhì)之間有良好的對應關系[2-3]。雖然嚴格來說，準周期結(jié)構不具備周期性，但仍然可以用周期結(jié)構來逼近準周期結(jié)構，如斐波那契結(jié)構[5，8]，從而獲得能帶結(jié)構。為了更加深入地理解不同勢能強度下輸運特性與量子態(tài)的內(nèi)在聯(lián)系，利用斐波那契晶格來計算準周期勢能系統(tǒng)的能帶結(jié)構，具體計算方法如下。取一個長度為第n個斐波那契數(shù)Fn的樣本，即L=Fn，此時取公式（2）中勢能的周期參數(shù)ω=ωn=Fn-1/Fn，其是一個有理數(shù)。于是就可以以這個長度為Fn的樣品作為超元胞，按照標準的傅里葉變換來計算能帶結(jié)構，即色散關系E（k）。當n趨于無窮時，ωn也趨于無理數(shù)（-1）/2，從而使得樣品趨于本文研究的準周期勢模型[5，8]。

圖5就是按照這種方法計算的能帶結(jié)構，超元胞長度L=F17=1 597。只畫出了關心的能帶中心附近的幾個子能帶。4個子圖分別對應著圖4中4個子圖的勢能強度λ。在圖5（a）展示的弱勢能情形，子能帶顯示出接近線性的色散關系，并且子帶之間的子帶隙非常小。根據(jù)Thouless公式，電導正比于群速度（即色散關系的斜率）與態(tài)密度的乘積[13]。因此，圖5（a）中的這種能帶結(jié)構，即接近于常數(shù)的群速度與極小的帶隙，在2個因素上都有利于形成較大的電導，并且攜帶較大電導的本征態(tài)稠密地分別在能量軸上。這就是本文在前面的圖4（a）中看到的現(xiàn)象。

隨著勢能的增強，在圖5（b）—圖5（d）中，子能帶變得越來越平，子帶隙也變得越來越大。這種變化趨勢可能會導致量子態(tài)的輸運能力下降。但是，系統(tǒng)通過2個方面的努力來讓自己避免被完全局域化。首先，子能帶在強勢能的時候雖然被壓制得很窄，但其寬度并不是零，這與局域態(tài)有數(shù)量上的明顯差別。其次，子能帶之間變得更密集（阻止態(tài)密度過度降低），以此來彌補群速度降低而給Thouless電導帶來的損失。因此在強勢能情況下，最后的總效果就是，能帶中心仍然存在著擴展態(tài)，但擴展態(tài)之間的子帶隙仍然比弱勢能情況下的更大。這就導致一個現(xiàn)象：當費米面穿過頑強的子能帶時，電導遠大于0;當費米面穿過子帶隙時，電導接近于0。這就造成了在圖4（b）—圖4（d）中顯示的電導漲落增強。

上面這個物理圖像，還可以在更強的勢能強度下得到進一步的印證?？梢钥吹?，在準周期勢λ遠大于帶寬的情形下，這個一維模型在ES=0附近仍然存在擴展態(tài)，這是比較特別的。為了更清楚地看到大λ情況下發(fā)生了什么，在圖6中畫出了E=0附近的分形維度（圖6（a））和電導圖（圖6（b）），但擴大了λ的掃描范圍。從圖6（a）的分形維度可以看到，數(shù)值接近1的擴展態(tài)（淺灰色）在λ接近100的情況下仍然非常頑強地存在著。但與此同時，圖6（b）的電導在λ不到10的時候就接近0（黑色），似乎變成局域態(tài)了。但放大后就能看到，此時是在黑色（電導接近0）的海洋里點綴著淺灰色（電導接近1）的孤立點。

這些現(xiàn)象再一次反映了在圖4和圖5中看到的物理圖像。擴展態(tài)能帶分裂為多個擴展態(tài)子能帶。隨著λ的增加，子能帶逐漸變窄，它們之間的子帶隙則變寬。于是，當掃描能量的時候，如果掃到了子能帶里，就能得到電導接近1;如果掃到了帶隙，就得到電導接近0。這就是圖3中電導分布越來越寬、平均值越來越接近0的原因。但無論如何，只要能量在子能帶里，電導就不會是0，因此也仍然是良好定義的擴展態(tài)。有理由相信，在λ趨于無窮時，仍然會在ES=0附近存在一個無限細的擴展態(tài)子能帶。

3" 結(jié)論

本文研究了一維準周期嵌套模型的量子輸運性質(zhì)，得到以下結(jié)論。

1）擴展態(tài)的電導不為零，且具有隨著能量和勢能強度改變的干涉共振起伏。這些起伏的大部分都與波函數(shù)的起伏對應，少部分來源于界面處的反射與干涉。

2）在主能帶中心，隨著勢能增長，擴展態(tài)一直存在，但能量分布范圍縮小。這種分布可以緩解由于子能隙擴大而導致的態(tài)密度下降，并彌補子能帶變平而導致電導的過度下降。

3）在此過程中，電導的漲落逐漸增大，平均值也在降低，但不為零。原因是擴展態(tài)子帶的帶寬逐漸變?。ǖ粫?yōu)榱悖訋吨饾u變大。于是當費米能碰到子帶（帶隙）的時候就表現(xiàn)為接近1（0）的數(shù)值。

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基金項目：廣東省自然科學基金（2023A1515010698）

第一作者簡介：張彪（1997-），男，碩士研究生。研究方向為量子輸運。

*通信作者：張艷陽（1978-），男，博士，副教授。研究方向為量子輸運。