小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用路徑

數(shù)學(xué)誕生于人們對計數(shù)和計算的需要，人都具有社會性，作為個體融入集體的過程就是人進入社會的過程。社會由千千萬萬個人組成，每個人的認知、經(jīng)歷、觀察和思考都各不相同，要在某一個方向達成一致，要在互助中實現(xiàn)進步和發(fā)展，就要交流和互動。人與人之間的交流和互動是構(gòu)成群體和形成集體的關(guān)鍵，形成了集體后，個體獲得的資源中就有一部分需要上交給集體分配，或者說個體可以用自己需求以外的某一類資源來同其他人交換其他類型的資源，數(shù)學(xué)就是在這種集體分配和等價交換中誕生的，所以數(shù)學(xué)有著深厚的歷史。本文主要以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用為題，從數(shù)學(xué)史的價值定位出發(fā)，在簡單介紹了教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的價值以后，有針對性地探究了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用路徑。

一、數(shù)學(xué)史的價值定位

數(shù)學(xué)史指的是研究數(shù)學(xué)的歷史以及數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，古往今來研究數(shù)學(xué)的人很多，他們研究對象的變化、數(shù)學(xué)認知的變化和對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、公式等的補充，以及在研究數(shù)學(xué)過程中留下的經(jīng)典例題都是數(shù)學(xué)史的組成部分，這些都能在一定程度上反映數(shù)學(xué)乃至社會發(fā)展方向的變化。所以，數(shù)學(xué)史的價值定位就包括數(shù)學(xué)形成規(guī)律的概括、數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的體現(xiàn)、數(shù)學(xué)研究精神的總結(jié)和民族精神財富的載體。

（一）數(shù)學(xué)形成規(guī)律的概括

數(shù)學(xué)以數(shù)、量、圖形和數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系為主要研究對象，有關(guān)數(shù)、量、圖形的概念和有關(guān)數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系的規(guī)律是數(shù)學(xué)知識的主要構(gòu)成，而不管是知識概念還是知識規(guī)律，其形成的過程都必然遵循著一定的規(guī)律。所有數(shù)學(xué)知識都是在解決問題的需要下，經(jīng)過立足問題本身的嚴謹推理和實踐證明得出的正確結(jié)論，一些同類或關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識在形成的過程中可能就遵循的是相同或相似的規(guī)律，所以數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)形成規(guī)律的概括。

（二）數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的體現(xiàn)

學(xué)科本質(zhì)是劃分學(xué)科系統(tǒng)化知識體系邊界的特定性質(zhì)，可以從學(xué)術(shù)分類、知識體系、學(xué)術(shù)組織等多個角度解釋，基礎(chǔ)教育課程體系中的所有學(xué)生都是垂直學(xué)科，每一門學(xué)科內(nèi)的知識都密切關(guān)聯(lián)著，且能體現(xiàn)這一學(xué)科區(qū)別于其他學(xué)科的突出性質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)就蘊藏在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)符號與語言中，而數(shù)學(xué)史中也包含概念、思想方法、思維方式和符號、語言的由來，所以數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的體現(xiàn)。

（三）數(shù)學(xué)研究精神的總結(jié)

學(xué)術(shù)研究需要持之以恒地堅持，也需要明確清晰的方向和切實可用的方法。不同知識領(lǐng)域的學(xué)術(shù)研究可能有著不同的指向，自然科學(xué)下一系列分支學(xué)科的研究強調(diào)“實驗與探究”，社會人文類學(xué)科的研究強調(diào)的是“質(zhì)疑和思辨”，而數(shù)學(xué)這一具有實用工具屬性的數(shù)理學(xué)科，在研究中更強調(diào)“邏輯與驗證”，一代又一代的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的探索都建立在基于問題或猜想的推導(dǎo)與反證之上，所以數(shù)學(xué)史還是數(shù)學(xué)研究精神的總結(jié)。

（四）民族精神財富的載體

古代的世界不同于現(xiàn)在，落后的交通工具限制了人們的出行，也限制了各地區(qū)間的文化交流，所以中西方的數(shù)學(xué)研究是割裂的，中國有中國的數(shù)學(xué)史，西方有西方的數(shù)學(xué)史。中國古代對數(shù)學(xué)的研究最早可以追溯到遠古時期，商周時期的人們就已經(jīng)掌握了基本的計數(shù)、測量和幾何，一直到中西方數(shù)學(xué)的相互融合與影響前，古人留下了《九章算術(shù)》《周稗算經(jīng)》《海島算經(jīng)》的數(shù)學(xué)著作，所以數(shù)學(xué)史也可以算是民族精神財富的載體。

二、在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的價值

教育指向的是對學(xué)生知識的建構(gòu)、認知的建構(gòu)、思維的建構(gòu)和能力的培養(yǎng)，而從零開始的建構(gòu)與培養(yǎng)需要經(jīng)歷一個量的積累過程，在積累“量”的過程中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生展開更多與所學(xué)課程相關(guān)的探索，包括課程知識的探索和課程史的探索，所以數(shù)學(xué)史需要在教學(xué)中得到應(yīng)用。從學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的視角看，對數(shù)學(xué)史的合理利用也能起到激發(fā)學(xué)生興趣、拓寬學(xué)生視野、啟發(fā)學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生品格的作用。

（一）借助深厚的歷史底蘊，激發(fā)學(xué)生興趣

小學(xué)生的主動學(xué)習(xí)建立在興趣之上，興趣則來源于好奇心、探索欲和求知欲。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)雖然不會教授太復(fù)雜的知識，但一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念對小學(xué)生而言也顯得有些抽象，這種抽象與小學(xué)生思維邏輯中做主導(dǎo)的具體形象思維相悖，所以很多小學(xué)生都覺得學(xué)數(shù)學(xué)難，學(xué)習(xí)的興趣自然偏低。在將數(shù)學(xué)史引入課堂教學(xué)后，教師能借著數(shù)學(xué)深厚的歷史底蘊，來勾起學(xué)生的好奇心和求知欲，進而激發(fā)學(xué)生的興趣。

（二）借助多樣的文化呈現(xiàn)，拓寬學(xué)生視野

數(shù)學(xué)史是對數(shù)學(xué)研究歷史和數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的統(tǒng)稱，僅中國的數(shù)學(xué)史就涵蓋了從遠古時期到現(xiàn)代的完整數(shù)學(xué)研究過程，還包括誕生于不同歷史時期的多樣數(shù)學(xué)文化，西方的數(shù)學(xué)史中還涵蓋了在不同歷史時期誕生于不同國家的豐富數(shù)學(xué)文化。那么，從文化的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)史中多樣的文化呈現(xiàn)就是價值極高的教學(xué)資源。在將數(shù)學(xué)史引入課堂教學(xué)后，教師就能借助其中多樣的文化呈現(xiàn)，來豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化認知，并拓寬學(xué)生視野。

（三）借助多元的經(jīng)典例題，啟發(fā)學(xué)生思維

數(shù)學(xué)的知識體系中包含大量的概念、公式和定理，其中大部分的概念、公式和定理都是數(shù)學(xué)家在某些經(jīng)典例題的長期探索中一點點總結(jié)出來的，最后的結(jié)論可能只有一兩個符號、一兩句話或一兩個公式，中間發(fā)現(xiàn)、猜測、驗證、推翻、反思、修改、再驗證的過程卻是十分復(fù)雜的，這復(fù)雜的過程是數(shù)學(xué)史中重要的組成部分。因此，在將數(shù)學(xué)史引入課堂教學(xué)后，教師也可以借著其中多元的例題來啟發(fā)和鍛煉學(xué)生的思維。

（四）借助自主的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生品格

數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)的研究已經(jīng)經(jīng)歷了成百上千年，過去的發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證和總結(jié)生成了無數(shù)的概念、公式和定理，構(gòu)成了如今這個內(nèi)容豐富且結(jié)構(gòu)清晰的數(shù)學(xué)知識體系，為當(dāng)代人對數(shù)學(xué)的多元化的應(yīng)用和進一步研究留下了寶貴的精神財富，但數(shù)學(xué)的研究并沒有止步于此，未來還可能生成更多新的概念、公式和定理，未來的探究把握在現(xiàn)代那些愿意鉆研數(shù)學(xué)的人手中，而數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的應(yīng)用更有利于培養(yǎng)學(xué)生的品格和傳承數(shù)學(xué)的探究精神。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的應(yīng)用路徑

小學(xué)是系統(tǒng)教學(xué)的開始，也是基礎(chǔ)教育中最重要的筑基階段，小學(xué)生需要學(xué)習(xí)的知識相對基礎(chǔ)，量不多，難度也不大，相比教給學(xué)生知識和技能，借助知識和技能的教學(xué)來為學(xué)生建構(gòu)學(xué)科認知才是關(guān)鍵。所以，在知識和技能的教學(xué)外，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生探索更多與學(xué)科本質(zhì)相關(guān)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)史就是其中的一項。對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)史的應(yīng)用而言，教師對數(shù)學(xué)史的教育價值的深入挖掘與合理開發(fā)，對課程教學(xué)的有效開展有著重要意義。而綜合過程與結(jié)果來看，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用大致有著四條可選路徑，首先是將數(shù)學(xué)史作為說明，滲透進課堂教學(xué)內(nèi)容中；其次是將數(shù)學(xué)史作為主體，規(guī)劃進課堂教學(xué)體系中；再次是將數(shù)學(xué)史作為延伸，融合進課堂教學(xué)探究中；最后是將數(shù)學(xué)史作為起點，補充進課堂教學(xué)主線中。

（一）將數(shù)學(xué)史作為說明滲透進課堂教學(xué)內(nèi)容

抽象性是數(shù)學(xué)知識的特性，很多概念、規(guī)律與公式對應(yīng)的都是看不見、摸不著的物體，所以小學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識時，思維很容易混淆，思路也很容易混亂，從而會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率變低。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以將數(shù)學(xué)史作為說明，滲透進課堂教學(xué)內(nèi)容中。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第六單元《多邊形的面積》的教學(xué)為例，對多邊形面積的計算，小學(xué)生需要重點學(xué)習(xí)和掌握的是幾種特殊多邊形的面積公式，本單元中提到的主要是三角形、梯形和平行四邊形的面積公式。在數(shù)學(xué)知識中，公式的表達式看起來最簡單，背后濃縮的歷史、文化卻最豐富，但由于各種原因，很多教師在教學(xué)計算公式時都會要求學(xué)生對公式本身建立直觀的記憶，學(xué)生是否理解公式的由來顯得不是很重要。所以，在應(yīng)用數(shù)學(xué)史開展的教學(xué)中，教師可以將數(shù)學(xué)史看作補充說明，專門設(shè)計主題為“特殊多邊形面積計算史”的專題探究活動，結(jié)合海倫公式、皮克定理、高斯公式等的發(fā)展和演變來引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)史的專題探究，學(xué)生不用在探究過程中復(fù)現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家們的研究，但有必要結(jié)合古代數(shù)學(xué)家們的研究思路和方向來梳理現(xiàn)在這些公認計算公式的由來，從而達到強化學(xué)生記憶的目的。

（二）將數(shù)學(xué)史作為主體規(guī)劃進課堂教學(xué)體系

數(shù)學(xué)是一個復(fù)雜的知識體系，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識只是冰山在冰面上那一部分主體中更頂層的尖角。小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是從數(shù)、量和平面圖形概念這三個“點”，逐漸向數(shù)量關(guān)系、數(shù)量計算、圖形關(guān)系、圖形計算的“面”延伸的過程。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史時，教師有必要跳出教材，將數(shù)學(xué)史中的某一部分視作課上探究的主體。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊第四單元《分數(shù)的意義和性質(zhì)》的教學(xué)為例，在這一單元的教學(xué)中，教師需要達成“為學(xué)生建構(gòu)對分數(shù)的完整認知”的教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生需要知道分數(shù)是什么、有什么性質(zhì)，還需要知道分數(shù)是怎么來的和為什么要創(chuàng)造分數(shù)的概念。對此，教師可以選擇以“分數(shù)的形成和發(fā)展史”為主題，圍繞古今中外的數(shù)學(xué)家研究分數(shù)的歷史，來設(shè)計與開展教學(xué)活動。古埃及人在公元前2100多年就開始使用分子為1的分數(shù)，巴比倫人在他們所處的時代也開始了使用基于60進制的，以60為分母的分數(shù)，中國對分數(shù)的使用則可以追溯到公元前770年～前476年的春秋時代，《左傳》與《九章算術(shù)》中都有相關(guān)的記錄。結(jié)合數(shù)學(xué)史，教師可以帶著學(xué)生從分子固定為1的分數(shù)和分母固定為60的分數(shù)開始，循序探究到如今分子和分母都不固定的分數(shù)。

（三）將數(shù)學(xué)史作為延伸融合進課堂教學(xué)探究

數(shù)學(xué)是一個處于動態(tài)發(fā)展中的學(xué)科，雖然小學(xué)階段要教學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)在內(nèi)容和形式上都不會發(fā)生大的改變，但小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的知識內(nèi)容是變化的，教師基于自身能動性開展的教學(xué)更不能夠完全按照教材來?；诖?，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史時，教師還需要將作為延伸的數(shù)學(xué)史融合進課堂教學(xué)探究中，以啟發(fā)和鍛煉學(xué)生的思維。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第八單元《數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形》的教學(xué)為例，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個主要的研究對象，數(shù)、形的轉(zhuǎn)化與結(jié)合對數(shù)學(xué)研究而言十分重要，教材中的數(shù)學(xué)廣角本身就是為了向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法而設(shè)置的單元，所以在這一單元的教學(xué)中，教師的教學(xué)需要具體落實到對學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的培養(yǎng)上?；谶@種需要，教師可以將數(shù)學(xué)史定位為教學(xué)的延伸，在完成對教材中數(shù)與形相關(guān)知識內(nèi)容的教學(xué)后，將教學(xué)內(nèi)容延伸到課外，引導(dǎo)學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”的發(fā)展歷史展開梳理式的探究。數(shù)與形是數(shù)學(xué)最古老和最基本的研究對象，從頭到尾的完整探究不夠現(xiàn)實，也不具備可行性，所以，教師篩選數(shù)學(xué)史中一些重要節(jié)點、人物和事件來展開相對細致的探索，用以延伸學(xué)生對數(shù)、形的認知和思考，以便于達到建構(gòu)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的目的。

（四）將數(shù)學(xué)史作為起點補充進課堂教學(xué)主線

除了用數(shù)學(xué)史來補充說明、對數(shù)學(xué)史展開直接探究和用數(shù)學(xué)史來延伸教學(xué)，教師還可以基于對數(shù)學(xué)史的重構(gòu)，來將數(shù)學(xué)史補充進課堂教學(xué)的主線，即教師可以讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)、驗證和總結(jié)數(shù)學(xué)知識的過程來展開對知識的探究，讓數(shù)學(xué)史成為課堂教學(xué)的起點，這種方式雖然對學(xué)生能力的要求較高，但能為學(xué)生認知的發(fā)展提供關(guān)鍵的助力。

以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第三單元《圓柱與圓錐》的教學(xué)為例，在這一單元的教學(xué)中，教師對教學(xué)的設(shè)計要以圓柱和圓錐這兩個立體圖形為對象，通過引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實驗的方式來研究圓柱和圓錐的性質(zhì)、面積計算方式，以及體積計算方式。在以數(shù)學(xué)史為起點的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師也可以先研究史料，從古人對圓柱和圓錐的研究中提煉出契合六年級學(xué)生能力水平與發(fā)展需要的問題或數(shù)學(xué)實驗，再結(jié)合例題或?qū)嶒瀬斫M織學(xué)生進行“復(fù)現(xiàn)”式的數(shù)學(xué)研究，像是《九章算術(shù)》中概括的圓柱體積計算方式是“周自相乘、以高乘之，十二為一”，用通俗一點的話講就是用圓柱底面周長的平方來乘以高，再除以十二，確保學(xué)生理解了這個計算方式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生帶入數(shù)學(xué)符號來簡化這個公式，通過簡化來反證這一公式與公認公式間的聯(lián)系。

四、結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)史能概括數(shù)學(xué)的形成規(guī)律，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本質(zhì)，能總結(jié)數(shù)學(xué)的研究精神，也能承載民族的精神財富，對教育有著重要的價值，對學(xué)生個人的成長和發(fā)展而言也能起到關(guān)鍵作用。對教學(xué)中對數(shù)學(xué)史的應(yīng)用而言，教師可以借助數(shù)學(xué)史中深厚的歷史底蘊、多樣的文化呈現(xiàn)、多元的經(jīng)典例題和自主的探究過程來激發(fā)學(xué)生興趣、拓寬學(xué)生視野、啟發(fā)學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生品格，充分的開發(fā)、科學(xué)的架構(gòu)和合理的利用能將數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的價值最大化地發(fā)揮出來。不管是站在課程發(fā)展還是學(xué)生成長的視角下，小學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)當(dāng)在課堂教學(xué)中將數(shù)學(xué)史合理地利用起來，或是將數(shù)學(xué)史作為說明，或是將數(shù)學(xué)史作為主題，又或是將數(shù)學(xué)史作為延伸和起點，讓數(shù)學(xué)史以恰當(dāng)、合理的方式出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上。

注：本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“HPM視域下小學(xué)數(shù)學(xué)五育融合的實踐研究”（立項批準號：FJJKZX23-833）研究成果。