運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程法對(duì)一道亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽題的探索

摘 要：本文對(duì)第18屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽的理論第一題（E4）部分用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程進(jìn)行了新解探索，解決了原標(biāo)準(zhǔn)答案不易理解的問題。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程；高中物理；亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽

1 引言

2017年，第18屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽在俄羅斯雅庫(kù)茨克舉辦，競(jìng)賽中的三道理論題都圍繞前沿科技模型展開。筆者在研究理論第一題超流渦絲模型時(shí)，對(duì)（E4）部分的解法產(chǎn)生了疑問，認(rèn)為原標(biāo)準(zhǔn)答案雖巧妙地從能量角度進(jìn)行了分析，但對(duì)能量等效模型的說(shuō)明不夠清晰。經(jīng)過(guò)思考后，筆者提出了一種更為直接的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程解法，在此基礎(chǔ)上提出了原解法不易求解的新小問，并用本文討論的方法給出了解答。

2 原試題E部分的解答與討論

2.1 原題

（E1）畫出細(xì)直渦旋絲的運(yùn)動(dòng)軌跡并求出其運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間t的關(guān)系。

無(wú)窮大直角器壁的右上方充滿超流體液氦，考慮放置在直角器壁附近的細(xì)直渦旋絲，初始時(shí)刻，細(xì)直渦旋絲與兩器壁的距離均為h₀，如圖2所示。

（E2）求細(xì)直渦旋絲的初始速度v₀的表達(dá)式。

（E3）畫出細(xì)直渦旋絲的運(yùn)動(dòng)軌跡。

（E4）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，求細(xì)直渦旋絲的速度v_∞的表達(dá)式。［1］

2.2 試題分析

此題E部分考查考生物理知識(shí)的類比遷移能力，因?yàn)榱黧w不能穿過(guò)器壁進(jìn)行流動(dòng)，這類似于導(dǎo)體的靜電屏蔽。電場(chǎng)強(qiáng)度不能穿過(guò)無(wú)窮大導(dǎo)體平面，于是聯(lián)想到由唯一性定理支撐的電學(xué)鏡像法。［2］因此，可以通過(guò)構(gòu)造“鏡像渦絲”來(lái)解決這一部分的問題。

2.3 原題E4部分解答

由于流速場(chǎng)分布與距離成反比，所以易知，對(duì)應(yīng)超流勢(shì)能為距離的對(duì)數(shù)函數(shù)。

如圖3所示，細(xì)直渦旋絲有三個(gè)鏡像渦絲，于是等效勢(shì)能共有三項(xiàng)，細(xì)直渦旋絲的能量為

細(xì)直渦旋絲系統(tǒng)的能量守恒要求為

2.4 原題解答討論

原題E4部分給出的解答，在能量處理方面初看有點(diǎn)奇怪。

因?yàn)橛袦u絲的流速場(chǎng)是有旋場(chǎng)，因此其本質(zhì)上應(yīng)是磁學(xué)的等效問題。對(duì)于有旋場(chǎng)，勢(shì)能往往是無(wú)法定義的，答題者在解題時(shí)一般不會(huì)往構(gòu)造有旋場(chǎng)勢(shì)能的方面去想。仔細(xì)考慮本題的模型，渦絲是數(shù)學(xué)理想模型，在理想情況下，其半徑應(yīng)該是無(wú)限小。在全空間（除去渦絲存在的奇點(diǎn)）對(duì)于流速場(chǎng)取旋度為零，因此可以構(gòu)造類似于磁標(biāo)勢(shì)的“流速勢(shì)”［3］（繞渦絲速度場(chǎng)形式與無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍產(chǎn)生的磁場(chǎng)形式類似）。由于在普通物理中很少涉及磁標(biāo)勢(shì)內(nèi)容，答題者較難想到這一步。下面給出本文所要介紹的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程法，此方法無(wú)需構(gòu)造勢(shì)能，只需從最基本的速度表達(dá)式出發(fā)，就可以解出原問題，同時(shí)還可以討論更多的過(guò)程細(xì)節(jié)。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程解法

如圖1所示，由（E2）部分的分析，可以得到鏡像速度疊加后，任意位置處，細(xì)直渦旋絲沿x軸、y軸方向的速度分別為

與原解答采用能量法時(shí)得到的結(jié)果相同。

4 討論

假如本題多設(shè)一問，提問過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)學(xué)細(xì)節(jié)，比如問細(xì)直渦旋絲運(yùn)動(dòng)到x處所花的時(shí)間，此時(shí)能量法就無(wú)法直接處理了，但是用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程仍可繼續(xù)討論。

將④式代入①式消去y，經(jīng)過(guò)整理后可以得到

再次換元，令m－1＝n，代入⑥式可得

將⑦式兩邊積分，并將所有的換元都代回原方程，就可以得到

將⑧式反解后得到

將⑨式代入④式即可得到

利用解出的x（t）和y（t），可以得到任意時(shí)刻細(xì)直渦旋絲的位置、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)細(xì)節(jié)，從而可以對(duì)細(xì)直渦旋絲模型進(jìn)行更深入的研究。

5 討論

力學(xué)體系有以牛頓為代表的矢量力學(xué)（牛頓力學(xué)）和以哈密頓、拉格朗日等為代表的分析力學(xué)。前者以“力”為出發(fā)點(diǎn)，而后者以“能量”為基本要素。在物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，分析力學(xué)的基本原理適用性更廣，能更為深刻且直接地體現(xiàn)體系的各種對(duì)稱性和守恒性。在處理多自由度體系時(shí)，基于分析力學(xué)來(lái)從能量角度分析更易操作，而在面對(duì)某些有特定約束的問題時(shí)，從矢量力學(xué)的角度分析更為直觀、易操作，且不易出錯(cuò)。合適地選取分析問題的工具，有時(shí)利用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，可使問題得以大大簡(jiǎn)化。

參考文獻(xiàn)

［1］陳怡，楊軍偉.亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽理論試題與解析 第1-19屆［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2021：285-291，300-305.

［2］［3］郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2008：57-63，107-113.