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    運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程法對(duì)一道亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽題的探索

    2024-12-20 00:00:00梅亞行韋文燕金政陽(yáng)
    物理之友 2024年9期
    關(guān)鍵詞:高中物理

    摘 要:本文對(duì)第18屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽的理論第一題(E4)部分用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程進(jìn)行了新解探索,解決了原標(biāo)準(zhǔn)答案不易理解的問題。

    關(guān)鍵詞:運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程;高中物理;亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽

    1 引言

    2017年,第18屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽在俄羅斯雅庫(kù)茨克舉辦,競(jìng)賽中的三道理論題都圍繞前沿科技模型展開。筆者在研究理論第一題超流渦絲模型時(shí),對(duì)(E4)部分的解法產(chǎn)生了疑問,認(rèn)為原標(biāo)準(zhǔn)答案雖巧妙地從能量角度進(jìn)行了分析,但對(duì)能量等效模型的說(shuō)明不夠清晰。經(jīng)過(guò)思考后,筆者提出了一種更為直接的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程解法,在此基礎(chǔ)上提出了原解法不易求解的新小問,并用本文討論的方法給出了解答。

    2 原試題E部分的解答與討論

    2.1 原題

    (E1)畫出細(xì)直渦旋絲的運(yùn)動(dòng)軌跡并求出其運(yùn)動(dòng)速度v與時(shí)間t的關(guān)系。

    無(wú)窮大直角器壁的右上方充滿超流體液氦,考慮放置在直角器壁附近的細(xì)直渦旋絲,初始時(shí)刻,細(xì)直渦旋絲與兩器壁的距離均為h0,如圖2所示。

    (E2)求細(xì)直渦旋絲的初始速度v0的表達(dá)式。

    (E3)畫出細(xì)直渦旋絲的運(yùn)動(dòng)軌跡。

    (E4)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后,求細(xì)直渦旋絲的速度v的表達(dá)式。[1]

    2.2 試題分析

    此題E部分考查考生物理知識(shí)的類比遷移能力,因?yàn)榱黧w不能穿過(guò)器壁進(jìn)行流動(dòng),這類似于導(dǎo)體的靜電屏蔽。電場(chǎng)強(qiáng)度不能穿過(guò)無(wú)窮大導(dǎo)體平面,于是聯(lián)想到由唯一性定理支撐的電學(xué)鏡像法。[2]因此,可以通過(guò)構(gòu)造“鏡像渦絲”來(lái)解決這一部分的問題。

    2.3 原題E4部分解答

    由于流速場(chǎng)分布與距離成反比,所以易知,對(duì)應(yīng)超流勢(shì)能為距離的對(duì)數(shù)函數(shù)。

    如圖3所示,細(xì)直渦旋絲有三個(gè)鏡像渦絲,于是等效勢(shì)能共有三項(xiàng),細(xì)直渦旋絲的能量為

    細(xì)直渦旋絲系統(tǒng)的能量守恒要求為

    2.4 原題解答討論

    原題E4部分給出的解答,在能量處理方面初看有點(diǎn)奇怪。

    因?yàn)橛袦u絲的流速場(chǎng)是有旋場(chǎng),因此其本質(zhì)上應(yīng)是磁學(xué)的等效問題。對(duì)于有旋場(chǎng),勢(shì)能往往是無(wú)法定義的,答題者在解題時(shí)一般不會(huì)往構(gòu)造有旋場(chǎng)勢(shì)能的方面去想。仔細(xì)考慮本題的模型,渦絲是數(shù)學(xué)理想模型,在理想情況下,其半徑應(yīng)該是無(wú)限小。在全空間(除去渦絲存在的奇點(diǎn))對(duì)于流速場(chǎng)取旋度為零,因此可以構(gòu)造類似于磁標(biāo)勢(shì)的“流速勢(shì)”[3](繞渦絲速度場(chǎng)形式與無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍產(chǎn)生的磁場(chǎng)形式類似)。由于在普通物理中很少涉及磁標(biāo)勢(shì)內(nèi)容,答題者較難想到這一步。下面給出本文所要介紹的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程法,此方法無(wú)需構(gòu)造勢(shì)能,只需從最基本的速度表達(dá)式出發(fā),就可以解出原問題,同時(shí)還可以討論更多的過(guò)程細(xì)節(jié)。

    3 運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程解法

    如圖1所示,由(E2)部分的分析,可以得到鏡像速度疊加后,任意位置處,細(xì)直渦旋絲沿x軸、y軸方向的速度分別為

    與原解答采用能量法時(shí)得到的結(jié)果相同。

    4 討論

    假如本題多設(shè)一問,提問過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)學(xué)細(xì)節(jié),比如問細(xì)直渦旋絲運(yùn)動(dòng)到x處所花的時(shí)間,此時(shí)能量法就無(wú)法直接處理了,但是用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程仍可繼續(xù)討論。

    將④式代入①式消去y,經(jīng)過(guò)整理后可以得到

    再次換元,令m-1=n,代入⑥式可得

    將⑦式兩邊積分,并將所有的換元都代回原方程,就可以得到

    將⑧式反解后得到

    將⑨式代入④式即可得到

    利用解出的x(t)和y(t),可以得到任意時(shí)刻細(xì)直渦旋絲的位置、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)細(xì)節(jié),從而可以對(duì)細(xì)直渦旋絲模型進(jìn)行更深入的研究。

    5 討論

    力學(xué)體系有以牛頓為代表的矢量力學(xué)(牛頓力學(xué))和以哈密頓、拉格朗日等為代表的分析力學(xué)。前者以“力”為出發(fā)點(diǎn),而后者以“能量”為基本要素。在物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi),分析力學(xué)的基本原理適用性更廣,能更為深刻且直接地體現(xiàn)體系的各種對(duì)稱性和守恒性。在處理多自由度體系時(shí),基于分析力學(xué)來(lái)從能量角度分析更易操作,而在面對(duì)某些有特定約束的問題時(shí),從矢量力學(xué)的角度分析更為直觀、易操作,且不易出錯(cuò)。合適地選取分析問題的工具,有時(shí)利用運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程,可使問題得以大大簡(jiǎn)化。

    參考文獻(xiàn)

    [1]陳怡,楊軍偉.亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽理論試題與解析 第1-19屆[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2021:285-291,300-305.

    [2][3]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2008:57-63,107-113.

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