非線性方程牛頓迭代法的三點(diǎn)注記

摘 要： 針對(duì)求解非線性方程的牛頓迭代法做了三點(diǎn)注記：①對(duì)某些方程，任意初始值牛頓迭代法均收斂；②對(duì)某些方程，在某一區(qū)間上取初始值，牛頓迭代法不收斂；③對(duì)某些方程，迭代值交替出現(xiàn)，牛頓迭代法不收斂。

關(guān)鍵詞： 非線性方程；牛頓迭代法；初始值；收斂

中圖分類號(hào)： O241.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" 文章編號(hào)： 2096-3998（2024）06-0082-05

收稿日期：2023-10-12" 修回日期：2024-01-30

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（2024JC-YBMS-014）；陜西理工大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（XJG2421）；陜西理工大學(xué)研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（SLGYJG2306）；陜西理工大學(xué)科研項(xiàng)目（SLGNL202409）

作者簡(jiǎn)介：雍龍泉（1980—），男，陜西洋縣人，博士，教授，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法、智能優(yōu)化算法。

引用格式：雍龍泉.非線性方程牛頓迭代法的三點(diǎn)注記[J].陜西理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，40（6）：82-86.

牛頓迭代法是求解非線性方程f（x）=0最基本的方法，為了提高收斂速度，陸續(xù)出現(xiàn)了各種高階牛頓迭代法^[1-5]。從本質(zhì)上而言，高階牛頓迭代法是牛頓法的改進(jìn)或修正。

給定初始值x0后，非線性方程f（x）=0牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）， k=0，1，2，…

經(jīng)典牛頓迭代法具有二階收斂速度；實(shí)際計(jì)算時(shí)迭代初始值x0與真實(shí)根接近時(shí)，二階收斂性才能很好地體現(xiàn)出來(lái)^[6-7]。經(jīng)典牛頓迭代法每迭代一次需要計(jì)算函數(shù)值f（xk）和導(dǎo)函數(shù)值f′（xk），故計(jì)算量為2，因此，經(jīng)典牛頓迭代法的效率指數(shù)為2≈1.414。

本文給出了非線性方程牛頓迭代法中的三種情形，借助MATLAB軟件，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行詳細(xì)解釋，旨在深入理解求解非線性方程牛頓迭代法的迭代過(guò)程。

1 對(duì)任意初始值，牛頓迭代法均收斂

算例1.1 考慮f（x）=x3，方程f（x）=0在（-∞，+∞）上存在唯一根x*=0，即f（x*）=0。

這里牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）=

xk-x3k3x2k=

23xk=

23^k+1x0， k=0，1，2，…

由于limk+∞23k=0，因此limk+∞xk=limk+∞23kx0=0；所以取任意初始值x0，牛頓迭代法均收斂。取x0=10，迭代過(guò)程如圖1所示。函數(shù)f（x）=x3在（-∞，+∞）上單調(diào)，該方程有唯一根，且對(duì)任意初始值，牛頓迭代法均收斂；若初始值距離零點(diǎn)較遠(yuǎn)的話，迭代次數(shù)較多。

2 在某一區(qū)間上取初始值，牛頓迭代法不收斂

算例2.1 考慮分段函數(shù)

f（x）=

u（x）， x≥a，

v（x）， x＜a，

這里要求f（x）連續(xù)，則必須滿足limxa+u（x）=limxa-v（x），同時(shí)要求f（x）可導(dǎo)，因此要滿足

limΔh0+u（a+Δh）-u（a）Δh=limΔh0-v（a+Δh）-v（a）Δh，

取u（x）=1/x，v（x）=-x2+bx+c。

令a=1，結(jié)合u（a）=v（a），u′（a）=v′（a），可以解出b=1，c=1，從而得到

f（x）=

1/x，"""" x≥1，

-x2+x+1， x＜1，

f（x）的圖像如圖2所示。

方程f（x）=0在（-∞，+∞）上存在唯一根x*=（1-5）/2，即f（x*）=0。

在[1，+∞）上，由于f（x）=1/x， f′（x）=-1/x2，因此牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）=

2xk， k=0，1，2，…（1）

簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得

xk+1=2xk=…=

2^k+1x0。（2）

取初值x0=1，則有

x1=2x0=2，x2=4，x3=8，x4=16，…，xk=2k，…（3）

因此limk+∞xk=+∞，即xk不收斂。

圖3為取初始值x0=1時(shí)迭代4次的示意圖。

進(jìn)而可知，當(dāng)x0∈[1，+∞）時(shí)，牛頓迭代法均不收斂。

算例2.2 考慮分段函數(shù)

f（x）=e^-x，"""" x≥0，-x2-x+1，x＜0，

方程f（x）=0在（-∞，+∞）上存在唯一根x*=-（1+5）/2，即f（x*）=0。在[0，+∞）上f（x）=e^-x， f′（x）=-e^-x，因此牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）=xk+1， k=0，1，2，…

取x0=0，則有x1=1，x2=2，x3=3，…，xk=k。經(jīng)過(guò)多次迭代后，迭代點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)離函數(shù)的零點(diǎn)，因此牛頓迭代法不收斂，如圖4所示。

進(jìn)而可知，當(dāng)x0∈[0，+∞）時(shí)，牛頓迭代法均不收斂。

3 迭代值交替出現(xiàn)，牛頓迭代法不收斂

算例3.1 構(gòu)造思路：假設(shè)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，且f（a）＜0， f（c）=0， f（b）＞0；在x=a處，采用牛頓迭代法迭代后與x軸的截距為b；在x=b處，采用牛頓迭代法迭代后與x軸的截距為a。如圖5所示。

迭代過(guò)程中a、b兩個(gè)值交替出現(xiàn)，則必有

b=a-f（a）f′（a），a=b-f（b）f′（b）a-b=f（a）f′（a）=-f（b）f′（b），

f（c）=0， a＜c＜b，

取a=0，c=1，b=2，令

f（a）=-4， f（c）=0， f（b）=2，f′（a）=2， f′（b）=1，

結(jié)合這5個(gè)已知條件，故存在（唯一的）四次多項(xiàng)式函數(shù)

f（x）=n1x4+n2x3+n3x2+n4x+n5，

代入得

n5=-4

n4=2

n1+n2+n3+n4+n5=0

16n1+8n2+4n3+2n4+n5=2

32n1+12n2+4n3+n4=1

00001

00010

11111

168421

3212410

n1n2n3n4n5

=

-42021

，

解方程可得多項(xiàng)式函數(shù)為

f（x）=34x4-154x3+5x2+2x-4，

方程f（x）=0在（0，2）上存在唯一根x*=1，即f（x*）=0。

此時(shí)牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）=

xk-

3x4k-15x3k+20x2k+8xk-1612x3k-45x2k+40xk+8，k=0，1，2，…

取x0=0，計(jì)算可得x1=2，x2=0，x3=2，x4=0，…

迭代過(guò)程見圖6，迭代值始終在0與2之間循環(huán)。

算例3.2 考慮f（x）=15x3-x，方程f（x）=0在（-2，2）上有唯一根x*=0，即f（x*）=0。該方程的牛頓迭代法的公式為

xk+1=xk-f（xk）f′（xk）=

xk-

x3k-5xk3x2k-5， k=0，1，2，…

取x0=1，則x1=-1，x2=1，x3=-1，x4=1，…，迭代值在1與-1之間循環(huán)，如圖7所示。

算例3.3 考慮分段函數(shù)

f（x）=

x，""" x≥0，

--x，x＜0，

方程f（x）=0在（-∞，+∞）上存在唯一根x*=0，即f（x*）=0。

該方程的牛頓迭代法的公式為

xk+1=

xk-f（xk）f′（xk）=

xk-2xk=-xk，

k=0，1，2，…

迭代結(jié)果始終滿足xk+1=-xk，即兩點(diǎn)交替出現(xiàn)。

取x0=1，則x1=-x0=-1，x2=-x1=1，…。因此，迭代值始終在1與-1之間循環(huán)，如圖8所示。

牛頓迭代法不收斂的情形較多，上面僅僅給出了兩種不收斂的情形。

圖9給出牛頓迭代法在沒有根的地方來(lái)回跑，因此也不收斂。

綜上所述，牛頓迭代法的收斂與否、收斂快慢均與初始值的選取有關(guān)。主要結(jié)論如下：

1）對(duì)某些方程，對(duì)任意初始值，牛頓迭代法均收斂。

2）對(duì)某些方程，初始值取得不合適，就可能不收斂，如f（x）=lnx，若選擇初始值x0=4，則牛頓迭代法迭代一次后的值x1=x0-f（x0）f′（x0）=-1.545 2，超過(guò)了定義域，因此牛頓迭代法就不收斂了；若選擇初始值x0=0.5，則牛頓迭代法是收斂的。

3）若牛頓迭代法的迭代點(diǎn)交替出現(xiàn)，則牛頓迭代法不收斂。

針對(duì)存在根的非線性方程，可以采用二分法來(lái)確定根所在的大概范圍，在此范圍內(nèi)選定初始值后，采用牛頓迭代法進(jìn)行迭代，則牛頓迭代法收斂較快。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 徐琛梅.關(guān)于非線性方程的牛頓迭代格式初始值選取的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2019，35（2）：110-115.

[2] 張卷美.一種新的迭代收斂階數(shù)的證明與推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007（6）：135-139.

[3] 馮新龍，張知難.求解非線性方程的加權(quán)迭代方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（4）：85-88.

[4] 張榮，薛國(guó)民.修正的三次收斂的牛頓迭代法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005（1）：80-82.

[5] 雍龍泉.非線性方程牛頓迭代法研究進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2021，51（15）：240-249.

[6] 雍龍泉.對(duì)迭代法收斂階的深入探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2022，25（3）：69-71.

[7] 雍龍泉.求解非線性方程組的幾種方法及程序?qū)崿F(xiàn)[J].湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，41（3）：44-48.

［責(zé)任編輯：魏 強(qiáng)］

Three notes on Newton’s iteration method for nonlinear equations

YONG Longquan

School of Mathematics and Computer Science， Shaanxi University of Technology， Hanzhong 723000， China

Abstract： Three notes on Newton’s iterative method for solving nonlinear equations are given. ① For some equations， Newton’s iteration method converges for any initial value. ② For some equations， Newton’s iteration method does not converge when the initial value is taken on a certain interval. ③ For some equations， iteration values of Newton’s iteration method appear alternately， and Newton’s iteration method does not converge.

Key words： nonlinear equation; Newton’s iteration method; initial point; convergence