摘 要: 針對求解非線性方程的牛頓迭代法做了三點(diǎn)注記:①對某些方程,任意初始值牛頓迭代法均收斂;②對某些方程,在某一區(qū)間上取初始值,牛頓迭代法不收斂;③對某些方程,迭代值交替出現(xiàn),牛頓迭代法不收斂。
關(guān)鍵詞: 非線性方程;牛頓迭代法;初始值;收斂
中圖分類號: O241.7
文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A" 文章編號: 2096-3998(2024)06-0082-05
收稿日期:2023-10-12" 修回日期:2024-01-30
基金項(xiàng)目:陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2024JC-YBMS-014);陜西理工大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(XJG2421);陜西理工大學(xué)研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(SLGYJG2306);陜西理工大學(xué)科研項(xiàng)目(SLGNL202409)
作者簡介:雍龍泉(1980—),男,陜西洋縣人,博士,教授,主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法、智能優(yōu)化算法。
引用格式:雍龍泉.非線性方程牛頓迭代法的三點(diǎn)注記[J].陜西理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2024,40(6):82-86.
牛頓迭代法是求解非線性方程f(x)=0最基本的方法,為了提高收斂速度,陸續(xù)出現(xiàn)了各種高階牛頓迭代法[1-5]。從本質(zhì)上而言,高階牛頓迭代法是牛頓法的改進(jìn)或修正。
給定初始值x0后,非線性方程f(x)=0牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk), k=0,1,2,…
經(jīng)典牛頓迭代法具有二階收斂速度;實(shí)際計(jì)算時(shí)迭代初始值x0與真實(shí)根接近時(shí),二階收斂性才能很好地體現(xiàn)出來[6-7]。經(jīng)典牛頓迭代法每迭代一次需要計(jì)算函數(shù)值f(xk)和導(dǎo)函數(shù)值f′(xk),故計(jì)算量為2,因此,經(jīng)典牛頓迭代法的效率指數(shù)為2≈1.414。
本文給出了非線性方程牛頓迭代法中的三種情形,借助MATLAB軟件,通過數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行詳細(xì)解釋,旨在深入理解求解非線性方程牛頓迭代法的迭代過程。
1 對任意初始值,牛頓迭代法均收斂
算例1.1 考慮f(x)=x3,方程f(x)=0在(-∞,+∞)上存在唯一根x*=0,即f(x*)=0。
這里牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk)=
xk-x3k3x2k=
23xk=
23k+1x0, k=0,1,2,…
由于limk+∞23k=0,因此limk+∞xk=limk+∞23kx0=0;所以取任意初始值x0,牛頓迭代法均收斂。取x0=10,迭代過程如圖1所示。函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調(diào),該方程有唯一根,且對任意初始值,牛頓迭代法均收斂;若初始值距離零點(diǎn)較遠(yuǎn)的話,迭代次數(shù)較多。
2 在某一區(qū)間上取初始值,牛頓迭代法不收斂
算例2.1 考慮分段函數(shù)
f(x)=
u(x), x≥a,
v(x), x<a,
這里要求f(x)連續(xù),則必須滿足limxa+u(x)=limxa-v(x),同時(shí)要求f(x)可導(dǎo),因此要滿足
limΔh0+u(a+Δh)-u(a)Δh=limΔh0-v(a+Δh)-v(a)Δh,
取u(x)=1/x,v(x)=-x2+bx+c。
令a=1,結(jié)合u(a)=v(a),u′(a)=v′(a),可以解出b=1,c=1,從而得到
f(x)=
1/x,"""" x≥1,
-x2+x+1, x<1,
f(x)的圖像如圖2所示。
方程f(x)=0在(-∞,+∞)上存在唯一根x*=(1-5)/2,即f(x*)=0。
在[1,+∞)上,由于f(x)=1/x, f′(x)=-1/x2,因此牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk)=
2xk, k=0,1,2,…(1)
簡單推導(dǎo)可得
xk+1=2xk=…=
2k+1x0。(2)
取初值x0=1,則有
x1=2x0=2,x2=4,x3=8,x4=16,…,xk=2k,…(3)
因此limk+∞xk=+∞,即xk不收斂。
圖3為取初始值x0=1時(shí)迭代4次的示意圖。
進(jìn)而可知,當(dāng)x0∈[1,+∞)時(shí),牛頓迭代法均不收斂。
算例2.2 考慮分段函數(shù)
f(x)=e-x,"""" x≥0,-x2-x+1,x<0,
方程f(x)=0在(-∞,+∞)上存在唯一根x*=-(1+5)/2,即f(x*)=0。在[0,+∞)上f(x)=e-x, f′(x)=-e-x,因此牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk)=xk+1, k=0,1,2,…
取x0=0,則有x1=1,x2=2,x3=3,…,xk=k。經(jīng)過多次迭代后,迭代點(diǎn)越來越遠(yuǎn)離函數(shù)的零點(diǎn),因此牛頓迭代法不收斂,如圖4所示。
進(jìn)而可知,當(dāng)x0∈[0,+∞)時(shí),牛頓迭代法均不收斂。
3 迭代值交替出現(xiàn),牛頓迭代法不收斂
算例3.1 構(gòu)造思路:假設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),且f(a)<0, f(c)=0, f(b)>0;在x=a處,采用牛頓迭代法迭代后與x軸的截距為b;在x=b處,采用牛頓迭代法迭代后與x軸的截距為a。如圖5所示。
迭代過程中a、b兩個(gè)值交替出現(xiàn),則必有
b=a-f(a)f′(a),a=b-f(b)f′(b)a-b=f(a)f′(a)=-f(b)f′(b),
f(c)=0, a<c<b,
取a=0,c=1,b=2,令
f(a)=-4, f(c)=0, f(b)=2,f′(a)=2, f′(b)=1,
結(jié)合這5個(gè)已知條件,故存在(唯一的)四次多項(xiàng)式函數(shù)
f(x)=n1x4+n2x3+n3x2+n4x+n5,
代入得
n5=-4
n4=2
n1+n2+n3+n4+n5=0
16n1+8n2+4n3+2n4+n5=2
32n1+12n2+4n3+n4=1
00001
00010
11111
168421
3212410
n1n2n3n4n5
=
-42021
,
解方程可得多項(xiàng)式函數(shù)為
f(x)=34x4-154x3+5x2+2x-4,
方程f(x)=0在(0,2)上存在唯一根x*=1,即f(x*)=0。
此時(shí)牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk)=
xk-
3x4k-15x3k+20x2k+8xk-1612x3k-45x2k+40xk+8,k=0,1,2,…
取x0=0,計(jì)算可得x1=2,x2=0,x3=2,x4=0,…
迭代過程見圖6,迭代值始終在0與2之間循環(huán)。
算例3.2 考慮f(x)=15x3-x,方程f(x)=0在(-2,2)上有唯一根x*=0,即f(x*)=0。該方程的牛頓迭代法的公式為
xk+1=xk-f(xk)f′(xk)=
xk-
x3k-5xk3x2k-5, k=0,1,2,…
取x0=1,則x1=-1,x2=1,x3=-1,x4=1,…,迭代值在1與-1之間循環(huán),如圖7所示。
算例3.3 考慮分段函數(shù)
f(x)=
x,""" x≥0,
--x,x<0,
方程f(x)=0在(-∞,+∞)上存在唯一根x*=0,即f(x*)=0。
該方程的牛頓迭代法的公式為
xk+1=
xk-f(xk)f′(xk)=
xk-2xk=-xk,
k=0,1,2,…
迭代結(jié)果始終滿足xk+1=-xk,即兩點(diǎn)交替出現(xiàn)。
取x0=1,則x1=-x0=-1,x2=-x1=1,…。因此,迭代值始終在1與-1之間循環(huán),如圖8所示。
牛頓迭代法不收斂的情形較多,上面僅僅給出了兩種不收斂的情形。
圖9給出牛頓迭代法在沒有根的地方來回跑,因此也不收斂。
綜上所述,牛頓迭代法的收斂與否、收斂快慢均與初始值的選取有關(guān)。主要結(jié)論如下:
1)對某些方程,對任意初始值,牛頓迭代法均收斂。
2)對某些方程,初始值取得不合適,就可能不收斂,如f(x)=lnx,若選擇初始值x0=4,則牛頓迭代法迭代一次后的值x1=x0-f(x0)f′(x0)=-1.545 2,超過了定義域,因此牛頓迭代法就不收斂了;若選擇初始值x0=0.5,則牛頓迭代法是收斂的。
3)若牛頓迭代法的迭代點(diǎn)交替出現(xiàn),則牛頓迭代法不收斂。
針對存在根的非線性方程,可以采用二分法來確定根所在的大概范圍,在此范圍內(nèi)選定初始值后,采用牛頓迭代法進(jìn)行迭代,則牛頓迭代法收斂較快。
[ 參 考 文 獻(xiàn) ]
[1] 徐琛梅.關(guān)于非線性方程的牛頓迭代格式初始值選取的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2019,35(2):110-115.
[2] 張卷美.一種新的迭代收斂階數(shù)的證明與推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007(6):135-139.
[3] 馮新龍,張知難.求解非線性方程的加權(quán)迭代方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006(4):85-88.
[4] 張榮,薛國民.修正的三次收斂的牛頓迭代法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005(1):80-82.
[5] 雍龍泉.非線性方程牛頓迭代法研究進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2021,51(15):240-249.
[6] 雍龍泉.對迭代法收斂階的深入探討[J].高等數(shù)學(xué)研究,2022,25(3):69-71.
[7] 雍龍泉.求解非線性方程組的幾種方法及程序?qū)崿F(xiàn)[J].湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào),2021,41(3):44-48.
[責(zé)任編輯:魏 強(qiáng)]
Three notes on Newton’s iteration method for nonlinear equations
YONG Longquan
School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China
Abstract: Three notes on Newton’s iterative method for solving nonlinear equations are given. ① For some equations, Newton’s iteration method converges for any initial value. ② For some equations, Newton’s iteration method does not converge when the initial value is taken on a certain interval. ③ For some equations, iteration values of Newton’s iteration method appear alternately, and Newton’s iteration method does not converge.
Key words: nonlinear equation; Newton’s iteration method; initial point; convergence