強(qiáng)迫Lorenz模型混沌行為的力學(xué)機(jī)理分析

摘要：為揭示混沌的生成機(jī)理，探討了強(qiáng)迫Lorenz模型混沌行為的力學(xué)機(jī)制。將強(qiáng)迫Lorenz模型轉(zhuǎn)化成柯?tīng)柲缏宸蛳到y(tǒng)，把系統(tǒng)的力矩分解成慣性力矩，耗散力矩和外力矩。分析各種力矩耦合模式對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，從中揭示系統(tǒng)生成混沌的力學(xué)機(jī)理。研究表明只有耗散因素，驅(qū)動(dòng)因素和內(nèi)能都存在的全力矩模式下，并且驅(qū)動(dòng)因素和耗散因素相匹配時(shí)強(qiáng)迫Lorenz系統(tǒng)才能產(chǎn)生混沌。構(gòu)造卡西米爾函數(shù)進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析，估計(jì)強(qiáng)迫Lorenz模型吸引子的邊界。

關(guān)鍵詞：混沌; 柯?tīng)柲缏宸蛳到y(tǒng); 力學(xué)機(jī)理; 卡西米爾函數(shù)

中圖分類號(hào)： O175.14； O241.81文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

收稿日期：2023-05-05；修回日期：2023-06-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11572146）

第一作者：王賀元（1963-），男，遼寧黑山人，博士，教授，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)。

Mechanical Mechanism Analysis of Forced Lorenz Model

WANG Heyuan^1，2，CHEN Xiangting²

（1.College of General Education， Guangdong University of Science and Technology， Dongguan 523083，China; 2.College of Mathematics and Systematics Sciences， Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China）

Abstract：In order to reveal the generation mechanism of chaos， the mechanical mechanism of forced Lorenz model is discussed. The forced Lorenz model is transformed into Kolmogorov system， and the torques of the system are decomposed into inertial torques， dissipative torques and external torques. The effects of various torque coupling modes on the System dynamics behavior are analyzed to reveal the mechanism of chaos generation. It is shown that only when the dissipation factor， the driving factor and the internal energy exist in the full moment mode， and the driving factor and the dissipation factor match， the forced Lorenz system can produce chaos. The global stability of the forced Lorenz model is analyzed by constructing the Casimir function， and the boundary of the attractor of the forced Lorenz model is estimated.

Keywords： chaos; Kolmogorov system; mechanical mechanism；Casimir function

0 引言

混沌學(xué)領(lǐng)域重要的數(shù)學(xué)模型-Lorenz系統(tǒng)于1963年被美國(guó)學(xué)者洛倫茲^[1]提出，這個(gè)通過(guò)截譜方法對(duì)Rayleigh-Bénard對(duì)流問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型截?cái)嗟玫降腖orenz方程組對(duì)混沌領(lǐng)域的開(kāi)拓和發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。經(jīng)典Lorenz模型的提出揭示了一系列混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征，并發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)奇怪吸引子，而截譜方法的應(yīng)用也為研究無(wú)限維非線性系統(tǒng)開(kāi)辟了道路^[1-9]。通過(guò)分析經(jīng)典Lorenz模型的截?cái)喾椒ǎS多高維或無(wú)窮維的物理問(wèn)題也可以截?cái)喑鰧?duì)應(yīng)的Lorenz模型或類Lorenz模型。例如添加外強(qiáng)迫項(xiàng)后形成的受外強(qiáng)迫的Lorenz模型^[2]，通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)Rayleigh-Bénard問(wèn)題的模型截?cái)嗟贸龅男D(zhuǎn)Rayleigh-Bénard問(wèn)題的Lorenz模型^[3-5]，截?cái)嗖豢蓧嚎s的Navier-Stokes方程得出的有限維類Lorenz模型^[6-9]，與經(jīng)典Lorenz模型形態(tài)相似但不拓?fù)涞葍r(jià)的Chen系統(tǒng)^[10]、Lü系統(tǒng)^[11]等。深入研究這些Lorenz模型或類Lorenz模型將推動(dòng)混沌學(xué)領(lǐng)域乃至非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展。

強(qiáng)迫Lorenz模型的應(yīng)用場(chǎng)景更為廣泛，經(jīng)典Lorenz模型具有極強(qiáng)的初值敏感性，該系統(tǒng)吸引子在x－y面上概率密度函數(shù)所具有的雙峰結(jié)構(gòu)可以對(duì)應(yīng)許多天氣變化情況^[12]，但實(shí)際應(yīng)用中并不是所有的氣候變化都是雙峰結(jié)構(gòu)。而受外強(qiáng)迫的Lorenz模型是在經(jīng)典Lorenz模型的基礎(chǔ)上引入了外強(qiáng)迫項(xiàng)，外強(qiáng)迫項(xiàng)的加入降低了系統(tǒng)的初值敏感性，也降低了應(yīng)用該系統(tǒng)分析氣候變化的難度，擴(kuò)寬了Lorenz系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域。對(duì)強(qiáng)迫Lorenz系統(tǒng)的數(shù)值模擬結(jié)果可以應(yīng)用到大氣可預(yù)報(bào)性的研究中^[13-18]。解析外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的關(guān)鍵因素將為氣候預(yù)報(bào)提供更多理論支撐。對(duì)受外強(qiáng)迫Lorenz模型的研究的應(yīng)用前景也十分廣泛，例如外強(qiáng)迫項(xiàng)可以是海表溫度，此時(shí)受外強(qiáng)迫的Lorenz方程就可以用來(lái)分析季風(fēng)及季風(fēng)降水的年際變化。

以往對(duì)Lorenz模型或類Lorenz模型的研究工作大都側(cè)重于從穩(wěn)定性和分岔理論開(kāi)展研究，主要是利用分岔理論來(lái)解釋和分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及其混沌演化過(guò)程等，而對(duì)截?cái)嗄Ｐ偷奈锢肀尘?、物理意義以及混沌的生成機(jī)理等問(wèn)題很少有文獻(xiàn)涉及，諸如能量的演化，內(nèi)能，耗散和外力等相互轉(zhuǎn)化和物理意義等問(wèn)題幾乎無(wú)人關(guān)注。因此探討類Lorenz模型混沌的生成機(jī)理及其物理意義等相關(guān)問(wèn)題是非常有意義和具有挑戰(zhàn)性的。國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者已開(kāi)始從力學(xué)角度探討系統(tǒng)生成混沌的基本機(jī)理。Pasini和 Pelino^[19]對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并給出了統(tǒng)一的柯?tīng)柲缏宸颍↘olmogorov）洛倫茨系統(tǒng)；齊和梁^[20]將混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成Kolmogorov形系統(tǒng)，進(jìn)行力的分析，解釋角動(dòng)量的混沌狀態(tài)，討論能量循環(huán)，研究了齊四翼混沌系統(tǒng)的力學(xué)機(jī)理與能量轉(zhuǎn)換，通過(guò)與Kolmogorov系統(tǒng)和歐拉方程的比較，把四翼混沌系統(tǒng)的矢量場(chǎng)分解為慣性力矩、內(nèi)力矩、耗散和外力矩來(lái)探討產(chǎn)生混沌的基本因素，通過(guò)力矩耦合分析研究了四翼混沌吸引子不同類型力矩的功能和作用以及產(chǎn)生不同類型動(dòng)力學(xué)模式的關(guān)鍵因素，利用Lie-Poisson括號(hào)揭示哈密頓能，動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換；借助擴(kuò)展的Kolmogorov系統(tǒng)，Pelino等^[20]研究了洛倫茲系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換；王^[21]討論了Couette-Taylor問(wèn)題的力學(xué)機(jī)理和能量轉(zhuǎn)換問(wèn)題，這些研究工作可參閱具體文獻(xiàn)^[19-25]?；谶@些工作本文研究強(qiáng)迫Lorenz模型混沌行為的力學(xué)機(jī)理和物理意義?；煦缦到y(tǒng)的奇怪吸引子是非常復(fù)雜和難于計(jì)算的，通過(guò)引入卡西米爾函數(shù)，估計(jì)了奇怪吸引子的邊界。

1 強(qiáng)迫Lorenz模型產(chǎn)生混沌的力學(xué)機(jī)理分析及仿真

非線性系統(tǒng)的各項(xiàng)一般都具有其物理意義，各項(xiàng)之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，按非線性系統(tǒng)各項(xiàng)相互作用直接分析系統(tǒng)混沌的成因較為困難，所以將混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成Kolmogorov形式的系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)力矩的分離^[23-25]，從而把系統(tǒng)的矢量場(chǎng)從復(fù)雜的物理量轉(zhuǎn)變?yōu)?種力矩。力矩之間不同的耦合，代表了系統(tǒng)不同的動(dòng)力模式。解析不同動(dòng)力模式對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生的影響就是在解析系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的力學(xué)機(jī)理。

通過(guò)數(shù)值模擬可以得出當(dāng)F≤1.61時(shí)系統(tǒng)（3）存在混沌吸引子，如圖6所示。由情形1，2，3可知，當(dāng)系統(tǒng)缺少外力矩時(shí)，系統(tǒng)解趨向于平衡點(diǎn)O。由情形4可知，當(dāng)系統(tǒng)缺少耗散力矩時(shí)，系統(tǒng)解無(wú)限增長(zhǎng)。因此，外力和耗散的耦合是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。但當(dāng)外力矩和耗散力矩不匹配時(shí)，耗散不足以保證系統(tǒng)的能量衰減。因此，外力和耗散是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的基本因素，但是外力和耗散簡(jiǎn)單的耦合并不總使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌。數(shù)值模擬顯示當(dāng)F=3.5時(shí)系統(tǒng)的全局吸引子圖像7，是平衡點(diǎn)，而非奇怪吸引子。只有當(dāng)外強(qiáng)迫項(xiàng)滿足－1.61lt;Flt;1.61時(shí)，即驅(qū)動(dòng)因素和耗散因素相匹配時(shí)，系統(tǒng)（3）才可能產(chǎn)生混沌（如圖6）。數(shù)值模擬結(jié)果顯示（圖8），此時(shí)動(dòng)能的波峰對(duì)應(yīng)勢(shì)能的波谷，說(shuō)明兩種能量相互轉(zhuǎn)化。

1.2 強(qiáng)迫Lorenz模型的全局穩(wěn)定性及混沌吸引子的邊界

卡西米爾函數(shù)在分析動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件和全局描述時(shí)是非常有用的。如果非線性系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的，其系統(tǒng)解的軌線在增長(zhǎng)的同時(shí)也在不斷地折疊，因此，研究混沌系統(tǒng)解的邊界性質(zhì)是至關(guān)重要的。構(gòu)造一個(gè)卡西米爾函數(shù)^[26]，通過(guò)對(duì)卡西米爾函數(shù)的運(yùn)算可以得到外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子的邊界?？ㄎ髅谞柡瘮?shù)的引入，不僅可以確定混沌系統(tǒng)的有界性，同時(shí)借助Casimir函數(shù)也可以揭示能量轉(zhuǎn)化、平衡點(diǎn)間的距離和軌線三者之間的關(guān)系。

卡西米爾函數(shù)由Lie-Poisson結(jié)構(gòu)定義，即：

則在Lie-poisson括號(hào)下卡西米爾函數(shù)與每個(gè)函數(shù)可交換，對(duì)于系統(tǒng)（3），卡西米爾函數(shù)定義為：

其中，Ξ₀為R³中的橢球，在Ξ₀表面上=0，因此C（t）的所有極值點(diǎn)都在Ξ₀表面上。當(dāng)系統(tǒng)（3）的軌線進(jìn)入到Ξ₀內(nèi)部時(shí)，gt;0，卡西米爾函數(shù)增加直到=0達(dá)到最大值；當(dāng)系統(tǒng)（3）的軌線從內(nèi)部移出時(shí)，lt;0，因此卡西米爾函數(shù)下降到=0達(dá)到極小值。系統(tǒng)（3）的3個(gè)平衡點(diǎn)均位于Ξ₀的表面，下面估計(jì)混沌吸引子的邊界。

定理1 卡西米爾函數(shù)被限制在式（12）的集合內(nèi)

定理1給出了受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子邊界的精確估計(jì)，通過(guò)數(shù)值模擬得出卡西米爾函數(shù)的值如圖9所示。函數(shù)C（t）以（σ+r）²/2+1/2σF/b－2σ²+1/2F/2－b²為上界振蕩，混沌吸引子被包圍在邊界球內(nèi)，如圖10所示。

為討論卡西米爾函數(shù)與平衡點(diǎn)P_±之間的關(guān)系，定義距離D₁（t），D₂（t）表示系統(tǒng)（3）解的軌道與平衡點(diǎn)P_±之間的關(guān)系：

D₁（t）=X（t）－P₊，D₂（t）=X（t）－P_-

為突出D₁（t），D₂（t）和卡西米爾函數(shù)之間的關(guān)系，放大距離的振幅后進(jìn)行數(shù)值模擬。當(dāng)軌線同時(shí)接近平衡點(diǎn)P_±時(shí)，卡西米爾函數(shù)達(dá)到最小值，當(dāng)軌線遠(yuǎn)離P₊或P_-時(shí)，卡西米爾函數(shù)達(dá)到最大值。在圖11（實(shí)線是卡西米爾函數(shù)，虛線是D₁（t），D₂（t））中，卡西米爾函數(shù)與D₁（t），D₂（t）之和的關(guān)系更加緊密，他們有同樣的上升和下降趨勢(shì)，也幾乎在同一時(shí)間到達(dá)極值點(diǎn)。

當(dāng)系統(tǒng)（3）的外強(qiáng)迫項(xiàng)增大（F增大）時(shí)，系統(tǒng)（3）的動(dòng)能增加，如圖12。外力矩主要影響動(dòng)能，隨著外力矩的增大動(dòng)能在不斷增加，最終導(dǎo)致失穩(wěn)而出現(xiàn)混沌。根據(jù)以上理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果可知，當(dāng)σ=10，r=28，b=8/3，F(xiàn)gt;1.61時(shí)，系統(tǒng)（3）是穩(wěn)定的。當(dāng)σ=10，r=28，b=8/3，F(xiàn)lt;1.61時(shí)，系統(tǒng)（3）發(fā)生混沌，軌線趨于P_±，在P₊和P_-之間跳躍。距離D₁（t）與D₂（t）的和隨著F的增大而遞增，卡西米爾函數(shù)從最小值逐漸增加，動(dòng)能的變化趨勢(shì)與卡西米爾函數(shù)相同。

2 結(jié)論

本文從力學(xué)角度研究分析了強(qiáng)迫Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的力學(xué)機(jī)制。通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，揭示了受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)生成混沌的力學(xué)機(jī)制和物理意義。討論了受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)作為Kolmogorov系統(tǒng)的力學(xué)和物理意義，解析了該系統(tǒng)的4種類型的力矩，研究了各個(gè)類型力矩之間的耦合情況，討論了受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的關(guān)鍵因素。在情形1中，系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，Hamiltonian量是一個(gè)常數(shù)，數(shù)值模擬顯示系統(tǒng)解是周期解。結(jié)合情形2，3，4分析可知，當(dāng)系統(tǒng)中只含有耗散項(xiàng)或只含有外力項(xiàng)時(shí)。系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生混沌。這是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)中只含有耗散項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的Hamiltonian能量會(huì)單調(diào)遞減并趨向于零，當(dāng)系統(tǒng)中只含有外力項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的Hamiltonian能量會(huì)單調(diào)遞增并趨向于無(wú)窮。在這些情況下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只有在全力矩模式情形5時(shí)，系統(tǒng)才發(fā)生混沌。對(duì)于受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)，耗散因素，驅(qū)動(dòng)因素和內(nèi)能都存在是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件。且只有耗散因素和驅(qū)動(dòng)因素是相互匹配的，系統(tǒng)才發(fā)生混沌。在討論系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性時(shí)，引入了Casimir函數(shù)。數(shù)值模擬Casimir函數(shù)的時(shí)間演化和距離D₁（t），D₂（t）和的時(shí)間演化，可知兩個(gè)圖像波的頻率和周期近乎一致。這驗(yàn)證了Casimir函數(shù)與距離之間的密切關(guān)系，即Casimir函數(shù)與距離D₁（t），D₂（t）和變化趨勢(shì)相同。因?yàn)镃asimir函數(shù)是內(nèi)能，所以Casimir函數(shù)的變化速率同時(shí)也是耗散和外力矩之間的交換速率，Casimir函數(shù)的導(dǎo)數(shù)起著能量交換的作用。通過(guò)Casimir函數(shù)法和拉格朗日乘數(shù)法分析受外強(qiáng)迫的Lorenz系統(tǒng)，得到了清晰的混沌吸引子的邊界。

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（責(zé)任編輯 耿金花）