基于Beta-SARMA模型的安徽降雨量預測

摘要：本研究旨在通過Beta-SARMA時間序列模型捕捉安徽省降水模式，為農(nóng)業(yè)產(chǎn)出、灌溉需求和農(nóng)民福祉提供可靠數(shù)據(jù)支持。該模型在傳統(tǒng)SARIMA模型的基礎上，結(jié)合廣義線性回歸，并將殘差設定為Beta分布。研究發(fā)現(xiàn)，皖中和皖南地區(qū)的降水數(shù)據(jù)殘差符合高斯分布，而皖北地區(qū)則表現(xiàn)出不同的分布模式。Beta-SARMA模型在預測性能上普遍優(yōu)于傳統(tǒng)SARIMA模型，顯示出更高的準確性和可靠性。

關鍵詞：降水量預測；廣義線性回歸；Beta-SARMA模型；R語言

降水預測在全球范圍內(nèi)被視為一個至關重要的研究領域，其對農(nóng)業(yè)、水資源管理以及整個社會經(jīng)濟活動產(chǎn)生著深遠的影響。隨著氣候變化的加劇和極端天氣事件的頻繁發(fā)生，準確的降水預測變得越來越重要，以便各國政府和相關機構(gòu)能夠及時采取適當?shù)膽獙Υ胧?。近年來，科學家們已經(jīng)采用了多種創(chuàng)新方法來提高降水預測的準確性。例如，王永濤等人開發(fā)的中長期降水預測模型就是一次重要嘗試。該模型利用小波分解技術結(jié)合預測重建過程，有效提取了降水數(shù)據(jù)中的關鍵特征，從而改善了預測的準確度[1]。另一方面，郭楠和王兆才采用了結(jié)合了麻雀搜索優(yōu)化算法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡和馬爾可夫鏈，這種組合模型能夠更好地處理降水的非線性變化[2]。此類發(fā)現(xiàn)不僅在理論上有重要意義，也為實際的水資源管理和應急響應提供了實用的指導。

安徽省在地理上屬于華東地區(qū)，處于暖溫帶過渡地區(qū)，以淮河為分界線，北部屬暖溫帶半濕潤季風氣候，南部屬亞熱帶濕潤季風氣候。安徽省南北兩部的代表性城市的歷年降水量數(shù)據(jù)對研究安徽省降雨變化特征對農(nóng)作物產(chǎn)量預報及因地制宜指導農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有著重要的意義[3-5]。

1 材料與方法

1.1 數(shù)據(jù)資料

選用的降雨量數(shù)據(jù)來源于歷年安徽省統(tǒng)計年鑒，收集了2000—2021年共計22年的安徽省16市（巢湖市不做分析）逐月降雨量資料，2000—2020年為訓練數(shù)據(jù)集，2021年為驗證集。

1.2 研究方法Beta-SARMA模型

時間序列分析廣泛應用在按時間順序收集的數(shù)據(jù)上，ARIMA模型是一個著名的時間序列分析模型，在降雨預測中起十分重要的作用[6]，ARIMA模型由自回歸（AR）部分、積分（I）部分和移動平均（MA）三部分組成。然而，需要注意的是，ARIMA模型基于對數(shù)據(jù)的高斯（正態(tài)）分布假設。這意味著它們假定數(shù)據(jù)遵循一個鐘形曲線，而這不一定適用于所有類型的數(shù)據(jù)。特別是對于那些季節(jié)性是由隨機過程引起的數(shù)據(jù)集，ARIMA模型可能不太適用。在這種情況下，廣義線性回歸給出了另一種使用非高斯模型的辦法，這種模型可以有效處理數(shù)據(jù)中的隨機機制驅(qū)動的季節(jié)性，并更好地捕捉數(shù)據(jù)背后的機制[7]。Beta-SARMA模型[8]是一個動態(tài)類的時間序列模型衍生自貝塔回歸模型。Beta-SARMA[9]模型集成了隨機季節(jié)、自回歸和移動平均動力學三個組成部分。假設是n個隨機變量的向量，對于每一個服從一個β分布，模型的表達式為：

這里的，是模型的自回歸和移動平均的系數(shù)，而和是季節(jié)性自回歸和移動平均的系數(shù)。P和q分別是模型的自回歸部分和移動平均部分的階數(shù)，P和Q分別是描述季節(jié)自回歸部分和季節(jié)移動平均部分的階數(shù)，S表示季節(jié)性頻率。

1.3 均方根誤差（RMSE）

在進行時間序列分析和預測時，評估模型的預測準確性是至關重要的。為此，研究者經(jīng)常使用各種誤差指標來量化模型的預測能力。其中，均方根誤差[10]（RMSE）是最常用的評價指標之一，因為它綜合考慮了所有預測誤差，并提供了一個易于解釋的單一值。均方根誤差（RMSE）計算公式為：

2 結(jié)果與分析

考慮到安徽省的地理和氣候特征[11]，本研究將全省的16個城市依據(jù)地理位置劃分為三個主要區(qū)域：淮河以北（包括宿州、淮北、蚌埠、阜陽、亳州五市）、江淮之間（合肥、淮南、安慶、六安、滁州五市）以及長江以南（黃山、蕪湖、馬鞍山、銅陵、宣城、池州六市）。選擇了三個具有代表性的城市—安慶、亳州、黃山進行深入展示與分析。

2.1 模型建立及檢驗

Beta-SARMA模型的構(gòu)建基于對殘差行為采用Beta分布，這要求將原始降雨量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換至（0，1）的范圍內(nèi)。圖1清晰展示了安慶、亳州和黃山三市在2000—2020年，經(jīng)過此轉(zhuǎn)換處理的降雨量數(shù)據(jù)時間序列。在時間序列分析中，若序列的均值與方差隨時間保持恒定，則稱該序列為平穩(wěn)的。使用ADF檢驗來測試三個城市的降雨量數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)，檢驗結(jié)果為所有城市的P值均低于0.05的臨界值，這表明安慶、亳州和黃山的降雨數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性需求。

圖2展示了安慶、亳州和黃山三市降雨量的自相關系數(shù)圖（ACF）和偏自相關系數(shù)圖（PACF）。安慶市的ACF圖在初期顯示顯著的非季節(jié)性峰值，而季節(jié)性成分在滯后12處表現(xiàn)突出。亳州市的ACF和PACF圖則顯示明顯的季節(jié)性和非季節(jié)性成分。黃山市的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)初期的非季節(jié)性顯著峰值及季節(jié)性成分的周期性特征，表明三市降雨量時間序列中存在非季節(jié)性和季節(jié)性波動。

在確定了所有可能的非季節(jié)性自回歸（p）和移動平均（q）成分，以及季節(jié)性自回歸（P）和移動平均（Q）成分的組合后，使用R軟件并通過AIC準則選擇了每個城市的最佳Beta-SARMA模型。表1列出了三市最佳Beta-SARMA模型及其參數(shù)估計值。表1中的Ljung-Box[12]檢驗結(jié)果表明，Beta-SARMA模型成功擬合了安慶市和黃山市的降雨量數(shù)據(jù)，而亳州市的Ljung-Box檢驗P值顯著小于0.05，表明該模型未能有效捕捉亳州市的降雨模式。

2.2 模型預測

表2詳細展示了2021年三個城市的實際降水量與Beta-SARMA模型預測值之間的對比。

從表2可以看出，得出Beta-SARMA模型在這三個城市的均方根誤差（RMSE）分別為0.07276、0.14838和0.11514。與之形成對比的是，采用傳統(tǒng)SARIMA模型在同一時間段內(nèi)的預測結(jié)果，其均方根誤差分別為0.07758、0.12996和0.11514。特別值得注意的是，在安慶市和黃山市，Beta-SARMA模型展現(xiàn)出的預測精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)SARIMA模型，這一發(fā)現(xiàn)凸顯了在特定氣候和地理條件下，Beta-SARMA模型的高效性和適應性。

深入分析三市原始降水數(shù)據(jù)揭示了一些關鍵的地理和氣候特征。亳州市的月均降水量較低，其數(shù)據(jù)分布頻繁出現(xiàn)低于下四分位數(shù)的情況。這可能是由于亳州市地處淮河以北的平原區(qū)域，該地區(qū)降水量普遍偏低，導致數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出顯著的偏態(tài)分布。此類偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)對于線性模型的預測挑戰(zhàn)較大，不適合簡單的線性擬合。相比之下，安慶市和黃山市月均降水量均超過100 mm，降水量較為豐富。在這兩個城市中，Beta-SARMA模型通過將降雨量數(shù)據(jù)有效地轉(zhuǎn)換至（0，1）[13]區(qū)間，顯著提高了預測的準確性，從而在預測性能上超越了傳統(tǒng)SARIMA模型。

此外，對安徽省其余13個市近20年的月降水量數(shù)據(jù)進行深入分析，采用R語言挑選出適合各個城市的最佳Beta-SARMA模型，并利用auto.arima函數(shù)自動選擇最合適的SARIMA模型。這些模型的12期預測結(jié)果與實際降水量數(shù)據(jù)對比后得出的均方根誤差（RMSE）如表3所示。結(jié)果顯示，Beta-SARMA模型在合肥、安慶、六安等11個城市的預測中表現(xiàn)優(yōu)異，其中10個城市位于皖中和皖南地區(qū)。

3 結(jié)論

采用Beta-SARMA時間序列模型對安徽省十六個市的降水進行預測，主要發(fā)現(xiàn)：通過自相關系數(shù)圖（ACF）、偏自相關系數(shù)圖（PACF）和Ljung-Box檢驗分析Beta-SARMA模型的殘差，皖中和皖南地區(qū)的降水數(shù)據(jù)殘差似乎符合高斯分布，而皖北地區(qū)則不然。這可能與皖北為暖溫帶半濕潤大陸性氣候，年降水量較少且集中在夏季有關；而皖南為亞熱帶濕潤氣候，年降水量豐富，特別是夏季降水充沛，表明Beta-SARMA模型更適用于降水量較大的區(qū)域。與SARIMA模型的RMSE誤差估計對比，Beta-SARMA模型在多數(shù)情境下顯示出明顯更高的預測精度，驗證了其優(yōu)越性能。

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