一維狄拉克梳模型能帶形成的數(shù)值和解析方法對比分析

摘 要 本文首先用空晶格模型討論了周期性能帶的形成;然后，在實(shí)空間推導(dǎo)了一維狄拉克梳模型的能量色散關(guān)系，結(jié)合數(shù)值模擬結(jié)果和近似方法公式系統(tǒng)地對比分析了能帶的主要概念特征，圖像直觀地呈現(xiàn)了近自由電子近似下的能隙產(chǎn)生及其適用條件、緊束縛近似下的能帶展寬等重要問題。用最簡單的模型清楚地解析了兩種近似下的能帶形成圖像。最后，給出了用平面波法對一維狄拉克梳模型特征能譜的收斂性分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述討論。

關(guān)鍵詞 空晶格模型;狄拉克梳模型;能帶;近自由電子近似;緊束縛近似

在初等量子力學(xué)中求解一維定態(tài)薛定諤方程時(shí)有兩類典型情況[1]：當(dāng)粒子被勢場約束在特定的區(qū)域內(nèi)，即在無限遠(yuǎn)處波函數(shù)等于零的態(tài)稱為束縛態(tài)，其能量是一條一條分立的能級形式;另一類是粒子被局域勢場散射后可以運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處的散射態(tài)，它的能量是用一條連續(xù)變化的曲線表示。而對于處在晶體周期勢場中的電子，其能量色散關(guān)系既不像束縛態(tài)那樣能級分立，也不像以上散射態(tài)那樣完全連續(xù)，而是結(jié)合兩者特征呈一段一段離散的能量允許帶，即能帶。能帶論是量子力學(xué)應(yīng)用于描述晶體電子取得的最重要的成果之一，它成功地在微觀上解釋了金屬、半導(dǎo)體和絕緣體。

不 過，實(shí)際晶體的能帶嚴(yán)格求解是很困難的，以不同的基展開波函數(shù)的近似方法主要分為兩類：以平面波為基的近自由電子近似和以孤立原子軌道為基的緊束縛近似。大部分教科書[2-3]上對基于某種近似的微擾解析分析比較詳細(xì)，數(shù)值計(jì)算也給出理論框架，但兩者結(jié)合的圖像討論還不夠緊密，使得初學(xué)者對能帶形成及其中的重要概念接受起來有些困難。本文以空晶格和狄拉克梳模型為例，對比數(shù)值計(jì)算和模型解析結(jié)果，直觀地呈現(xiàn)了能帶形成機(jī)制及其主要特征概念，重點(diǎn)闡述了近自由電子近似下的能隙形成和緊束縛近似下的能帶展寬等重要問題。文中堅(jiān)持用最少的數(shù)學(xué)，解釋最重要的物理，對初學(xué)者充分理解能帶是有所裨益的。