有限元方法課程理論教學(xué)改革研究與設(shè)計(jì)

關(guān)鍵詞：有限元方法；教學(xué)改革；農(nóng)業(yè)機(jī)械；雙語(yǔ)教學(xué)

0 引言

有限元方法（finiteelementmethod，F(xiàn)EM）是基于近代計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的一種近似數(shù)值方法，用來(lái)解決力學(xué)、數(shù)學(xué)中的帶有特定邊界條件的偏微分方程問(wèn)題，這些偏微分方程是求解各類復(fù)雜科學(xué)和工程問(wèn)題的工具。有限元方法和計(jì)算機(jī)發(fā)展共同構(gòu)成了現(xiàn)代計(jì)算力學(xué)的基礎(chǔ)[1]。有限元方法課程是青島農(nóng)業(yè)大學(xué)農(nóng)業(yè)機(jī)械工程專業(yè)碩士研究生重要的必修課程之一。不僅為學(xué)生提供扎實(shí)的力學(xué)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)用于學(xué)科領(lǐng)域的更深層次的科研工作，還為學(xué)生利用大型商用有限元分析軟件（如ANSYS、ABAQUS等）采用計(jì)算機(jī)輔助工程（computeraidedengineering，CAE）方法解決農(nóng)業(yè)工程中的實(shí)際問(wèn)題提供了基本的學(xué)科理論知識(shí)素養(yǎng)，使學(xué)生能夠更加快速地上手和借助軟件解決農(nóng)業(yè)機(jī)械研制過(guò)程中復(fù)雜結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、屈曲穩(wěn)定性、動(dòng)力響應(yīng)和疲勞斷裂等力學(xué)性能的分析、物理場(chǎng)計(jì)算及結(jié)構(gòu)性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高農(nóng)機(jī)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量，為社會(huì)培養(yǎng)合格的CAE技術(shù)人才。

目前，國(guó)內(nèi)開(kāi)設(shè)有限元方法課程的院校很多，不僅在航空航天飛行器制造、船舶工業(yè)、汽車工業(yè)和土木建筑等工科領(lǐng)域，甚至生物學(xué)、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域都有越來(lái)越深層次的應(yīng)用[2]。但課程普遍存在內(nèi)容繁雜、不連貫、重點(diǎn)內(nèi)容不突出，有限元方法與商用有限元軟件脫節(jié)，試驗(yàn)環(huán)節(jié)匱乏及未突出專業(yè)特色等問(wèn)題，使得學(xué)生普遍反映課程太難，理論知識(shí)晦澀難懂等問(wèn)題，造成課程耗時(shí)長(zhǎng)但實(shí)際收效低的局面[3-4]。因此，本研究對(duì)有限元方法課程理論教學(xué)部分進(jìn)行改革，從學(xué)生易學(xué)、愿學(xué)、好學(xué)和學(xué)好的角度，系統(tǒng)梳理和優(yōu)化現(xiàn)有課程內(nèi)容，使理論課程內(nèi)容更加契合農(nóng)業(yè)機(jī)械工程專業(yè)研究生高素質(zhì)人才培養(yǎng)的目標(biāo)，提高人才培養(yǎng)水平，即具有更深層次科學(xué)研究的扎實(shí)理論基礎(chǔ)，具備工程分析、實(shí)踐和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，具備前沿資料的查閱能力和國(guó)際化的視野，緊跟專業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展趨勢(shì)和科技發(fā)展的步伐。

1 存在問(wèn)題

1.1 課程內(nèi)容繁雜、不連貫，重點(diǎn)不突出

有限元分析課程是建立在機(jī)械原理、理論力學(xué)、材料力學(xué)、農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)、CAD機(jī)械設(shè)計(jì)、高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等多門前期課程基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)、力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)等基礎(chǔ)知識(shí)要求高，以及現(xiàn)有課程普遍存在內(nèi)容繁雜、前后知識(shí)不連貫、重點(diǎn)不突出、知識(shí)點(diǎn)零散及難以做到循序漸進(jìn)等問(wèn)題，使得課程內(nèi)容晦澀難懂，學(xué)習(xí)難度大。

1.2 有限元方法與商用有限元軟件之間脫節(jié)

有限元方法課程和有限元軟件屬于不同的概念，但對(duì)于需要工程化實(shí)際應(yīng)用的工科碩士生而言，有限元方法課程學(xué)習(xí)是大型商業(yè)軟件使用的知識(shí)儲(chǔ)備基礎(chǔ)。但是課程多采用桿、梁、門型框架結(jié)構(gòu)及簡(jiǎn)單三維立體結(jié)構(gòu)等作為實(shí)例，距離具有龐大網(wǎng)格數(shù)量的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的有限元分析存在較大的差距，有限元方法課程理論與實(shí)際工程實(shí)踐應(yīng)用脫節(jié)。

1.3 驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算試驗(yàn)環(huán)節(jié)匱乏

有限元方法課程所給出的實(shí)例多屬于固定幾何結(jié)構(gòu)模型的解析求解和有限元法求解，通過(guò)Matlab或者ANSYS等軟件實(shí)現(xiàn)計(jì)算和仿真。這些模型結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，如由兩個(gè)垂直梁和一個(gè)橫梁組成的門型框架結(jié)構(gòu)，類似的實(shí)例應(yīng)該在給出計(jì)算和仿真的同時(shí)進(jìn)行實(shí)物試驗(yàn)，并對(duì)比各環(huán)節(jié)結(jié)果，建立起客觀物理存在與理論分析之間的對(duì)比驗(yàn)證，使學(xué)生收獲完整的認(rèn)知閉環(huán)。

1.4 缺乏專業(yè)特色

有限元分析課程理論知識(shí)適用于各種不同的學(xué)科領(lǐng)域，不同的學(xué)科普遍采用典型的實(shí)例進(jìn)行理論分析和仿真驗(yàn)證，這些實(shí)例有非常典型的代表性，或者在不同領(lǐng)域都具有適應(yīng)性，但是缺乏專業(yè)特色。農(nóng)業(yè)機(jī)械工程專業(yè)可適當(dāng)引入一些農(nóng)業(yè)機(jī)械關(guān)鍵部件的有限元分析實(shí)例，如拖拉機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]、旋耕機(jī)刀片結(jié)構(gòu)受載有限元分析[6]、蔬菜移栽機(jī)取苗驅(qū)動(dòng)裝置優(yōu)化與結(jié)構(gòu)減震研究[7]及玉米收獲機(jī)果穗箱支架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[8]等，為學(xué)生提供專業(yè)方向引導(dǎo)。

2 理論教學(xué)內(nèi)容體系建立

有限元方法課程授課面對(duì)的是碩士研究生，理論知識(shí)的深造是課程的重中之重。只有打好理論基礎(chǔ)，才能研究更深層次的內(nèi)容，才能更好地理解知識(shí)，實(shí)現(xiàn)有效的工程應(yīng)用。尤其是新材料、新技術(shù)、新領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)，掌握扎實(shí)的理論知識(shí)可以應(yīng)用到不同領(lǐng)域，以不變應(yīng)萬(wàn)變、舉一反三。因此，在系統(tǒng)梳理有限元方法理論知識(shí)體系的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、化繁為簡(jiǎn)，采用符合知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律的方式循序漸進(jìn)地調(diào)整課程內(nèi)容，調(diào)整后的內(nèi)容主要包括以下4部分。

2.1 基本數(shù)學(xué)、力學(xué)概念和學(xué)科常識(shí)的系統(tǒng)化講解

（1）力學(xué)體系和力學(xué)分類。力學(xué)分為質(zhì)點(diǎn)力學(xué)、剛體力學(xué)和變形體力學(xué)等，不同情況、不同學(xué)科領(lǐng)域的力學(xué)知識(shí)構(gòu)成一個(gè)龐大而復(fù)雜的系統(tǒng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)面對(duì)各種不斷出現(xiàn)的力學(xué)名詞和求解條件而感到茫然，思維適應(yīng)性轉(zhuǎn)變遲滯。改革后，采用對(duì)比的方式給出不同力學(xué)類別問(wèn)題的基本變量、基本方程及求解方式，建立力學(xué)系統(tǒng)整體概念，給出有限元方法在整個(gè)學(xué)科的定位，便于學(xué)生建立力學(xué)體系，加深對(duì)有限元方法的理解。

（2）基本參數(shù)和基本概念體系。通過(guò)特定材料拉伸試驗(yàn)，從力的平衡、變形狀態(tài)、材料行為描述材料的力學(xué)行為、建立基本的力學(xué)概念。逐步推導(dǎo)和建立起的3大類變量（位移、應(yīng)力、應(yīng)變）和3大類方程（力的平衡方程、幾何變形方程、物理本構(gòu)方程）。將1D、2D和3D問(wèn)題進(jìn)行匯總和比較，便于學(xué)生理解和對(duì)比記憶。

（3）全域和子域的概念及函數(shù)逼近的方法?；谌虻暮瘮?shù)逼近方法：采用定義在全域上的基底函數(shù)的線性組合對(duì)原函數(shù)逼近，基底函數(shù)高次連續(xù)，僅采用幾個(gè)基底函數(shù)便能夠得到較高的逼近精度。基于子域的函數(shù)逼近方法：采用線性函數(shù)在子域上分段展開(kāi)，在每個(gè)子域用不同的線性函數(shù)逼近，然后求和逼近原始函數(shù)。建立科學(xué)的概念體系，準(zhǔn)確理解不同求解方法的原理。

（4）力學(xué)描述的思路，形成有限元方法的求解思想。對(duì)于簡(jiǎn)單幾何形狀（如桿、梁等）采用材料力學(xué)的特征建模方法，直接針對(duì)對(duì)象建模。建立線性方程或二階微分方程用于分析拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲。對(duì)于任意復(fù)雜幾何形狀，采用通用建模方法，從對(duì)象中取出微小體元建立3大類變量和3大類方程，通過(guò)求解偏微分方程獲得力學(xué)對(duì)象描述。

（5）幾何形狀復(fù)雜、邊界條件復(fù)雜的變形體力學(xué)描述。系統(tǒng)講解連續(xù)性、均勻性、各向同性、線彈性和小變形5個(gè)假定提出的目的及意義。給出取內(nèi)部微元體，建立3大類變量+3大類方程+2類邊界條件描述復(fù)雜形狀變形體力學(xué)問(wèn)題，通過(guò)求解方程獲得應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量的過(guò)程。

2.2 復(fù)雜變形體力學(xué)方程求解的經(jīng)典試函數(shù)方法

在幾何形狀和邊界條件都復(fù)雜的情況下，在給定邊界條件下針對(duì)3大類變量和3大類方程采用直接求解的方法（如解析法、半解析法和差分法）非常困難，尤其是復(fù)雜的3D問(wèn)題。采用試函數(shù)方法，可大大降低求解難度，試函數(shù)法分類及求解步驟如圖1所示[9]。學(xué)習(xí)試函數(shù)方法是有限元方法求解微元體偏微分方程的基礎(chǔ)。詳細(xì)介紹有限單元力學(xué)方程求解的基本方法：加權(quán)殘值法和基于能量原理求解試函數(shù)的方法。分析求解過(guò)程。試函數(shù)的選取非常關(guān)鍵，直接影響求解結(jié)果。

2.3 復(fù)雜變形體求解的有限元方法思想及基本性質(zhì)

系統(tǒng)講授有限元方法思想。如圖2所示，將復(fù)雜幾何體進(jìn)行全域離散，分段、分片和分塊（標(biāo)準(zhǔn)幾何劃分形成單元庫(kù)，注意高階及復(fù)雜單元的處理），在標(biāo)準(zhǔn)化微小單元上進(jìn)行場(chǎng)描述，形成單元位移場(chǎng)函數(shù)、應(yīng)變場(chǎng)函數(shù)和引力場(chǎng)函數(shù)。根據(jù)能量原理在單元上構(gòu)造試函數(shù)并建立力學(xué)方程，形成單元?jiǎng)偠确匠?。將單元拼接集成形成整體剛度方程。處理位移邊界條件獲得所有節(jié)點(diǎn)位移值，計(jì)算約束支反力，并計(jì)算單元應(yīng)力、應(yīng)變等其他物理量。同時(shí)計(jì)算有限元分析數(shù)值解的精度、性質(zhì)與誤差，給出控制誤差、提高精度的方法，以及梁?jiǎn)卧?、空間幾何體的實(shí)例展示有限元方法的求解過(guò)程。

2.4 Matlab和ANSYS軟件應(yīng)用

Matlab是功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，利用Matlab進(jìn)行有限元分析是工程領(lǐng)域重要的研究手段之一，可以解決許多復(fù)雜的物理系統(tǒng)問(wèn)題，如結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題、流體或熱傳導(dǎo)問(wèn)題等。Matlab提供了1D～3D的有限元求解函數(shù)，如表1所示。ANSYS是融結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)和聲場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元分析軟件，功能強(qiáng)、操作簡(jiǎn)單方便，是國(guó)際流行的有限元分析軟件之一[10]。課程通過(guò)實(shí)例給出Matlab、ANSYS有限元分析過(guò)程，演示復(fù)雜幾何變形體的求解計(jì)算過(guò)程，提供農(nóng)業(yè)機(jī)械工程專業(yè)碩士生必不可少的科研工具和必備技能，為新材料、新結(jié)構(gòu)和新技術(shù)的研究及新領(lǐng)域的開(kāi)拓提供重要的研究手段。

3 教學(xué)改革引入新內(nèi)容

3.1 雙語(yǔ)教學(xué)

（1）主流有限元軟件使用需求。在有限元仿真軟件領(lǐng)域，已形成了ANSYS（Workbench、LS-DYNA、nCode、Fluent、Maxwell）、DassultSystems（Abaqus、CATIA、PowerFLOW、CSTStudioSuite）、Altair（HyperMesh、OptiStruct、EDEM、PBS）、MSC和Siemens為主的局面[11]。國(guó)產(chǎn)有限元仿真軟件少，投入商用的更少。學(xué)生在進(jìn)行復(fù)雜幾何模型計(jì)算機(jī)數(shù)值分析時(shí)，要想熟練使用這些全英文軟件，需要掌握英文專業(yè)術(shù)語(yǔ)，才能查看英文材料獲得第一手信息。如使用Abaqus時(shí)，其幫助文件提供了從基礎(chǔ)理論到工程實(shí)踐過(guò)程的綜合性文件，提供原始的理論模型，能夠詳盡地解釋有限元理論所涉及的數(shù)學(xué)、力學(xué)及建模過(guò)程的原理，英文原版資料降低了學(xué)生吸收錯(cuò)誤知識(shí)的幾率。

（2）閱讀外文文獻(xiàn)需求。目前，世界重要的期刊和前沿科技信息大部分是使用英文，有限元方法的發(fā)展過(guò)程和重要書籍也是外文資料。為了閱讀、撰寫和投稿，需要提升英文水平，引入雙語(yǔ)教學(xué)后，課程專業(yè)術(shù)語(yǔ)得到積累，有利于形成關(guān)鍵字，便于查閱論文、網(wǎng)站資源，形成研究生的一項(xiàng)基本能力。

3.2 經(jīng)典科技作品查閱和導(dǎo)讀

想要學(xué)好有限元方法課程，只上一門課程或者只看一本書得到的知識(shí)是有限的，引入經(jīng)典書籍和前沿科技論文的閱讀，是拓展課程知識(shí)、學(xué)科視野、加深知識(shí)理解的重要途經(jīng)?？梢栽谡n堂上選取部分章節(jié)學(xué)習(xí)，閱讀作業(yè)可以作為平時(shí)成績(jī)計(jì)入學(xué)科總成績(jī)。如圖3所示，給出部分經(jīng)典的有限元書籍，除此以外，《AFirstCourseinFiniteElements》《TheFiniteElementMethod》《TheFiniteElementMethod：LinearStaticandDynamicFiniteElementAnalysis》《ComputingwithHp-adaptiveFiniteElements》和《EnergyandFiniteElementMethodsinStructuralMechanics》也是比較好的書籍，課程可以提供電子版的閱讀材料。

3.3 引入具有專業(yè)特色的實(shí)際工程案例

由于計(jì)算機(jī)大規(guī)模計(jì)算能力的提升，有限元數(shù)值分析軟件功能越來(lái)越強(qiáng)大，應(yīng)用范圍越來(lái)越廣。以ANSYSWorkbench為例，可以對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)靜力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、剛體動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)熱、電磁場(chǎng)及耦合場(chǎng)等進(jìn)行分析模擬。有限元方法課程內(nèi)容偏重于力學(xué)和數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)求解，研究對(duì)象雖然是復(fù)雜幾何變形體，但是實(shí)例的網(wǎng)格單元數(shù)有限，即使采用Matlab和ANSYS，也僅是門型框架結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)單空間結(jié)構(gòu)，距離具有龐大網(wǎng)格數(shù)量的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的有限元分析存在較大的差距，學(xué)生學(xué)完課程后依然很難與實(shí)際工程項(xiàng)目建立聯(lián)系。因此，課程引入復(fù)雜系統(tǒng)有限元分析實(shí)例，將有助于學(xué)生了解工程實(shí)際應(yīng)用，掌握有限元方法在CAE分析中的作用。對(duì)于農(nóng)業(yè)機(jī)械工程專業(yè)，課程可以重點(diǎn)引入與農(nóng)業(yè)機(jī)械專業(yè)相關(guān)的有限元仿真過(guò)程，如利用ANSYSWorkbench實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)蔬菜穴盤苗移栽機(jī)栽植機(jī)構(gòu)有限元仿真分析，如圖4所示[12-15]。由于復(fù)雜系統(tǒng)的有限元分析計(jì)算對(duì)計(jì)算機(jī)配置要求高，數(shù)值計(jì)算所需時(shí)間長(zhǎng)，因此這種分析過(guò)程在實(shí)驗(yàn)室或者課堂上通過(guò)事先錄制視頻的形式向?qū)W生展示，可以建立相應(yīng)的視頻庫(kù)，開(kāi)拓學(xué)生的視野和思路。

4 結(jié)束語(yǔ)

從課程存在問(wèn)題分析、建立新的有限元方法課程理論教學(xué)內(nèi)容體系、引入有限元方法教學(xué)改革新內(nèi)容3個(gè)方面闡述了有限元方法課程的理論教學(xué)部分的內(nèi)容與改革。系統(tǒng)地梳理了課程重點(diǎn)知識(shí)、整理了授課思路，采用符合知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律的方式循序漸進(jìn)地調(diào)整課程內(nèi)容。同時(shí)引入雙語(yǔ)教學(xué)、經(jīng)典科技作品查閱和導(dǎo)讀、計(jì)算機(jī)有限元數(shù)值計(jì)算軟件的工程實(shí)際應(yīng)用案例實(shí)現(xiàn)課程改革，實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容的完善和補(bǔ)充。

改革后，授課內(nèi)容重點(diǎn)突出、循序漸進(jìn)，繁雜知識(shí)點(diǎn)得到了很好地梳理，學(xué)生思路清晰，克服了由于數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)而造成的聽(tīng)不懂現(xiàn)象，準(zhǔn)確建立學(xué)科知識(shí)體系概念，清晰地明確課程在學(xué)科中的定位和工程應(yīng)用中的作用。課程改革取得良好的教學(xué)效果，學(xué)生整體學(xué)習(xí)成績(jī)上升。同時(shí)由于雙語(yǔ)教學(xué)、經(jīng)典外文書籍薦讀，學(xué)生英語(yǔ)搜索、閱讀、撰寫和投稿水平得到提升，形成了研究生的一項(xiàng)基本能力。因此，改革有助于學(xué)生獲得扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，具備工程分析、實(shí)踐和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，具備前沿資料的查閱能力、國(guó)際化的視野，緊跟專業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展趨勢(shì)和科技發(fā)展的步伐，為將來(lái)開(kāi)展更深層次的研究和行業(yè)工程應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。