孿生數(shù)據(jù)驅(qū)動的大型礦井提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可靠性分析

摘要： 設(shè)計(jì)階段的大型礦井提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可靠性分析因試驗(yàn)樣本不足，無法獲取振動加速度響應(yīng)的完備概率信息。提出了概率信息不完備下大型礦井提升機(jī)主軸承設(shè)計(jì)可靠性分析的技術(shù)路線：滾動軸承多尺度耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型?振動加速度概率密度演化?概率密度演化路徑隨機(jī)過程建模?振動功率譜密度的概率分布?基于條件概率的設(shè)計(jì)可靠度計(jì)算。運(yùn)用已采集的工況數(shù)據(jù)驅(qū)動建立滾動軸承多尺度耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，開展了振動加速度概率密度演化研究；基于概率密度演化和Karhunen?Loève展開，提出了滾動軸承振動加速度的非平穩(wěn)隨機(jī)過程建模方法，獲得了滾動軸承振動加速度隨機(jī)序列的孿生數(shù)據(jù)；研究了大型礦井提升機(jī)主軸承振動加速度功率譜密度的概率分布，并計(jì)算了大型礦井提升機(jī)主軸承在服役時間上的設(shè)計(jì)可靠度指標(biāo)。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)振動； 設(shè)計(jì)可靠性分析； 孿生數(shù)據(jù)； 大型礦井提升機(jī)主軸承； 概率信息不完備

中圖分類號： O324； TD534 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-0915-13

DOI： 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.002

1 概 述

設(shè)計(jì)階段的大型礦井提升機(jī)主軸承將在低轉(zhuǎn)速、重載荷和強(qiáng)沖擊的復(fù)雜環(huán)境中工作，其運(yùn)行穩(wěn)定性受到宏尺度系統(tǒng)動態(tài)特性和微尺度材料磨損的共同作用。由軸承內(nèi)圈沖擊激勵產(chǎn)生的系統(tǒng)振動會引起外圈滾道與滾動體的局部接觸應(yīng)力變大。外圈滾道在局部高接觸應(yīng)力作用下會因疲勞磨損而導(dǎo)致其表面材料剝落，形成點(diǎn)蝕。同時，外圈滾道的點(diǎn)蝕故障激勵會引起滾動軸承較大的振動響應(yīng)［1］。實(shí)際中，滾動軸承的宏尺度系統(tǒng)動態(tài)特性和微尺度材料磨損還受到制造水平的影響，進(jìn)而導(dǎo)致滾動軸承的振動響應(yīng)遵循某種隨機(jī)過程［2］。此外，設(shè)計(jì)階段的大型礦井提升機(jī)主軸承因其價格昂貴和工況復(fù)雜，只能開展小樣本試驗(yàn)，甚至無法開展試驗(yàn)。雖然隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)可以從小樣本隨機(jī)序列中統(tǒng)計(jì)，但是概率分布無法從小樣本隨機(jī)序列中恢復(fù)，特別是四階矩［3］都隨時間變化的概率分布。因此，信息不完備下大型礦井提升機(jī)主軸承的設(shè)計(jì)可靠性分析是一個工程難題。

數(shù)字孿生技術(shù)［4］提供了很好的解決思路，在狀態(tài)量無法監(jiān)測的前提下，可以通過監(jiān)測環(huán)境變量來驅(qū)動物理模型，進(jìn)而獲取滾動軸承的振動響應(yīng)并開展可靠性研究。孿生數(shù)據(jù)驅(qū)動的設(shè)計(jì)可靠性分析通過綜合考慮設(shè)計(jì)產(chǎn)品的制造水平和復(fù)雜工況，把未來服役的設(shè)計(jì)產(chǎn)品的運(yùn)行狀態(tài)全部提前映射出來，并基于孿生的狀態(tài)數(shù)據(jù)給出設(shè)計(jì)可靠度。

圖1詳細(xì)描述了孿生數(shù)據(jù)驅(qū)動的大型礦井提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可靠性分析的技術(shù)路線。主要包括：第一，分析的對象是設(shè)計(jì)階段的主軸承；第二，復(fù)雜工況隨機(jī)分配給每個確定的主軸承；第三，主軸承的運(yùn)行狀態(tài)被提前孿生。基于設(shè)計(jì)院確定的設(shè)計(jì)參數(shù)，建立共性的滾動軸承多尺度系統(tǒng)動力學(xué)模型；根據(jù)制造商的不完備制造水平信息，模型參數(shù)隨機(jī)化并確定個性的動力學(xué)模型，且每個軸承產(chǎn)品的個性動力學(xué)模型具備概率屬性；考慮到經(jīng)銷商隨機(jī)發(fā)貨給不同的煤礦企業(yè)，即每個軸承產(chǎn)品的服役工況具有不確定性，采集的工況數(shù)據(jù)被隨機(jī)分配給個性的動力學(xué)模型；通過工況數(shù)據(jù)驅(qū)動個性的動力學(xué)模型，孿生出大量的振動響應(yīng)，進(jìn)而建立振動響應(yīng)的非平穩(wěn)非高斯隨機(jī)模型并計(jì)算這批軸承的可靠度。

以上孿生數(shù)據(jù)驅(qū)動的大型礦井提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可靠性分析技術(shù)路線涉及概率分配的技術(shù)問題，即個性的動力學(xué)模型以多少概率出現(xiàn)和工況數(shù)據(jù)以多少概率分配給個性的動力學(xué)模型，在這兩個概率的耦合下產(chǎn)生的振動響應(yīng)也具備某種概率屬性。

本文以礦井提升機(jī)主軸承為研究對象，建立滾動軸承宏微尺度耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型；針對信息不完備的概率空間，提出一種基于線性矩的GF偏差代表點(diǎn)選取策略，并開展?jié)L動軸承振動響應(yīng)的概率密度演化研究；針對概率密度演化缺失隨機(jī)序列信息，提出一種基于概率密度演化路徑的非平穩(wěn)隨機(jī)過程建模方法，進(jìn)而獲取隨機(jī)振動功率譜密度的概率密度函數(shù)；最后計(jì)算礦井提升機(jī)主軸承的可靠度。

2 主軸承多尺度系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 宏尺度系統(tǒng)動力學(xué)方程

如圖2所示，礦井提升機(jī)主軸承的內(nèi)圈同時受到X和Y軸方向上的徑向力和。滾動軸承的非線性動力學(xué)模型［1］包括內(nèi)、外圈水平和豎直方向的4個自由度以及單元諧振器豎直方向的1個自由度。其中，，和分別為內(nèi)圈、外圈和單元諧振器的質(zhì)量；，和分別為內(nèi)圈、外圈和單元諧振器的阻尼；，和分別為內(nèi)圈、外圈和單元諧振器的剛度；和分別為接觸力f在X和Y方向的分量。

根據(jù)牛頓第二定律，滾動軸承的動力學(xué)方程為：

（1）

式中 和分別為內(nèi)圈和外圈在X方向的位移；和分別為內(nèi)圈和外圈在Y方向的位移；為軸承的振動響應(yīng)。

式（1）還可以寫成矩陣的形式，其表達(dá)式為：

（2）

式中 M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；X為位移向量；F為接觸力向量；Q（t）為徑向力向量。

設(shè)滾動軸承節(jié)圓直徑為，滾動體直徑為，內(nèi)圈角速度為w，則保持架角速度為：

（3）

表示第i個滾動體在時間t的角位置，其公式為：

；（4）

式中 為滾動體的數(shù)目；為滾動體的初始角位置。

滾動軸承受內(nèi)圈徑向載荷的作用，第i個滾動體在角位置的總接觸變形量為：

（5）

式中 為滾動軸承的徑向間隙；為外圈滾道上點(diǎn)蝕的深度；為判斷函數(shù)，如下式所示：

（6）

式中 為外圈滾道上點(diǎn)蝕所在的位置角，為點(diǎn)蝕的角寬度。

根據(jù)非線性Hertz接觸理論，第i個滾動體的接觸力為：

（7a）

（7b）

式中 為接觸剛度；為判斷函數(shù)，其表達(dá)式為：

。

2.2 微尺度材料滑動磨損方程

假設(shè)外圈滾道的磨損為屈服線性磨損過程，即體積磨損率與法向載荷成正比。由Holm?Archard方程［5］可知：

（8）

式中 V為體積磨損量；s為滑動距離；K為無量綱磨損系數(shù)；H為材料硬度；為法向載荷。

將式（8）的等號兩邊同時除以表觀接觸面積，可得：

（9）

式中 h為磨損深度；p為法向接觸壓力。

如圖3所示，滾動體與滾道間的接觸面積近似為長方形，其長為 mm，寬為 mm，施加在第i個滾動體上的法向載荷為，則在第i個滾動體處施加在外圈滾道的平均法向接觸壓力為：

（10）

假設(shè)H為常數(shù)，則K和H可組合為無量綱磨損系數(shù)k，式（9）還可以表達(dá)為：

（11）

當(dāng)滾動軸承旋轉(zhuǎn)一周時，每個滾動體在外圈滾道上點(diǎn)蝕處的滑動距離為，則外圈滾道上點(diǎn)蝕處的磨損深度為：

（12）

式中 h即為式（5）的點(diǎn)蝕深度。

2.3 多尺度耦合系統(tǒng)動力學(xué)仿真

為了獲得礦井提升機(jī)主軸承宏微尺度耦合系統(tǒng)的振動加速度響應(yīng)，利用Runge?Kutta法求解式（1）。礦井提升機(jī)主軸承多尺度耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型的主要參數(shù)如表1所示，其中，，，和分別為和的均值。

圖4（a）～（c）分別為礦井提升機(jī)主軸承多尺度耦合系統(tǒng)的振動加速度時間歷程。隨著外圈滾道磨損深度的增加，滾動軸承加速度的振幅逐漸增大。在服役時間 s內(nèi)，滾動軸承加速度的最大振幅為0.998 m/s2；在服役時間 s內(nèi)，滾動軸承加速度的最大振幅為2.769 m/s2；在服役時間 s內(nèi)，滾動軸承加速度的最大振幅為4.441 m/s2。

3 主軸承隨機(jī)振動的不確定性量化

3.1 信息不完備下概率空間選點(diǎn)的線性矩法

概率空間由d維隨機(jī)向量X構(gòu)成，且各分量的概率分布未知。實(shí)際中，只有少量樣本信息能被知曉。基于有限個（ns>200）隨機(jī)樣本，的前4個線性矩［6?7］分別定義為：

（13a）

（13b）

（13c）

（13d）

式中 為概率權(quán)重矩，其表達(dá)式為：

（14）

式中 為的樣本容量；為的第j個次序統(tǒng)計(jì)量。

為了標(biāo)準(zhǔn)化的高階線性矩，它的偏度和峰度用線性矩比來描述，如下式所示：

（15a）

（15b）

式中 和分別為的線性偏度和線性峰度。

根據(jù)三次正態(tài)變換多項(xiàng)式［6］，可近似為：

（16）

式中 為三次多項(xiàng)式函數(shù)；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的樣本；，，和為多項(xiàng)式系數(shù)，其解析表達(dá)式見附錄A。

按照變量的等概率變換原則，的累積分布函數(shù)表達(dá)為：

（17）

式中 和分別為和的累積分布函數(shù)，和的對應(yīng)關(guān)系如式（16）所示。

相較傳統(tǒng)的Pearson相關(guān)系數(shù)，Kendall（或Spearman）秩相關(guān)系數(shù)能在非線性變換的前提下保持不變。由于和的對應(yīng)關(guān)系是非線性變換，因此，秩相關(guān)系數(shù)被用來度量和未知變量的關(guān)聯(lián)程度。

假設(shè)和的Kendall秩相關(guān)系數(shù)為，那么，中間標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量和的Kendall秩相關(guān)系數(shù)也為。與對應(yīng)的Pearson相關(guān)系數(shù)為：

（18）

對應(yīng)的Pearson相關(guān)矩陣描述為：

（19）

基于正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換性質(zhì)，Z可以用U來表示，其表達(dá)式為：

（20）

式中 A為R的Cholesky分解；為A的轉(zhuǎn)置，其表達(dá)式為：

。

根據(jù)式（16）和（20），和最終可以分別表示為：

（21a）

（21b）

3.2 概率空間剖分與賦得概率計(jì)算

代表點(diǎn)選取的基本原則是在均勻抽樣的基礎(chǔ)上確保經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的偏差很小。針對信息不完備的概率空間，本節(jié)提出了一種改進(jìn)的GF偏差代表點(diǎn)［8］選取策略。

一個完整的概率空間被剖分成一系列子域（），即滿足：（1）；（2），。在子域內(nèi)的代表點(diǎn)用表示，其中，是一個d維隨機(jī)向量。的Voronoi區(qū)域用表示，其表達(dá)式為：

（22）

式中 為概率空間的代表點(diǎn)集；為N個d維隨機(jī)向量組成的空間。

顯然，的體積需要用Monte Carlo方法獲取，其代表點(diǎn)的賦得概率與的體積有關(guān)。

圖5為利用Voronoi區(qū)域計(jì)算代表點(diǎn)的賦得概率的示意圖。以的概率空間為例，基于外接圓法計(jì)算Voronoi區(qū)域的面積，并采用微元法近似其代表點(diǎn)的賦得概率。每個Voronoi區(qū)域的外接圓的最大半徑可以表達(dá)為：

（23）

如圖5所示，以代表點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，圓的面積為。采用Monte Carlo方法在圓內(nèi)均勻撒入個測試點(diǎn) ，計(jì)算每個測試點(diǎn)與代表點(diǎn)的距離。若測試點(diǎn)滿足公式（23），則：

（24）

式中 為與相鄰的代表點(diǎn)，則屬于代表點(diǎn)的Voronoi區(qū)域。

記測試點(diǎn) 中屬于的Voronoi區(qū)域的數(shù)目為，則Voronoi區(qū)域的面積可以近似為：

（25）

位于Voronoi區(qū)域的每個測試點(diǎn)代表的面積可以近似為：

（26）

采用微元法，位于Voronoi區(qū)域的代表點(diǎn)的賦得概率計(jì)算為：

（27）

式中 為測試點(diǎn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

根據(jù)式（16）和（17），可以表達(dá)為：

（28）

式中 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)；為測試點(diǎn)的等概率變換點(diǎn)，它們對應(yīng)關(guān)系如式（16）所示；為的第j個分量。若考慮的兩個分量間的相關(guān)性，可以參照式（21a）和（21b）。

對代表點(diǎn)（）的概率進(jìn)行歸一化處理，如下式所示：

（29）

式中 為代表點(diǎn)的最終賦得概率。

實(shí)際上，概率空間只能被剖分成有限個且盡可能少的子域。因此，GF偏差通常被用來作為概率空間最佳剖分的指標(biāo)，其表達(dá)式為：

（30）

式中 為第j個變量的邊際分布函數(shù)，其表達(dá)式如式（17）所示；為概率空間剖分影響下第j個變量的經(jīng)驗(yàn)邊際分布函數(shù)，可以表達(dá)為：

（31）

式中 為指示函數(shù)；為代表點(diǎn)的第j個分量。

代表點(diǎn)集的GF偏差越小，概率空間的剖分越合理。因此，概率空間的剖分可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題。這種最優(yōu)化問題可以通過遺傳算法或其他優(yōu)化方法解決，但要占據(jù)大量的計(jì)算資源。本節(jié)采用點(diǎn)集重排法實(shí)現(xiàn)快速的概率空間剖分。該方法包括兩個步驟：（1）生成初始點(diǎn)集；（2）重新排列以減少GF偏差。

由Sobol序列［9］生成在單位超立方體的d維均勻點(diǎn)集，如下式所示：

（32）

根據(jù)式（19a）和（19b），在物理空間被第一次均勻化的初始點(diǎn)集可以定義為：

（33）

式中 為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的點(diǎn)集，其表達(dá)式為：

（34）

式中 為的逆函數(shù)。

為了確保初始點(diǎn) 所處的Voronoi區(qū)域的彼此接近，在每個維度上被第二次均勻化，如下式所示：

（35）

式中 為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間被第二次均勻化的點(diǎn)集，定義為：

（36）

式中 為在物理空間內(nèi)第j個維度上被第一次均勻化的點(diǎn)集，當(dāng)時，。

根據(jù)式（29）和（31），的最終賦得概率和經(jīng)驗(yàn)邊際分布函數(shù)被分別確定。為了減少的GF偏差，在經(jīng)驗(yàn)邊際分布函數(shù)上被第三次均勻化，如下式所示：

（37）

式中 為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間被第三次均勻化的點(diǎn)集，定義為：

（38）

式中 為在物理空間內(nèi)第j個維度上被第二次均勻化的點(diǎn)集；為代表點(diǎn)的最終賦得概率。當(dāng)時，，。

在信息不完備的概率空間中，由以上的點(diǎn)集重排法所確定的代表點(diǎn)集 通常只是次佳的。但是，的精度在實(shí)際應(yīng)用中足夠滿足大部分工程的要求。表2為影響礦井提升機(jī)主軸承多尺度耦合系統(tǒng)振動響應(yīng)的隨機(jī)變量。

如圖6所示，代表點(diǎn)數(shù)量q是影響選點(diǎn)策略精度的主要因素，而測試點(diǎn)數(shù)量對選點(diǎn)策略精度的影響較小。當(dāng)時，選點(diǎn)策略能達(dá)到較好的精度效果，其GF偏差的范圍為。當(dāng)時，采用獲得的選點(diǎn)策略的GF偏差為0.0271；而采用獲得的選點(diǎn)策略的GF偏差為0.0303。因此，的增加并不能顯著地提高選點(diǎn)策略的穩(wěn)定性。在工程應(yīng)用中，可以選取較大的q和較小的，在多次嘗試的情況下選擇滿足工程要求的代表點(diǎn)集。

3.3 隨機(jī)振動的概率密度演化

礦井提升機(jī)主軸承多尺度耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程的參數(shù)用一系列基本隨機(jī)變量表示。根據(jù)式（2），主軸承的隨機(jī)動力學(xué)方程可以表示為：

（39）

基于隨機(jī)動力系統(tǒng)的概率守恒原理，式（39）的廣義概率密度演化方程［10］為：

（40）

式中 為隨機(jī)變量A和的聯(lián)合概率密度函數(shù)；為所關(guān)注的物理量，即主軸承的振動加速度響應(yīng)；為所關(guān)注的物理量的狀態(tài)變化速率；a和x分別為A和對應(yīng)的樣本。

式（33）的初始條件為：

（41）

式中 為的聯(lián)合概率密度函數(shù)；為感興趣的物理量的初始值；為Dirac?Delta函數(shù)。

采用有限差分法求解式（40）和（41），的概率密度函數(shù)可以計(jì)算為：

（42）

圖7為礦井提升機(jī)主軸承宏微尺度耦合系統(tǒng)在 s時間歷程的振動加速度概率密度演化。圖7（a）～（c）反映了滾動軸承振動加速度的概率分布隨時間的變化趨勢。滾動軸承振動加速度的變化范圍為-6～6 m/s2，其中，振動加速度以較大的概率出現(xiàn)在-2～2 m/s2。礦井提升機(jī)主軸承在全服役時間歷程的振動加速度概率密度演化見附錄B。

4 主軸承動態(tài)可靠性分析

4.1 概率密度演化路徑非平穩(wěn)隨機(jī)過程建模

概率密度演化缺失隨機(jī)序列信息，無法從頻譜分析的角度對主軸承開展可靠性分析。本節(jié)提出了一種基于概率密度演化路徑的非平穩(wěn)隨機(jī)過程建模方法，其基本思想是使用潛在的非平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程去近似目標(biāo)的非平穩(wěn)非高斯隨機(jī)過程。

為定義在一個概率空間上的隨機(jī)過程，表示t時刻的A在樣本點(diǎn)處的值，它的前4個中心矩被表示為，，和。采用梯形法對3.3節(jié)的概率密度演化進(jìn)行數(shù)值積分，的前4個中心矩［11］能夠被確定。

根據(jù)三次正態(tài)變換多項(xiàng)式［12］，可近似為：

（43）

式中 ，，和為三次多項(xiàng)式的系數(shù)；為非平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。

已知的協(xié)方差函數(shù)為，它的自相關(guān)函數(shù)定義為：

（44）

根據(jù)式（43）和（44），的自相關(guān)函數(shù)與的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系可以表達(dá)為：

（45）

式中 為的自相關(guān)函數(shù)，其解析表達(dá)式見附錄C。

由于和，的協(xié)方差函數(shù)與它的自相關(guān)函數(shù)相等，即

（46）

基于Mercer定理［13］，的譜分解可以表達(dá)為：

（47）

式中 和分別為第二類Fredholm積分方程［14］的特征值和特征函數(shù)，如下式所示：

（48）

式中 為的時間域，有一個完整的正交集，并滿足下式：

（49）

式中 為Kronecker delta函數(shù)。

基于Karhunen?Loève展開［15］，表達(dá)為：

（50）

式中 m為展開項(xiàng)的數(shù)目；為一系列獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。

將式（50）帶入式（43），即得非平穩(wěn)非高斯隨機(jī)過程。

圖8為譜分解的特征函數(shù)和特征值?；谑剑?8）求解產(chǎn)生個特征函數(shù)和特征值。

圖9（a）的為給定的協(xié)方差函數(shù)。由3.2節(jié)概率空間剖分產(chǎn)生個滾動軸承振動加速度隨機(jī)序列樣本，并統(tǒng)計(jì)得到的協(xié)方差函數(shù)為?；谑剑?4）～（46）求解得到的協(xié)方差函數(shù)。圖9（b）為的Karhunen?Loève近似，其近似表達(dá)式見式（47）。

圖10為由概率密度演化路徑非平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的106個振動加速度隨機(jī)序列。其振動加速度幅值和協(xié)方差函數(shù)分別與圖4（c）的振動加速度幅值和協(xié)方差函數(shù)存在著某種“相似性”，即設(shè)計(jì)階段主軸承加速度狀態(tài)量的“孿生”。

4.2 隨機(jī)振動頻譜概率密度函數(shù)分布

如圖10所示，基于4.1節(jié)建立的隨機(jī)過程，采用Monte Carlo方法產(chǎn)生106個加速度隨機(jī)序列。對每個確定的隨機(jī)序列分別進(jìn)行傅里葉變換，如下式所示：

（51）

式中 f為頻率。

對于離散的頻率 ，其對應(yīng)的傅里葉變換定義為：

（52）

式中 為采樣間隔；為時間段的采樣點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)維納?欣欽定理，的功率譜密度定義為：

（53）

對于落在間隔內(nèi)的每個確定的隨機(jī)序列的功率譜密度的片段，統(tǒng)計(jì)其功率譜密度的平均值，如下式所示：

（54）

式中 為落在間隔內(nèi)的數(shù)量；為間隔的中心頻率，其表達(dá)式為：

。

以1/2倍頻程增加用于計(jì)算下一個間隔內(nèi)的功率譜密度的平均值，。直到間隔包括最后的頻率。

將轉(zhuǎn)換為以dB為單位的數(shù)值，其表達(dá)式為：

（55）

對于每個確定的，的概率密度為：

（56）

式中 為106個隨機(jī)序列的落在某個長度為1 dB的間隔內(nèi)的數(shù)量。

圖11為礦井提升機(jī)主軸承振動加速度功率譜密度的概率密度函數(shù)。如圖11（a）所示，在加速度頻率34～40 Hz內(nèi)，滾動軸承振動加速度每間隔兩個頻率出現(xiàn)一個較大的峰值，且較大的峰值以特定的概率出現(xiàn)在之間。圖11（b）反映了在頻率 Hz上的滾動軸承振動加速度較大峰值的概率分布。

4.3 基于條件概率的可靠度計(jì)算

礦井提升機(jī)主軸承外圈的故障頻率定義為：

（57）

式中 和為隨機(jī)變量，其概率分布見表2。

當(dāng)出現(xiàn)在故障頻率上的加速度功率譜密度的峰值超過失效閾值時，礦井提升機(jī)主軸承視為失效。因此，礦井提升機(jī)主軸承的失效概率表達(dá)為：

（58）

式中 為失效閾值；為在“”發(fā)生條件下“大于”發(fā)生的概率，如式（56）和圖11（b）所示；為“”發(fā)生的概率。

根據(jù)式（57）和二階Taylor級數(shù)展開［16］，“”的前4個中心矩可被確定，它們分別為，，和?；谌握龖B(tài)變換多項(xiàng)式，的概率密度函數(shù)可表達(dá)為：

（59）

式中 ，和為三次正態(tài)變換的多項(xiàng)式系數(shù)；和的對應(yīng)關(guān)系為，其中。

圖12為礦井提升機(jī)主軸承外圈故障頻率的概率密度函數(shù)，的定義域?yàn)?。相較圖11（a），滾動軸承振動加速度在頻率 內(nèi)共出現(xiàn)5個峰值，其中較大峰值的概率分布如圖11（b）所示。

將的定義域均等分成5段，每段包括對應(yīng)的加速度頻率。定義式（58）的功率譜密度的失效閾值為。設(shè)計(jì)階段礦井提升機(jī)主軸承在服役時間 s內(nèi)的最終失效概率計(jì)算為：

（60）

相應(yīng)的可靠度為：

（61）

5 結(jié) 論

針對設(shè)計(jì)階段的大型提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動的設(shè)計(jì)可靠性分析缺少試驗(yàn)樣本的工程難題，本文提出了孿生數(shù)據(jù)驅(qū)動的大型礦井提升機(jī)主軸承隨機(jī)振動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可靠性分析的技術(shù)路線。該技術(shù)路線總結(jié)如下：

（1）提出了大型礦井提升機(jī)主軸承宏微尺度耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型，運(yùn)用已采集的載荷歷程驅(qū)動滾動軸承的動力學(xué)模型，并獲取振動加速度響應(yīng)。

（2）針對概率分配的技術(shù)問題：個性的動力學(xué)模型以多少概率出現(xiàn)和工況數(shù)據(jù)以多少概率分配給個性的動力學(xué)模型，提出了信息不完備的概率空間剖分和賦得概率計(jì)算方法。該方法以GF偏差作為概率空間最佳剖分的指標(biāo)，保證了工程的精度要求。

（3）現(xiàn)有的概率密度演化缺失隨機(jī)序列信息，無法從頻譜分析的角度對主軸承開展可靠性分析。提出了概率密度演化路徑非平穩(wěn)隨機(jī)過程建模方法。相較傳統(tǒng)的隨機(jī)過程建模方法，該方法中的分布類型無需假設(shè)，隨機(jī)序列的每個樣本由概率密度演化給定的時間上的分布類型和從物理模型中統(tǒng)計(jì)的協(xié)方差函數(shù)共同決定。

（4）提供了滾動軸承隨機(jī)振動的加速度功率譜密度的概率分布。該功率譜密度的概率分布反映了發(fā)生在頻率上的加速度功率譜密度的峰值概率。若發(fā)生在故障頻率上的加速度功率譜密度的峰值很小，則滾動軸承視為安全。

（5）提供了大型礦井提升機(jī)主軸承在服役時間歷程上的可靠度指標(biāo)，為考慮批量生產(chǎn)的滾動軸承設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

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Twin data-driven design reliability analysis of random vibration system for main bearing of a large mine hoist

CAO Shuang1，2， LU Hao1，2， ZHU Zhen-cai1，2， ZHANG Yi-min3

（1. School of Mechanical & Electrical Engineering， China University of Mining and Technology， Xuzhou 221008， China；2. Jiangsu Key Laboratory of Mine Mechanical and Electrical Equipment， China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008， China； 3. School of Mechanical and Power Engineering， Shenyang University of Chemical Technology， Shenyang 110142， China）

Abstract： In the design phase of a mine hoist’s main bearing， the reliability analysis of its random vibration cannot obtain complete probability information of the vibration acceleration response due to insufficient experimental samples. This paper proposes a new technical route for the reliability analysis of the main bearing of a mine hoist under incomplete probability information. This route includes the dynamic model of a multi-scale coupling system for rolling element bearings， the probability density evolution of vibration acceleration， stochastic process modeling of the probability density evolution path， the probability distribution of vibration power spectral density， and the calculation of design reliability based on conditional probability. By using the collected condition data to drive the established dynamic model of multi-scale coupling system for rolling element bearings， the probability density evolution of vibration acceleration is carried out. Based on the probability density evolution and Karhunen-Loève expansion， a modeling approach for the non-stationary random process of vibration acceleration of rolling element bearings is proposed. This approach obtains the twin data of the random sequence of vibration acceleration for rolling element bearings. The probability distribution of the vibration power spectral density for the main bearing of a mine hoist is studied， and the reliability index of the main bearing of a mine hoist within the service time is calculated.

Key words： random vibration； design reliability analysis； twin data； main bearing of a large mine hoist； incomplete probability information

作者簡介： 曹 爽（1993―），男，博士研究生。 E-mail： caoshuangyc@163.com。

通訊作者： 盧 昊（1985―），男，博士，副教授。 E-mail： haolucumt@163.com。

附錄A：基于正態(tài)變換的三次多項(xiàng)式系數(shù)的解析表達(dá)式

設(shè)式（16）中的前4個線性矩與式（16）中的前4個線性矩相等，可以得到關(guān)于多項(xiàng)式系數(shù)的方程組，如下式所示：

（A1）

（A2）

（A3）

（A4）

其中，和的表達(dá)式分別為：

，。

求解式（A1）～（A4），多項(xiàng)式系數(shù)，，和可被確定為：

，，。

附錄B：全服役時間歷程的加速度概率密度演化

附錄C：的解析表達(dá)式

（1） 當(dāng)時：

（C1）

（2） 當(dāng)且時：

（C2）

（3） 當(dāng)，且時：

（C3）

（4） 當(dāng)，且時：

（C4）

（5） 當(dāng)且時：

（C5）

（6） 當(dāng)且時：

（C6）

其中，g，，，B，C和D的表達(dá)式分別為：

（C7-1）

（C7-2）

（C7-3）

（C7-4）

（C7-5）

（C7-6）

其中，，和的表達(dá)式分別為：

，

，。