自由度可調(diào)模塊單元系統(tǒng)運動學(xué)并行建模

摘 要：

針對多個自由度可調(diào)模塊單元組成的系統(tǒng)，提出含標(biāo)準(zhǔn)化流程的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述及運動學(xué)并行建模方法。首先，建立模塊單元運動傳遞庫，并提出含標(biāo)準(zhǔn)化流程的四元組矩陣模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述。接著，以模塊單元運動學(xué)模型為基礎(chǔ)，考慮多分支模塊化機器人各分支間耦合影響，建立適用于鏈?zhǔn)侥K化機器人的位置級與速度級運動學(xué)模型。隨后，提出模塊化機器人運動學(xué)并行建模方法，理論分析和仿真結(jié)果均表明該算法能夠適應(yīng)各類型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模塊化機器人的快速建模。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與并行計算的引入降低了模塊化機器人建模難度，提升了建模效率。

關(guān)鍵詞：

模塊化機器人; 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu); 分支空間雅可比矩陣; 并行建模

中圖分類號：

TP 242

文獻標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.27

Kinematics parallel modelling of systems consisting of adjustable degree-of-freedom modular units

FEI Junting， JIA Qingxuan， CHEN Gang*

（School of Intelligent Engineering and Automation， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 100876， China）

Abstract：

For the system containing multiple adjustable degree-of-freedom modular units， a mathematical description of the modular robot topology including a standardized process and a kinematics parallel modelling method are proposed. Firstly， a library of the modular unit motion transfer is established， and a mathematical description of the modular robot topology based on the quadruple matrix with the standardized process is proposed. Then， based on the kinematics model of one modular unit， considering the coupling effect between the branches of the modular robot with multiple motion branches， a position-level and speed-level kinematics model is established， which is suitable for chain modular robots. Subsequently， a kinematics parallel modeling method of modular robots is proposed. Both theoretical analysis and simulation results show that this method can be adapted to the rapid modeling of modular robots with various types of topologies. The introduction of topology mathematical description and parallel computing reduces the difficulty of modular robot modeling and improves modeling efficiency.

Keywords：

modular robot; topology; branch space Jacobian matrix; parallel modelling

0 引 言

20世紀(jì)60年代，Neumann等提出“通過集成同質(zhì)組件以構(gòu)建系統(tǒng)”，這是模塊化機器人的最初構(gòu)想［1-2］。后來，1988年日本學(xué)者制造了第一個模塊化機器人，稱為細(xì)胞機器人系統(tǒng)（cellular robotic system， CEBOT），由各種類型的模塊單元組成，包括旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)、伸縮臂和抓取模塊單元［3-5］。自那時以來，模塊化理念越來越多地用于設(shè)計和制造機器人［6-7］。模塊化機器人為包含多模塊單元的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部通過關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系的調(diào)整，可以具備不同的運動性能（如工作空間、靈巧度等）與操作能力（如動態(tài)負(fù)載能力、末端輸出力等）。同時，當(dāng)機器人發(fā)生關(guān)節(jié)故障時，考慮任務(wù)場景等受限因素難以及時維修，模塊化機器人只需替換損壞的模塊單元，即可快速修復(fù)受損機器人［8-10］。因而，模塊化機器人具有較好的結(jié)構(gòu)靈活性、故障魯棒性與環(huán)境、任務(wù)適應(yīng)性［11-14］。

根據(jù)模塊化機器人重構(gòu)過程中是否需要技術(shù)人員參與，可分為靜態(tài)重構(gòu)模塊化機器人與動態(tài)重構(gòu)模塊化機器人［15-16］，其中動態(tài)重構(gòu)類型的模塊化機器人可以在不需要技術(shù)人員或外部參與情況下改變自身關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系，又稱為自重構(gòu)［17］。模塊化機器人包含兩類關(guān)鍵信息，一類是反映模塊單元間連接關(guān)系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息，常包括關(guān)節(jié)數(shù)量、關(guān)節(jié)排布、連接關(guān)系等;另一類是反映機器人運動狀態(tài)的構(gòu)型信息，通常由關(guān)節(jié)角序列表示［18-19］。模塊化機器人動態(tài)重構(gòu)的主要目的是更改其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使機器人具備不同的功能、性能，從而適應(yīng)不同的任務(wù)、環(huán)境。重構(gòu)過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動態(tài)變化（模塊單元數(shù)量變化或模塊單元間連接關(guān)系變化），重構(gòu)運動的設(shè)計、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分析等均離不開運動學(xué)建模與解算，同時后續(xù)應(yīng)用（如執(zhí)行任務(wù)等）也需以運動學(xué)建模、解算為基礎(chǔ)。而模塊化機器人重構(gòu)過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化會增大運動學(xué)建模、解算難度。

針對模塊化機器人運動學(xué)建模，李憲華等人［20-23］通過人工獲取模塊化機器人的運動學(xué)相關(guān)參數(shù)，使用DH （Denauit-Hartenberg） 參數(shù)法、改進DH參數(shù)法建立機器人的運動學(xué)模型，以獲取關(guān)節(jié)空間運動與操作空間運動的映射關(guān)系。然而，模塊化機器人重構(gòu)或應(yīng)用過程中，每更新一次拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其模塊單元間連接關(guān)系、關(guān)節(jié)排布、關(guān)節(jié)數(shù)量等均會發(fā)生改變，從而帶來機器人運動學(xué)參數(shù)的改變。若每次重構(gòu)之后均需技術(shù)人員讀取所有運動學(xué)參數(shù)，將會導(dǎo)致機器人重構(gòu)過程時間或應(yīng)用前準(zhǔn)備時間周期長，且建模過程繁雜，不利于模塊化機器人應(yīng)用過程自動化。為適應(yīng)模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不定特性，F(xiàn)eder等人［24-25］研究如何根據(jù)機器人三維模型自動生成運動學(xué)參數(shù)，但其運動學(xué)建模思路仍為遞推式，可能導(dǎo)致模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計過程中花費較多時間用于運動學(xué)建模，同時模塊化機器人實際運動過程中，難以快速針對機器人實物獲取其三維模型。綜上，現(xiàn)有運動學(xué)建模方法應(yīng)用于動態(tài)重構(gòu)模塊化機器人時，需技術(shù)人員讀取相關(guān)運動學(xué)參數(shù)，易出現(xiàn)建模過程繁雜、建模周期長等問題，同時建模自主性較差。

針對上述問題，Zhang等人［26-27］以模塊單元的分析為基礎(chǔ)，推導(dǎo)開展整機運動學(xué)建模與解算，但上述均將運動學(xué)與模塊單元材料、幾何屬性緊密結(jié)合，使得此分析過程難以適用于廣泛的模塊化機器人領(lǐng)域，不具備通用性。隨著模塊化機器人的推廣應(yīng)用，模塊單元所具備的運動靈活性逐步提升、功能逐步增多（如具備一定運算、自主決策能力），若可以對模塊化機器人的“結(jié)構(gòu)模塊化”特點以及模塊單元所具有的運算、存儲能力進行合理、有效利用，則可以加速模塊化機器人的建模與解算過程。

為實現(xiàn)模塊化機器人在不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的運動學(xué)自主建模，需以準(zhǔn)確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為前提。若將模塊化機器人的運動學(xué)建模以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，則可大大提升建模自主性。關(guān)于這一問題，現(xiàn)階段常用方法有拓?fù)鋱D、關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣［28］。王宏旭等人［29］以關(guān)聯(lián)矩陣和通路矩陣描述航天器拓?fù)錁?gòu)型為出發(fā)點，提出航天器構(gòu)型參數(shù)的概念，并分析其中各個元素獲取方式以及與關(guān)聯(lián)矩陣/通路矩陣的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)航天器拓?fù)錁?gòu)型的自動生成。Hua等人［30］以鄰接矩陣來描述地面無人集群系統(tǒng)內(nèi)部的通信連接狀態(tài)，并以此為基礎(chǔ)分析系統(tǒng)的相關(guān)通信問題。周楊等人［31］以關(guān)聯(lián)矩陣描述變胞源機構(gòu)中各桿件與運動副的鄰接關(guān)系，基于此分析了變胞源機構(gòu)向任意子機構(gòu)的演化過程。Liu等人［32］應(yīng)用鄰接圖表示機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上研究機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重構(gòu)策略。Zhang等人［33］通過將二維鏈路的鄰接矩陣擴展成三維矩陣，實現(xiàn)對可重構(gòu)機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化辨識。鄭浩峻等人［34］提出以有根樹的節(jié)點數(shù)作為特征，構(gòu)建可用層序列矩陣用于描述重構(gòu)機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。上述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述中關(guān)注節(jié)點或模塊單元間是否存在連接關(guān)系，以及從根部向尾部的運動或信息傳向順序。同時，所應(yīng)用的部分系統(tǒng)中，模塊單元間為鉸鏈連接，其連接方位關(guān)系單一且固定;也有部分系統(tǒng)不產(chǎn)生實質(zhì)結(jié)構(gòu)連接關(guān)系，僅為通信連接。然而，為使得模塊化機器人具備重構(gòu)能力，目前模塊單元間多以軸銷連接［35-37］。對于軸銷連接這種結(jié)構(gòu)連接形式，其存在多種連接方位關(guān)系?？紤]到連接方位關(guān)系會對模塊單元間相對位姿關(guān)系產(chǎn)生影響，當(dāng)面對以軸銷連接的模塊單元系統(tǒng)時，現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述方法因未包含連接方位關(guān)系這一特性而難以直觀、準(zhǔn)確描述系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。另外，值得注意的是，現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與運動學(xué)建模過程相互獨立，并未建立有效聯(lián)系。

針對上述問題，本文提出一種模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述和以其為輸入的運動學(xué)并行建模方法。以一種自由度可調(diào)模塊單元及其搭建的模塊化機器人為研究對象［38］，通過分析模塊單元的結(jié)構(gòu)特點，并存儲相關(guān)運動學(xué)參數(shù)信息，接著對模塊化機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行數(shù)學(xué)描述，然后建立適應(yīng)于任一連接狀態(tài)的模塊單元運動學(xué)模型，并建立模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述與模塊單元運動學(xué)參數(shù)間映射關(guān)系，以此推導(dǎo)模塊化機器人運動學(xué)模型，使得模塊化機器人可自主根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)獲取運動學(xué)參數(shù)信息，避免每次拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更新均需技術(shù)人員讀取運動學(xué)參數(shù)，從而降低運動學(xué)建模過程中技術(shù)人員參數(shù)難易程度，提升模塊化機器人運動學(xué)建模的自主性。

1 自由度可調(diào)模塊單元分析

本節(jié)針對自由度可調(diào)模塊單元，分析其機械結(jié)構(gòu)所具有的特點;接著考慮模塊單元連接、機械結(jié)構(gòu)等約束，遍歷獲得所有連接狀態(tài)，并梳理每種連接狀態(tài)下所包含的運動傳遞信息（如關(guān)節(jié)數(shù)量、關(guān)節(jié)排布等），建立運動傳遞庫。

1.1 模塊單元結(jié)構(gòu)分析

模塊單元（見圖1）主體結(jié)構(gòu)包括兩個半球殼、3個電機-減速器組合件、兩個公接口和兩個母接口組成，其中3個電機-減速器組合件分別分布在體心和兩個半球殼上。每個半球殼上分布著一公一母兩個接口，同時公接口與一個電機-減速器組合件相固連，稱之為主動公接口;而母接口與半球殼相固連，稱之為被動母接口。兩個半球殼中，一個與位于體心的電機-減速器組合件自由端相固連，稱之為被動半球;一個與位于體心的電機-減速器組合件固定端相固連，稱之為主動半球。如圖2所示，1是被動半球，2和9是公接口，3、4和8是電機-減速器組合件，5和7是母接口，6是主動半球。模塊單元各關(guān)節(jié)可產(chǎn)生如圖2中紅色箭頭所示的繞軸轉(zhuǎn)動。同時，模塊單元內(nèi)部具有運算與數(shù)據(jù)存儲設(shè)備，可自身獨立開展規(guī)劃、控制等操作，具備一定智能性。

關(guān)于圖2所示的模塊單元，通過選擇不同的運動輸入端與運動輸出端，可輸出多種自由度數(shù)量與自由度空間排布的運動，故而將其稱為自由度可調(diào)模塊單元。其中，運動輸入端指模塊單元所處的機器人運動分支中近地端接口，運動輸出端指模塊單元所處的機器人運動分支中遠(yuǎn)地端接口，運動分支指模塊化機器人與工作臺相連的模塊單元與尾部模塊單元間最短路徑。通過遍歷所有可能的模塊單元運動輸入端與運動輸出端情況可知，圖2所示模塊單元總共可以輸出3種自由度運動情況（見圖3）。圖3中，紅色坐標(biāo)系表示與運動輸入端接口相固連的坐標(biāo)系，藍(lán)色坐標(biāo)系表示與運動輸出端接口相固連的坐標(biāo)系，粉色圓柱表示運動從運動輸入端接口傳遞至運動輸出端接口過程中所經(jīng)過的關(guān)節(jié)。以主動半球的主動公接口為運動輸入端為例，如圖3（a）所示，當(dāng)選擇主動半球的被動母接口為運動輸出端時，可輸出1自由度的運動;如圖3（b）所示，當(dāng)選擇被動半球的被動母接口為運動輸出端時，可輸出2自由度的運動;如圖3（c）所示，當(dāng)選擇被動半球的主動公接口為運動輸出端時，可輸出3自由度的運動。

同時，由于模塊單元對接接口機械結(jié)構(gòu)約束，當(dāng)兩個接口對接時，會存在多種連接方位關(guān)系，如圖4所示。另外，對接接口中的定位銷個數(shù)及其排布方式?jīng)Q定著兩接口對接時的連接方位關(guān)系。如當(dāng)對接接口中包含兩個定位銷時，則對應(yīng)著兩種連接方位關(guān)系;同理，當(dāng)對接接口中包含4個定位銷時，則對應(yīng)著4種連接方位關(guān)系。連接方位關(guān)系的選擇會對模塊單元間的運動與力傳遞產(chǎn)生影響，因而模塊化機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述中需包含這一類信息。

1.2 模塊單元運動傳遞分析

為便于后續(xù)理論研究，對模塊單元的接口、關(guān)節(jié)軸線進行編號，并建立多個坐標(biāo)系，如圖5所示。圖5中，Si（i=1，2，3）依次是體心關(guān)節(jié)、與主動半球-主動公接口所固連關(guān)節(jié)、與被動半球-主動公接口所固連關(guān)節(jié)的軸線，∑Ci（i=1，2，3，4）是模塊單元各個接口上與接口編號同號的接口坐標(biāo)系，∑E是模塊單元的體心坐標(biāo)系。將各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對位姿關(guān)系記為ECiT（i=1，2，3，4）。

根據(jù)模塊單元接口數(shù)量及機械結(jié)構(gòu)，遍歷單個模塊單元接口所有滿足約束（公接口與母接口相連、所連模塊單元間無干涉）的連接狀態(tài)，并獲得自由度可調(diào)模塊單元的極限連接狀態(tài)，如圖6所示。

分析所有連接狀態(tài)下，模塊單元內(nèi)部的運動傳遞，包括所經(jīng)過關(guān)節(jié)軸線、零位狀態(tài)下運動輸入端坐標(biāo)系與運動輸出端坐標(biāo)系間相對位姿矩陣，最終建立模塊單元運動傳遞庫，如表1所示。表1中，第1列、第2列分別為模塊單元運動輸入端與運動輸出端坐標(biāo)系所固連的接口編號，零位狀態(tài)與接口坐標(biāo)系∑Ci（i=1，2，3，4）相一致;第3列至第5列為模塊單元當(dāng)前連接狀態(tài)下，運動傳遞過程中所經(jīng)過的關(guān)節(jié)軸線及順序。零位狀態(tài)下運動輸入端坐標(biāo)系與運動輸出端坐標(biāo)系間相對位姿矩陣為SinSoutT=ESinT-1 ESoutT，可通過各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對位姿關(guān)系計算獲得。

式中：N表示模塊化機器人所包含的模塊單元數(shù)量;矩陣M為編號矩陣，mi（i=1，2，…，N）表示模塊化機器人各個模塊單元編號;矩陣B為接地矩陣，bi（i=1，2，…，N）表示模塊單元是否在使用時與工作臺相連接，bi∈{1，2，…，nsurf_con}表示模塊單元mi與工作臺相連接的接口編號，1，2，…，nsurf_con表示模塊單元的接口編號，在當(dāng)前拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使用過程中，模塊單元mi起著與基座相連接的作用，反之bi=0;矩陣C為連接矩陣，cij（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N）∈{1，2，…，nsurf_con}表示模塊單元mi與模塊單元mj相連接的接口編號，當(dāng)i=j時，cij=0;矩陣O為方位矩陣，oij（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N）表示模塊單元mi與模塊單元mj的連接方位關(guān)系，oij∈{1，2，…，ncon_relation}，1，2，…，ncon_relation表示模塊單元對接接口上所包含的連接方位關(guān)系編號，由對接接口的機械結(jié)構(gòu)決定，當(dāng)i=j時，oij=0。需注意，本文僅討論與工作臺相連接模塊單元個數(shù)為1的情況。

2.2 模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化

當(dāng)編號矩陣M中各元素順序發(fā)生變化，即模塊單元的編號順序發(fā)生變化后，接地矩陣B、連接矩陣C、方位矩陣O均會隨之變化。若仍按標(biāo)準(zhǔn)四元組矩陣對模塊化機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行數(shù)學(xué)描述，則一個模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會出現(xiàn)n（n－1）…1種結(jié)果。為避免此種現(xiàn)象發(fā)生，本節(jié)提出一種基于四元組矩陣的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化流程，使得一種模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)僅具有唯一的數(shù)學(xué)描述矩陣與之相對應(yīng)，具體流程如下。

步驟 1

尋找矩陣B中非零元素所處位置，并利用編號矩陣M，確定與工作臺相連接模塊單元編號與接口信息。

步驟 2

利用連接矩陣C尋找僅包含一個接口占用的模塊單元信息，在編號矩陣M中確定這類模塊單元編號，將這類模塊單元視為葉子模塊單元。

步驟 3

以與工作臺相連模塊單元為起始，利用連接矩陣C搜索至每一個葉子模塊單元的連接通路，連接通路中包含相應(yīng)模塊單元編號、接口編號、模塊單元順序。

步驟 4

按照通路長度，從長到短依次排列模塊單元編號，并根據(jù)模塊單元編號構(gòu)造接地矩陣B、連接矩陣C、方位矩陣O。

當(dāng)對模塊化機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述進行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，即可實現(xiàn)模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)描述的一一映射。

如圖7（a）所示，左側(cè)為基于模塊單元所搭建的模塊化機器人三維模型，右側(cè)為使用本文的四元組矩陣所描述的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述結(jié)果。

以方框所選模塊單元間連接關(guān)系為例，模塊單元3的接口3與模塊單元6的接口2間存在連接關(guān)系，同時連接方位關(guān)系為1。與四元組矩陣的定義相結(jié)合，可以看出，基于四元組矩陣的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述具有如下特征：

（1） 連接矩陣C與方位矩陣O的非零元素位置相同，且連接矩陣C滿足約束對稱，即以主對角線為對稱軸，矩陣對稱位置上的接口編號滿足接口連接約束;方位矩陣O為對稱矩陣，即以主對角線為對稱軸，非零元素對稱分布。

（2） 連接矩陣C與方位矩陣O的主對角線元素均為0。

（3） 連接矩陣C與方位矩陣O中僅包含一個非零元素的行所對應(yīng)的模塊單元狀態(tài)為機器人末端（可用于連接用于執(zhí)行任務(wù)的末端執(zhí)行器）或者與工作臺連接。

為便于觀察非零元素排布，圖7（b）中“*”指代0。以圖7（a）左側(cè)所示模塊化機器人為例，對圖7（a）右側(cè)所示模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述標(biāo)準(zhǔn)化后如圖7（b）所示。結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)化流程可知，標(biāo)準(zhǔn)化后的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述在基于四元組矩陣的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述所具有的特征基礎(chǔ)上，又具有如下新特征：

（1） 接地矩陣B中非零元素位于b1;

（2） 以主對角線為對稱軸，連接矩陣C與方位矩陣O的非零元素主要分布在對稱軸附近。

3 模塊化機器人通用運動學(xué)建模

本節(jié)基于模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，建立單鏈模塊化機器人的位置級運動學(xué)模型，并推導(dǎo)基于分支空間雅可比矩陣的速度級逆運動學(xué)。在此基礎(chǔ)上，提出適合任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的模塊化機器人通用運動學(xué)建模方法。

3.1 單鏈模塊化機器人運動學(xué)建模

存在連接關(guān)系的兩個模塊單元間，模塊單元i+1的運動輸入端坐標(biāo)系∑Si+1in與模塊單元i的運動輸出端坐標(biāo)系∑Siout間相對位姿關(guān)系由連接方位關(guān)系決定。如圖8所示，模塊單元i+1的運動輸出端坐標(biāo)系∑Si+1out相對于模塊單元i的運動輸入端坐標(biāo)系∑Siin的變換矩陣為

綜上所述，模塊化機器人通用運動學(xué)建模流程如下。

步驟 1

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，確定與工作臺相連接模塊單元編號與接口信息、葉子模塊單元編號與編號信息（考慮對接自主性，常將葉子模塊單元的空閑半球公接口視為末端對接接口）。

步驟 2

針對葉子模塊單元，以與工作臺相連模塊單元為起始，利用連接矩陣C搜索至葉子模塊單元的連接通路，連接通路中包含相應(yīng)模塊單元編號、接口編號、模塊單元順序。

步驟 3

重復(fù)步驟2，直至遍歷所有葉子模塊單元。

步驟 4

針對每個連接通路，根據(jù)模塊單元接口編號，利用模塊單元運動傳遞庫，確定運動傳遞過程中所經(jīng)過的關(guān)節(jié)軸線及順序。

步驟 5

重復(fù)步驟4，直至遍歷所有連接通路。

步驟 6

判斷連接通路個數(shù)，當(dāng)個數(shù)為1時，按照計算式（8）和式（13）當(dāng)前模塊化機器人運動學(xué);當(dāng)個數(shù)大于1時，通過連接通路對比，判斷多條連接通路間是否存在相同公共關(guān)節(jié)軸線，若不存在，則根據(jù)式（14）和式（15）計算當(dāng)前模塊化機器人運動學(xué);反之，則根據(jù)式（14）和式（16）計算當(dāng)前模塊化機器人運動學(xué)。

當(dāng)模塊化機器人通用運動學(xué)建模流程應(yīng)用于包含閉鏈的模塊化機器人時，需虛擬切開形成閉鏈的連接關(guān)系（見圖11），并對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述進行修正;以修正后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，建立模塊化機器人運動學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，在虛擬切開的連接關(guān)系處施以運動約束，即可實現(xiàn)本文所提算法對包含閉環(huán)模塊化機器人的應(yīng)用，形式如下所示：

T2分別為虛擬切開連接關(guān)系后兩個分支末端模塊單元的輸出端坐標(biāo)系∑Snout相對于根部模塊單元運動輸入端坐標(biāo)系∑S1in的變換矩陣;Snout，1Snout，2T為虛擬切開連接關(guān)系中連接方位關(guān)系對應(yīng)的齊次變換矩陣;同時，S1inV1Snout、S1inV2Snout分別為兩個分支末端空間速度旋量。

3.3 模塊化機器人運動學(xué)并行建模

考慮模塊單元具備獨立運算與存儲能力，可

自主根據(jù)當(dāng)前連接狀態(tài)計算模塊單元運動學(xué)，如式（8）與式（14）中H、式（13）中Js中均可由模塊單元自主運算獲得。因此，本文提出一種模塊化機器人的運動學(xué)并行建模流程，如圖12所示，在模塊化機器人各個模塊單元運動學(xué)計算基礎(chǔ)上，利用模塊化機器人的運動學(xué)并行建模，實現(xiàn)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下模塊化機器人的運動學(xué)快速解算。

對于包含N（N≥1）個自由度的運動分支，自由度對應(yīng)的N（N≥1）條運動軸線來源于M（M≥1）個模塊單元，其中有M1個模塊單元僅提供一條運動軸線，共提供了N1個自由度，且N1=M1;有M2個模塊單元提供兩條運動軸線，共提供了N2個自由度，且N2=2M2;有M3個模塊單元提供3條運動軸線，共提供了N3個自由度，且N3=3M3，同時存在關(guān)系N=N1+N2+N3，M=M1+M2+M3。

模塊化機器人常規(guī)運動學(xué)建模流程如下。

步驟 1

人工確定運動傳遞過程中所經(jīng)過各個模塊單元的關(guān)節(jié)軸線及順序，進而獲取各關(guān)節(jié)軸線相對基座坐標(biāo)系的旋量坐標(biāo)、機器人分支末端相對基座坐標(biāo)系的位姿變換矩陣，其中常取與在工作臺相連接的接口對應(yīng)的接口坐標(biāo)系為基座坐標(biāo)系。

步驟 2

根據(jù)S1inSMoutT（q）=eS^1θ1eS^2θ2…eS^NθNS1inSMoutT（0）進行位置級運動學(xué)求解。

步驟 3

根據(jù)S1inVSMout=S1θ·1+Ade［S1］θ1（S2）θ·2+Ade［S1］θ1…e［SN－1］θN－1（SN）θ·N=［S1，AdeS^1θ1（S2），…，

AdeS^1θ1…eS^N－1θN－1

（SN）］［θ·1，θ·2，…，θ·N］T進行速度級運動學(xué)求解。

假設(shè)每兩個自由度的運動學(xué)傳遞運算時間為Δt（Δtgt;0），則常規(guī)運動學(xué)建模耗時ts可表示為（N－1）Δt，運動學(xué)并行建模方法耗時tp可表示為t+（M1+M2+M3－1）Δt，其中當(dāng)N3≠0時，t=2Δt;當(dāng)N2≠0且N3=0時，t=Δt;當(dāng)N2=0且N3=0時，t=0。則ts－tp=－t+（N－M1－M2－M3）Δt。將N1、N2、N3代入化簡可得，ts－tp=－t+（N2/2+2N3/3）Δt。結(jié)合模塊單元運動傳遞庫，針對以下7種情況展開分析。

（1） 當(dāng)運動分支中每個模塊單元所涉及運動軸線均為3，即M1=0，M2=0時，可知M=M3=N/3。此時運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為2Δt+（M3－1）Δt，則ts－tp=（2N/3－2）Δt。由于M≥1，則N≥3，可知，ts－tp≥0。

（2） 當(dāng)運動分支中每個模塊單元所涉及運動軸線均為2，即M1=0，M3=0時，可知M=M2=N/2。此時，運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為Δt+（M2－1）Δt，則ts－tp=（N/2－1）Δt。由于M≥1，則N≥2，可知，ts－tp≥0。

（3） 當(dāng)運動分支中每個模塊單元所涉及運動軸線均為1，即M2=0，M3=0時，可知M=M1=N。此時，運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為（M1－1）Δt?？芍瑃s－tp=0。

（4） 當(dāng)運動分支中模塊單元所涉及運動軸線為2和3，即M1=0時，可知N=N2+N3。此時，運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為2Δt+（M2+M3－1）Δt，則ts－tp=（N2/2+2N3/3－2）Δt。由于M2，M3≥1，則N2≥2，N3≥3，可知，ts－tpgt;0。

（5） 當(dāng)運動分支中模塊單元所涉及運動軸線為1和3，即M2=0時，可知N=N1+N3。此時，運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為2Δt+（M1+M3－1）Δt，則ts－tp=（2N3/3－2）Δt。由于M3≥1，則N3≥2，可知，ts－tp≥0。

（6） 當(dāng)運動分支中模塊單元所涉及運動軸線為1和2，即M3=0時，可知N=N1+N2。此時，運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為Δt+（M1+M2－1）Δt，則ts－tp=（N2/2－1）Δt。由于M2≥1，則N2≥2，可知，ts－tp≥0。

（7） 當(dāng)運動分支中模塊單元所涉及運動軸線為1、2、3時，此時運動學(xué)并行建模耗時tp可表示為2Δt+（M1+M2+M3－1）Δt，則ts－tp=（N2/2+2N2/3－2）Δt。由于M2，M3≥1，則N2≥2，N3≥3，可知，ts－tpgt;0。

將上述各類情況整理為

ts－tp=

（N2/2+2N3/3－2）Δt， M1∈N;M2∈N+;M3∈N+

（2N3/3－2）Δt， M1∈N;M2=0;M3∈N+

（N2/2－1）Δt， M1∈N;M2∈N+;M3=0

0， M1∈N+;M2=0;M3=0

（20）

綜上可以看出，本文所提運動學(xué)并行建模耗時與常規(guī)運動學(xué)建模相比，存在tp≤ts?？芍?，理論上，運動學(xué)并行建模流程可有效加速模塊化運動學(xué)建模過程。

4 仿真驗證

4.1 模塊單元參數(shù)介紹

以圖1所示自由度可調(diào)模塊單元為對象，開展仿真驗證，驗證本文所提的模塊化機器人運動學(xué)并行建模方法的

有效性。根據(jù)圖5，對模塊單元建立坐標(biāo)系，如圖13所示。圖13中，體心自由度轉(zhuǎn)動90°后，所建立坐標(biāo)系均可在同一平面內(nèi)。

零位狀態(tài)下，各接口坐標(biāo)系與體心坐標(biāo)系間相對位姿關(guān)系為

式中：li（i=1，2，3，4）來源于模塊單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)。其中，l1=91.02 mm，l2=67.68 mm，l3=69.18 mm，l4=92.52 mm。

在圖13所建立坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，考慮模塊單元對接接口機械結(jié)構(gòu)，分析出模塊單元連接方位關(guān)系所對應(yīng)的位姿轉(zhuǎn)換矩陣如表2所示。

4.2 模塊化機器人通用運動學(xué)建模驗證

為驗證模塊化機器人通用運動學(xué)并行建模方法的有效性，本文以圖14（a）所示雙臂模塊化機器人為研究對象。

圖14（a）所示雙臂模塊化機器人包含兩條運動分支，分別為模塊單元1→2→3→4→5→6→7→8和模塊單元1→2→3→4→9→10→11→12，且運動分支間存在公共關(guān)節(jié)軸線，即可拆分為3條無分岔運動分支，分別為模塊單元1→2→3、模塊單元4（體心關(guān)節(jié)→被動半球關(guān)節(jié)）→5→6→7→8和模塊單元4（主動半球關(guān)節(jié)）→9→10→11→12。與之對應(yīng)的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述如圖14（b）所示。

設(shè)模塊化初始狀態(tài)為零位狀態(tài)，即每個模塊單元的各個關(guān)節(jié)角度均為0°，對應(yīng)初始末端位姿分別為Xini-1=［-0.161 1 m，-0.089 5 m， 0.259 0 m， 54.735 6°， 30.00°，-54.735 6°］T，Xini-2=［-0.210 1 m，-0.160 2 m，-0.465 4 m， 0°， 0°， 180°］T，期望末端位姿為Xend=［0.1 m， 0.1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 0°］T。利用三維模型測量零位狀態(tài)下的末端位姿，其結(jié)果與計算所得的初始末端位姿相一致，可驗證本文所提運動學(xué)模型的正確性。考慮雙末端執(zhí)行任務(wù)所滿足的末端約束，則各分支期望末端位姿為Xend-1=［0.1 m， 0，1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 0°］T，Xend-2=［0.1 m， 0，1 m， 0.1 m， 0°， 0°， 180°］T。利用圓滑過渡的梯形規(guī)劃插值末端運動，使得機器人末端沿直線從初始位姿運動至期望末端位姿，則可得機器人末端的期望運動如圖15所示。

由圖15（a）可知，分支1與分支2在相同時刻到達期望位姿。由圖15（b）和圖15（c）可知，分支1與分支2從目標(biāo)位置運動到期望位置時，軌跡平滑。

模塊化機器人中，分析拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述，可得各個運動分支中所設(shè)計的關(guān)節(jié)如表3所示。表3中，模塊單元編號的對應(yīng)關(guān)系如下：編號1表示體心關(guān)節(jié)，編號2表示主動半球關(guān)節(jié)，編號3表示被動半球關(guān)節(jié)。

利用模塊化機器人速度級運動學(xué)通用建模，可依據(jù)圖15所對應(yīng)的模塊化機器人末端運動軌跡計算出模塊單元中各關(guān)節(jié)運動軌跡，如圖16所示。

圖16中，當(dāng)關(guān)節(jié)運動軌跡恒不變時，說明對應(yīng)關(guān)節(jié)在當(dāng)前拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中并未參與模塊化機器人的運動，同時這部分關(guān)節(jié)并未出現(xiàn)在表3中，進一步反映出拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述的有效性。同時，圖16中與表3所對應(yīng)的各個關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)運動軌跡平滑。

跟蹤機器人末端的實際運動軌跡，如圖17所示。

從圖17（b）和圖17（c）中可以看出，最終機器人末端實際位姿為Xend-1=［0.099 9 m， 0.100 0 m， 0.100 4 m，-0.078 9°， 0.028 5°，-0.060 9°］T，Xend-2=［0.100 1 m， 0.099 4 m， 0.098 7 m， 0.161 6°，-0.123 8°， 179.952 7°］T。

分支1的末端位置誤差為0.4 mm，末端姿態(tài)誤差為0.080 2°;分支2的末端位置誤差為1.4 mm，末端姿態(tài)誤差為0.160 4°。模塊化機器人末端實際到達位姿與期望位姿間存在誤差，此部分誤差來源于運動學(xué)解算過程中的運算誤差累計。從仿真結(jié)果可以看出，本文所提的模塊化機器人運動學(xué)并行建模方法實現(xiàn)了以模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述為輸入的位置級與速度級運動學(xué)解算。圖14所示模塊化機器人共包含27個自由度，從應(yīng)用方式可以看出，所提運動學(xué)建模方法可解決現(xiàn)有部分建模方法需人工讀取運動學(xué)參數(shù)所帶來過程繁雜、建模周期長等問題，從而簡化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動態(tài)變化的模塊化機器人運動學(xué)建模。同時，所提拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述可應(yīng)用于具有相似結(jié)構(gòu)的模塊單元，并進一步應(yīng)用于以此為輸入的模塊化機器人運動學(xué)建模。

5 結(jié)束語

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可動態(tài)重構(gòu)的模塊化機器人對任務(wù)、環(huán)境具有較強適應(yīng)能力，其應(yīng)用、分析大多需以運動學(xué)建模、解算為基礎(chǔ)。而現(xiàn)有運動學(xué)建模方法因技術(shù)建模過程繁雜、自主性差難以適用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動態(tài)變化需求，同時現(xiàn)有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述方法因未包含連接方位關(guān)系這一特性而難以直觀、準(zhǔn)確描述模塊化機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為此，本文提出一種包含標(biāo)準(zhǔn)化流程的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述及運動學(xué)并行建模方法，以加速、簡化模塊化機器人的運動學(xué)建模與解算。通過分析模塊單元結(jié)構(gòu)特點，建立模塊單元的運動傳遞庫;針對基于四元組矩陣的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通用數(shù)學(xué)描述所存在的“一對多”情況，設(shè)計了標(biāo)準(zhǔn)化流程;接著在模塊單元運動學(xué)模型基礎(chǔ)上，考慮包含多條運動分支的模塊化機器人分支間的耦合因素，推導(dǎo)了可適用于任意鏈?zhǔn)侥K化機器人的位置級運動學(xué)和基于分支空間雅可比矩陣的速度級運動學(xué);然后利用模塊單元所具有的運算、存儲能力，設(shè)計運動學(xué)并行建模流程，從而使模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)重構(gòu)后，可快速、自主完成運動建模與解算。通過模塊化機器人運動學(xué)并行建模與常規(guī)串行建模耗時分析可以看出，所提建模方法理論上耗時更短，建模過程更加快速;通過仿真結(jié)果可以看出，所提建模方法以拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述為輸入，可以自主完成運動學(xué)建模與解算。

綜上，本文所提建模方法，以標(biāo)準(zhǔn)化后的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表征數(shù)學(xué)描述為輸入，其獲取方式與直接獲取模塊化機器人運動學(xué)參數(shù)相比，更加簡易;所提建模方法中，考慮到模塊單元具備獨立運算與存儲能力，設(shè)計了運動學(xué)并行建模流程，與串行建模流程相比更加高效。

未來，將針對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)描述的自動建立開展研究，以進一步提升模塊化機器人運動學(xué)建模的自主性。與此同時，將在模塊化運動學(xué)模型基礎(chǔ)上，繼續(xù)致力于研究模塊化機器人的應(yīng)用問題，如基于運動學(xué)分析的模塊化機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計等。

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作者簡介

費軍廷（1996—），女，博士研究生，主要研究方向為空間機器人、模塊化機器人、路徑規(guī)劃。

賈慶軒（1964—），男，教授，博士，主要研究方向為空間機器人、先進機器人、模式識別、虛擬現(xiàn)實。

陳 鋼（1982—），男，教授，博士，主要研究方向為空間機器人、運動規(guī)劃與控制。