復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析與建模GERT網(wǎng)絡(luò)技術(shù)

摘 要：體系各要素（系統(tǒng)）連接的或然性決定了其結(jié)構(gòu)框架、聯(lián)系邏輯和功能表現(xiàn)的復(fù)雜性。復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析與建模是解構(gòu)表征其復(fù)雜特性的重要手段，是學(xué)術(shù)界長(zhǎng)期以來(lái)的研究熱點(diǎn)。然而，有關(guān)復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)、功能邏輯、計(jì)算框架的構(gòu)建問(wèn)題，卻尚未有較好的解決方案。針對(duì)該問(wèn)題，運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)理論和圖示評(píng)審技術(shù)（graphical evaluation and review technique， GERT） 建立了一種新的復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析框架與建模方法。首先，基于“和聯(lián)”思想建構(gòu)其基于使命與任務(wù)生態(tài)聯(lián)盟、行為演化的可靠性“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)框架;其次，基于復(fù)雜體系要素的或然性邏輯聯(lián)結(jié)關(guān)系，建立其可靠性結(jié)構(gòu)GERT網(wǎng)絡(luò)模型;最后，運(yùn)用GERT解析算法原理，建立其可靠度計(jì)算模型，并考慮計(jì)算的復(fù)雜性，為該類(lèi)問(wèn)題提供GERT仿真（GERT simulation， GERTS）計(jì)算解決方案。以一反艦作戰(zhàn)偵察復(fù)雜體系進(jìn)行案例研究，結(jié)果表明所提方法有效且適應(yīng)性強(qiáng)。

關(guān)鍵詞： 復(fù)雜體系; 可靠性分析; 結(jié)構(gòu)函數(shù); 圖示評(píng)審技術(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)： N 945 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.20

GERT network technology for reliability structure analysis and modeling of

complex system-of-systems

FANG Zhigeng HUA Chenchen CHEN Ding ZHANG Jingru ZHANG Yadong WU Honghua¹

（1. College of Economics and Management， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 211106， China;

2. Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai 201109， China）

Abstract： The probability of linking elements （systems） of system-of-systems（SoS） determines the complexity of its structure framework， connection logic and function performance. Reliability structure analysis and modeling of complex SoS is an important means to deconstruct and represent its complex characteristics， which has long been concerned by academia. However， there is no good solution to the reliability structure， functional logic and computational framework of complex SoS. To solve this problem， a new analysis framework and modeling method of complex SoS reliability structure is established by using structure function theory and graphical evaluation and review technique （GERT）. Firstly， based on the idea of “plus system”， it constructs its reliability “plus system” structure frame， which is based on the ecological alliance of mission and task and the evolution of behavior. Secondly， the reliability structure GERT network model is established based on the probabilistic logic connection relationship of complex SoS elements. Finally， the GERT analytic algorithm is used to establish the reliability calculation model， and the GERT simulation （GERTS） computation solution is provided for this kind of problem considering the computational complexity. A case study of an anti-ship combat reconnaissance complex SoS shows that the proposed method is effective and adaptable.

Keywords： complex system-of-systems （SoS）; reliability analysis; structure function; graphical evaluation and review technique （GERT）

0 引 言

體系已經(jīng)普遍成為當(dāng)下大規(guī)模系統(tǒng)存在的重要形態(tài)，是能夠得到進(jìn)一步涌現(xiàn)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)或聯(lián)結(jié)的獨(dú)立系統(tǒng)的集合，屬于復(fù)雜系統(tǒng)范疇，因此也可稱(chēng)為“復(fù)雜體系”^［1］。Maier^［2］較早提出了體系的關(guān)鍵特性，即組成部分的運(yùn)行獨(dú)立性、管理自主性、地域分布性以及體系的涌現(xiàn)性、演化性，其中組分系統(tǒng)的自主性使得體系具有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)^［3］。現(xiàn)有的系統(tǒng)建模方法難以有效描述這些體系的復(fù)雜特性。軍事、國(guó)防與社會(huì)體系等均屬于典型的復(fù)雜體系，它們的設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)與可靠性分析等迫切需要科學(xué)的方法與建模技術(shù)作為理論支撐和技術(shù)指導(dǎo)。因此，對(duì)體系、體系可靠性等問(wèn)題的研究仍需不斷完善和深入，尤其是對(duì)于國(guó)防、軍事作戰(zhàn)體系來(lái)說(shuō)，保證可靠性更是維持其體系安全性和軍事作戰(zhàn)能力的重要基礎(chǔ)條件。

體系結(jié)構(gòu)是決定體系可靠運(yùn)行和行為演化的基礎(chǔ)架構(gòu)^［4］，體系結(jié)構(gòu)建模中較為常見(jiàn)的是利用體系結(jié)構(gòu)框架進(jìn)行建模，目前已有一些發(fā)展成熟的框架，例如美國(guó)國(guó)防部的DoDAF^［5］、英國(guó)國(guó)防部的MoDAF等。然而，這種以體系結(jié)構(gòu)框架作為視圖的概念模型本身不具備定量分析能力，需要將其轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的推理與計(jì)算模型，例如Petri網(wǎng)^［6］、Agent模型^［7］等來(lái)進(jìn)行仿真和驗(yàn)證。此外，近年來(lái)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法也成為體系結(jié)構(gòu)建模的主流方法之一。Jin等^［8］采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建裝備技術(shù)體系模型;Han等^［9］結(jié)合超網(wǎng)絡(luò)和殺傷鏈理論對(duì)空天防御體系展開(kāi)研究，并提出了體系能力評(píng)估方法和體系彈性評(píng)價(jià)指標(biāo)。文獻(xiàn)［10］對(duì)體系中的系統(tǒng)重要度進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［11］總結(jié)了體系貢獻(xiàn)率的相關(guān)研究。對(duì)于體系整體的分析，除文獻(xiàn)［9］中的彈性外也有許多其他指標(biāo)和方法，Delecolle等^［3］定義了體系可用性;Zhang等^［12］提出體系生存性;潘星等^［13］建立了裝備體系可靠性、維修性、保障性（reliability-maintainability-supportability， RMS）仿真框架。

在體系可靠性分析中，張喜燕^［14］、Chen等^［15］將DoDAF模型分別轉(zhuǎn)化為基于Agent的可執(zhí)行模型和層次廣義Petri網(wǎng)，并通過(guò)仿真實(shí)現(xiàn)體系任務(wù)可靠性分析。在結(jié)合建模語(yǔ)言方面，Garro等^［16］從體系架構(gòu)、體系行為、體系仿真的角度利用SysML語(yǔ)言建立模型，定義體系演化規(guī)則和場(chǎng)景，通過(guò)分析仿真結(jié)果獲取可靠性參數(shù)。Imamura等^［17］運(yùn)用面向任務(wù)的mKAOS建模語(yǔ)言建立體系可靠性模型，并做了一定擴(kuò)展，使其能夠描述系統(tǒng)不可用時(shí)的潛在替代方案，但本質(zhì)上仍只能用于定性分析。另外，Tsilipanos等^［18］結(jié)合危害分析和故障樹(shù)分析、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對(duì)體系可靠性進(jìn)行分析，并通過(guò)探索性仿真對(duì)體系演化進(jìn)行研究。Wang等^［19］結(jié)合最大熵模型和隱馬爾可夫模型，通過(guò)分析組件系統(tǒng)歷史數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)體系可靠度預(yù)測(cè)。

目前，基于復(fù)雜體系的可靠性理論研究雖然取得了一定進(jìn)展，但其理論方法和分析技術(shù)還遠(yuǎn)未成熟，尤其是對(duì)于其可靠性的基本機(jī)理、結(jié)構(gòu)框架與科學(xué)理論還缺乏深度認(rèn)知，仍然存在一定的缺陷。這些缺陷主要表現(xiàn)在3個(gè)方面：第一，未能對(duì)復(fù)雜體系的可靠性結(jié)構(gòu)及其框架進(jìn)行科學(xué)的描述與表征;第二，未能給出復(fù)雜體系結(jié)構(gòu)函數(shù)的科學(xué)描述框架，尚未建立其可靠性結(jié)構(gòu)函數(shù)模型;第三，未能對(duì)復(fù)雜體系可靠性的概念進(jìn)行科學(xué)的定義，尚未建立其可靠性科學(xué)計(jì)算模型。

圖示評(píng)審技術(shù)（graphical evaluation and review technique， GERT）^［20］是由Pritsker提出的一種概率型隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。自1966年首次提出以來(lái)，GERT的構(gòu)模功能不斷拓展。隨著仿真技術(shù)的發(fā)展，形成了GERT仿真（GERT simulation， GERTS）^［21］和具有排隊(duì)節(jié)點(diǎn)的排隊(duì)GERT（queuing-GERT， Q-GERT）^［22］。陶良彥等^［23］針對(duì)大型GERT網(wǎng)絡(luò)解析法求解困難的問(wèn)題，提出了GERT矩陣法表達(dá)及求解。傳統(tǒng)GERT的傳遞參數(shù)為單參量形式，學(xué)者們逐漸將其擴(kuò)展為多參量GERT^［24］、以模糊數(shù)表征的模糊GERT^［25］等，并均給出了相應(yīng)的求解方法，進(jìn)一步提高了其描述多種不確定信息的能力。在結(jié)構(gòu)上，也從單層GERT拓展為多層耦合GERT^［26］。在以上改進(jìn)與發(fā)展的基礎(chǔ)上，GERT已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，較為典型的有項(xiàng)目管理^［27］、系統(tǒng)可靠性評(píng)估^{［22，28］}、系統(tǒng)效能評(píng)估^［29］、體系貢獻(xiàn)率評(píng)估^［30］、體系活動(dòng)決策^［31］等。

因此，本文在深度解析復(fù)雜體系的概念、結(jié)構(gòu)與運(yùn)行機(jī)理的條件下，針對(duì)性地引入體系的可靠性思想、結(jié)構(gòu)函數(shù)分析方法和GERT網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，解決了以下3個(gè)方面的問(wèn)題：① 體系可靠性結(jié)構(gòu)框架的科學(xué)表征與“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)建。運(yùn)用“和聯(lián)”思想，構(gòu)建體系可靠性“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)框架，科學(xué)地反映體系結(jié)構(gòu)的生態(tài)聯(lián)盟性與基于使命與任務(wù)的結(jié)構(gòu)演化行為特性;② 建立復(fù)雜體系的可靠性結(jié)構(gòu)GERT網(wǎng)絡(luò)模型。依據(jù)復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)框架與其要素（系統(tǒng)或裝備等）聯(lián)系邏輯的或然性原理，引入GERT網(wǎng)絡(luò)建模技術(shù)，建立其可靠性結(jié)構(gòu)模型;③ 為復(fù)雜體系可靠性計(jì)算提供完整的解決方案。由于復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)及其要素關(guān)系的復(fù)雜性，使得其解析解的求解過(guò)程十分復(fù)雜，本文引用GERTS仿真技術(shù)，設(shè)計(jì)方便實(shí)用的仿真計(jì)算方案。

1 基于結(jié)構(gòu)函數(shù)的體系可靠性結(jié)構(gòu)建模與描述

1.1 復(fù)雜體系基本概念

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)的要素構(gòu)成的整體。而體系則是由系統(tǒng)所構(gòu)成的一個(gè)協(xié)同（聯(lián)盟）整體。為了便于問(wèn)題的討論，這里給出復(fù)雜體系定義，見(jiàn)定義1。

定義 1 （復(fù)雜體系Ψ）體系泛指一定范圍內(nèi)相關(guān)聯(lián)的事物（系統(tǒng)）按照一定的秩序和內(nèi)部聯(lián)系組合而成的一種相互協(xié)同群體。若體系的可靠性結(jié)構(gòu)邏輯和量值參數(shù)關(guān)系是一種非線(xiàn)性、非確定性的隨機(jī)關(guān)系，則稱(chēng)該體系為復(fù)雜體系。

借用系統(tǒng)可靠性的思想與概念，可以給出體系可靠性的概念。體系可靠性主要是指在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，體系完成規(guī)定功能的能力，一般用可靠度進(jìn)行表征，見(jiàn)定義2。

定義 2 （體系可靠度）在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，體系完成規(guī)定功能的概率P_Ψ，可用下式表示：

R_Ψ（t）=P_Ψ（Tgt;t）（1）

式中：P_Ψ（t）表示體系可靠度;T為體系的實(shí)際壽命;t表示某一規(guī)定的時(shí)間（壽命）。

1.2 復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)建模

事實(shí)上，體系與系統(tǒng)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上存在著本質(zhì)的差異，由于系統(tǒng)中的要素不具有脫離其系統(tǒng)母體而獨(dú)立工作的能力，且系統(tǒng)往往都只有一個(gè)最高的整體目標(biāo)，其各子目標(biāo)都必須服從于整體。因此，與之對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)應(yīng)是一種基于其整體目標(biāo)的事先規(guī)定（設(shè)計(jì)）的各子目標(biāo)級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。然而，復(fù)雜體系則是一種基于時(shí)間和空間秩序的生態(tài)聯(lián)盟，其最高層的目標(biāo)也是多樣的、動(dòng)態(tài)演化的、甚至可能是共生或者對(duì)抗的。因此，在一般情況下，復(fù)雜體系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也應(yīng)是基于這些最高層的多個(gè)目標(biāo)的“和聯(lián)”拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，且依據(jù)各目標(biāo)的重要性進(jìn)行權(quán)重配置，本文主要研究這種結(jié)構(gòu)。

設(shè)體系規(guī)定的功能（任務(wù)）由K個(gè)不能互相取代的系統(tǒng)功能（任務(wù)）完成，其第i（i=1，2，…，K）個(gè)系統(tǒng)功能（任務(wù)）由相應(yīng)的支路單元（系統(tǒng)）B_i及中心單元（系統(tǒng)）C（一般為體系的指揮控制中心，或者為共用基礎(chǔ)模塊，合稱(chēng)為第i支路）配合完成。該體系可靠性和聯(lián)結(jié)構(gòu)框架如圖1所示。基于此，可給出多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)，見(jiàn)定義3。

定義 3 （多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)） 圖1中，在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，具有K個(gè)系統(tǒng)功能（任務(wù)）的體系完成其規(guī)定功能（任務(wù)）的能力可用下式表示：

R_Ψ（t）=R_Ψ·c（t）∑Ki=1ω_iR_Ψ·Bi（t）（2）

式中：R_Ψ·c（t）表示體系中共用單元的可靠度;ω_i表示第i（i=1，2，…，K）個(gè)任務(wù)單元的重要度（權(quán)重）;R_Ψ·Bi（t）表示第i（i=1，2，…，K）個(gè)任務(wù)單元的可靠度。

復(fù)雜體系內(nèi)部往往存在系統(tǒng)間的功能替補(bǔ)，替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）除了具有替補(bǔ)功能，也需要完成自身的規(guī)定功能，因此在發(fā)揮替補(bǔ)作用時(shí)可靠度可能無(wú)法完全達(dá)到原可靠度;當(dāng)被替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）無(wú)需替補(bǔ)就可以完成自身規(guī)定的功能時(shí)，替補(bǔ)功能不會(huì)被激發(fā)。因此，將其定義為一種備份關(guān)系，見(jiàn)定義4。

定義 4 （功能替補(bǔ)） 在復(fù)雜體系中系統(tǒng)間存在功能替補(bǔ)，定義為一種備份關(guān)系，替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）在完成功能替補(bǔ)時(shí)的實(shí)際可靠度R_sub（t）=α（t）R（t）（0≤α（t）≤1），其中R（t）為替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）原可靠度，α（t）為功能替補(bǔ)系數(shù)，表示為時(shí)間t的函數(shù)，即其功能替補(bǔ)實(shí)現(xiàn)程度可能隨時(shí)間變化。

根據(jù)系統(tǒng)論的結(jié)構(gòu)決定功能原理，可推廣到體系所能完成的功能（任務(wù)）是由其結(jié)構(gòu)決定的。因此，可推斷體系結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造原理類(lèi)似于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)^［32］原理。但是考慮到體系的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，體系結(jié)構(gòu)函數(shù)不再是一個(gè)二元變量，而是系統(tǒng)功能（任務(wù)）結(jié)構(gòu)函數(shù)的和聯(lián)聚合。這里，給出定理1。

定理 1 （體系結(jié)構(gòu)函數(shù)） 對(duì)具有多種特定功能（任務(wù)）的體系Ψ，其所有功能（任務(wù)）Ψ_k（k=1，2，…，K）的重要性（權(quán)重）分別為ω_k，則其體系結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為

Ψ（X）＝∑Kk=1ω_kΨ_k（X）（3）

Ψ_k（X）為第k個(gè)功能（任務(wù)）的結(jié)構(gòu)函數(shù)，可表示為

Ψ_k=Ψ_k（X）=

Ψ_k{［x₁，X_sub1］，［x₂，X_sub2］，…，［x_nk，X_subnk］}=

Ψ_k［Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_nk（X_nk）］=

∑y^nk∏nkj=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^nk）（4）

式中：二值變量Ψ_k表示功能（任務(wù)）的狀態(tài)，有Ψ_k= 功能正常

0， 功能失效;二值變量x_i表示第i（i=1，2，…，n_k）個(gè)單元（系統(tǒng)）的狀態(tài)，n_k為第k個(gè)功能（任務(wù)）包含的單元（系統(tǒng)）數(shù)，有x_i= 單元i正常

0， 單元i失效;X_subi為單元（系統(tǒng)）x_i的替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）集合;y^nk為所有的n_k階二值向量，并約定0⁰≡1;Φ_i（X_i）為單元（系統(tǒng)）x_i及其替補(bǔ)單元（系統(tǒng)）所組成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，可以表示為

Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）

證明 首先證明Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）。

根據(jù)定義4，功能替補(bǔ)作為一種備份關(guān)系，在結(jié)構(gòu)上可表達(dá)為并聯(lián)形式，而n階并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Φ（X）=1－∏ni=1（1－x_i）=max（x₁，x₂，…，x_n）

因此有

Φ_i（X_i）=max（x_i，max X_subi）

接著證明Ψ_k=Ψ_k（X）=∑_ynk（∏^nkj=1Φ_j（X_j）^yj·（1－Φ_j（X_j））^1－yj）Ψ_k（y^nk），記為（^*）式。

由Ψ_k（X）=Ψ_k［Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_nk（X_nk）］，根據(jù)樞軸分解原理^［32］，有

Ψ_k（X）＝Φ_i（X_i）Ψ_k（1_i，X）+（1－Φ_i（X_i））Ψ_k（0_i，X）

其中

（·_i，X）≡（Φ₁（X₁），Φ₂（X₂），…，Φ_i－1（X_i－1），·，

Φ_i+1（X_i+1），Φ_i+2（X_i+2），…，Φ_nk（X_nk））

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明（^*）式。

（1） 當(dāng)n_k=1時(shí)，有Ψ_k（X）=Φ₁（X₁），（^*）式顯然成立。

（2） 假設(shè)當(dāng)n_k=m（m≥1，m∈N）時(shí)，（^*）式成立，即Ψ_k（X）＝∑_ym∏^m_j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m）。

則當(dāng)n_k=m+1時(shí)，根據(jù)樞軸分解原理，有

Ψ_k（X）=Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X）+

（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X）（5）

對(duì)式（5）中的Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X），有

Φ_m+1（X_m+1）Ψ_k（1_m+1，X）=

Φ_m+1（X_m+1）¹（1－Φ_m+1（X_m+1））⁰Ψ_k（1_m+1，X）=

∑ym∏mj=1（Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yj

Φ_m+1（X_m+1）¹（1－Φ_m+1（X_m+1））⁰）Ψ_k（y^m，1）=

∑（ym，1）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，1）（6）

對(duì)式（5）中的（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X），有

（1－Φ_m+1（X_m+1））Ψ_k（0_m+1，X）=

Φ_m+1（X_m+1）⁰（1－Φ_m+1（X_m+1））¹Ψ_k（0_m+1，X）=

∑ym∏mj=1（Φ_j（X_j）^y_j（1－Φ_j（X_j））^1－yj

Φ_m+1（X_m+1）⁰（1－Φ_m+1（X_m+1））¹）Ψ_k（y^m，0）=

∑（ym，0）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，0）（7）

則

Ψ_k（X）=∑（ym，1）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，1）+

∑（ym，0）∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m，0）=

∑y^m+1∏m+1j=1Φ_j（X_j）^yj（1－Φ_j（X_j））^1－yjΨ_k（y^m+1）（8）

即n_k=m+1成立。由此，n_k∈N，（^*）式都成立。證畢

最后，由多任務(wù)體系的和聯(lián)邏輯原理，容易得到式（3）。

相應(yīng)地，根據(jù)相關(guān)系統(tǒng)^［32］的概念，可以推廣到相關(guān)體系。由于復(fù)雜體系的使命和任務(wù)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)演化性，其結(jié)構(gòu)要素的相關(guān)性也是動(dòng)態(tài)演化的。即在某一特定目標(biāo)下的體系相關(guān)要素（系統(tǒng)或裝備等）在其他目標(biāo)情形下未必是相關(guān)的。因此，相關(guān)體系的概念是相對(duì)的和有條件的。這里給出定義5。

定義 5 （相關(guān)體系） 若在某功能（任務(wù)）目標(biāo)條件下，Ψ_k在系統(tǒng)x_i（i=1，2，…，n_k）處為常量，即在所有（·_i，X）上，Ψ_k（1_i，X）=Ψ_k（0_i，X），則第i個(gè)系統(tǒng)x_i對(duì)于功能（任務(wù)）Ψ_k是不相關(guān)的，否則就是相關(guān)的。若系統(tǒng)x_i對(duì)于所有的功能（任務(wù)）Ψ_k都是不相關(guān)的，則其對(duì)于體系Ψ是不相關(guān)的，否則就是相關(guān)的。當(dāng)所有功能（任務(wù)）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為增函數(shù)，且所有系統(tǒng)對(duì)于體系都是相關(guān)的，則體系為相關(guān)體系。其中，（·_i，X）≡（x₁，x₂，…，x_i－1，·，x_i+1，x_i+2，…，x_nk）。

一復(fù)雜體系Ψ有二項(xiàng)功能（任務(wù)）1和2，各任務(wù)的重要性分別為ω_i（i=1，2）。該體系中的單元（系統(tǒng)）因故障導(dǎo)致性能受損或破壞時(shí)，指定單元（系統(tǒng)）可實(shí)現(xiàn)功能替補(bǔ)，其中b₁₁、b₂₁可以實(shí)現(xiàn)互相功能替補(bǔ);b₂₂可替補(bǔ)b₁₂，且b₁₂還具有系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補(bǔ)能力（見(jiàn)圖2）。求解該體系的結(jié)構(gòu)函數(shù)并舉例分析其相關(guān)性。

首先確定各單元（系統(tǒng)）的替補(bǔ)系統(tǒng)集合。由題意，對(duì)b₁₁而言，有X_subb11={b₂₁};對(duì)b₁₂而言，有X_subb12={b′₁₂，b₂₂}，其中b′₁₂代表了系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補(bǔ);對(duì)b₂₁而言，有X_subb21={b₁₁};對(duì)b₂₂而言，有X_subb22=;對(duì)c而言，有X_subc=。

根據(jù)定理1，功能1（任務(wù)1）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ₁（X）=Ψ₁{［b₁₁，X_subb11］，［b₁₂，X_subb12］，［c，X_subc］}=

Ψ₁{max（b₁₁，b₂₁），max（b₁₂，b′₁₂，b₂₂），c}=

max（b₁₁，b₂₁）·max（b₁₂，b′₁₂，b₂₂）c=

［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］

［1－（1－b₁₂）（1－b′₁₂）（1－b₂₂）］c（9）

類(lèi)似地，功能2（任務(wù)2）的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ₂（X）=Ψ₂{［b₂₁，X_subb21］，［b₂₂，X_subb22］，［c，X_subc］}=

Ψ₂{max（b₂₁，b₁₁），b₂₂，c}=

max（b₂₁，b₁₁）b₂₂c=

［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］b₂₂c（10）

體系結(jié)構(gòu)函數(shù)為

Ψ（X）=ω₁Ψ₁（X）+ω₂Ψ₂（X）=

ω₁［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］·

［1－（1－b₁₂）（1－b′₁₂）（1－b₂₂）］c+

ω₂［1－（1－b₁₁）（1－b₂₁）］b₂₂c（11）

根據(jù)定義5，以功能2（任務(wù)2）為例，真值表如表1所示。

對(duì)于單元（系統(tǒng)）b₁₁，有

狀態(tài)11：Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）=0;

狀態(tài)14：Ψ₂（1_b11，0_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）≠Ψ₂（1_b11，0_b21，1_b22，1_c）。

根據(jù)定義5，單元（系統(tǒng)）b₁₁對(duì)于功能2（任務(wù)2）Ψ₂是相關(guān)的，則對(duì)于體系Ψ也是相關(guān)的。

同理，對(duì)于單元（系統(tǒng)）b₂₁，有

狀態(tài)11：Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）=0;

狀態(tài)15：Ψ₂（0_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（0_b11，0_b21，1_b22，1_c）≠Ψ₂（0_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

對(duì)于單元（系統(tǒng)）b₂₂，有

狀態(tài)13：Ψ₂（1_b11，1_b21，0_b22，1_c）=0;

狀態(tài)16：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（1_b11，1_b21，0_b22，1_c）≠Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

對(duì)于單元（系統(tǒng)）c，有

狀態(tài)12：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，0_c）=0;

狀態(tài)16：Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）=1。

因此，Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，0_c）≠Ψ₂（1_b11，1_b21，1_b22，1_c）。

單元（系統(tǒng)）b₂₁、b₂₂、c對(duì)于功能2（任務(wù)2）Ψ₂都是相關(guān)的，對(duì)于體系Ψ也都是相關(guān)的。實(shí)際上，類(lèi)似地可以證明體系Ψ為相關(guān)體系，這里不再贅述。

2 復(fù)雜體系可靠性GERT網(wǎng)絡(luò)建模

在第1節(jié)中，通過(guò)結(jié)構(gòu)函數(shù)可以對(duì)體系結(jié)構(gòu)和相關(guān)性進(jìn)行分析，但結(jié)構(gòu)函數(shù)本身不具備解析求解能力，且無(wú)法體現(xiàn)出系統(tǒng)在發(fā)揮替補(bǔ)作用時(shí)可靠度可能無(wú)法完全達(dá)到原可靠度這一性質(zhì)。因此，本節(jié)采用GERT網(wǎng)絡(luò)描述體系結(jié)構(gòu)，通過(guò)GERT解析法計(jì)算體系可靠度，同時(shí)將其轉(zhuǎn)化為GERTS以給出可靠度仿真結(jié)果，擴(kuò)展了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模提升時(shí)的解決方案。

2.1 基于GERT網(wǎng)絡(luò)的可靠性建模

根據(jù)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)原理^［20］，任一客觀體系過(guò)程可以看作是各系統(tǒng)之間基于任務(wù)目標(biāo)的相互協(xié)作過(guò)程。一般情況下，這種協(xié)作大都屬于工作任務(wù)的上、下游的縱向或者橫向的合作。這種任務(wù)的協(xié)作過(guò)程可以運(yùn)用廣義活動(dòng)網(wǎng)絡(luò)（generalized active network， GAN）進(jìn)行表征，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)。為了將GERT用于求解復(fù)雜體系可靠性，首先給出復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)。

定義 6 （復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)） 在復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，若單元（系統(tǒng)）i實(shí)際可靠度為R_i（t），則單元成功分支的傳遞函數(shù)為W_i（t）=R_i（t），單元失敗分支的傳遞函數(shù)為W_i^（t）=1－R_i（t）。單元（系統(tǒng)）i轉(zhuǎn)化為GERT節(jié)點(diǎn)的規(guī)則如圖3所示。

由于可靠度是時(shí)間的函數(shù)，因此單元（系統(tǒng)）i在GERT網(wǎng)絡(luò)中的成功分支與失敗分支傳遞函數(shù)同樣是時(shí)間的函數(shù)，且根據(jù)可靠度的性質(zhì)，顯然有：① W_i（t）是一個(gè)非增函數(shù)，W_i^（t）是一個(gè)非減函數(shù);② 當(dāng)t=0時(shí)，W_i（t）=1，W_i^（t）=0;③ 當(dāng)t→SymboleB@時(shí)，W_i（t）=0，W_i^（t）=1。對(duì)于功能替補(bǔ)單元（系統(tǒng)），其傳遞函數(shù)隱含了實(shí)際可靠度R_sub（t）=α（t）R（t）（0≤α（t）≤1）的條件。根據(jù)定義6和串聯(lián)、并聯(lián)以及備份邏輯，給出下述定義7.1～7.3。

定義 7.1 （串聯(lián)單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則） 串聯(lián)單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖4所示。

圖4左邊是一個(gè)n個(gè)單元（系統(tǒng)）的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，右邊的GERT網(wǎng)絡(luò)表達(dá)了串聯(lián)的邏輯，即單元（系統(tǒng)）1至n中只要有一個(gè)不可靠，則整體不可靠。

定義 7.2 （并聯(lián)單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則）并聯(lián)單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖5所示。

圖5左上是一個(gè)n個(gè)單元（系統(tǒng)）的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，首先運(yùn)用“或型”節(jié)點(diǎn)A表達(dá)了并聯(lián)的邏輯，即單元（系統(tǒng)）1至n中只要有一個(gè)可靠，則整體可靠。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，這里省略了不可靠的分支;接著將“或型”節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“異或型”節(jié)點(diǎn)A、A-，考慮其得以實(shí)現(xiàn)的所有可能途徑;最后由GERT并聯(lián)分支的傳遞函數(shù)等于各分支之和，化簡(jiǎn)得到最終的GERT網(wǎng)絡(luò)。

定義 7.3 （備份單元（系統(tǒng)）GERT轉(zhuǎn)化規(guī)則） 備份單元（系統(tǒng)）轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則如圖6（a）和圖6（b）所示，其中圖6（a）假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置完全可靠，圖6（b）假設(shè)轉(zhuǎn)換裝置不完全可靠。

圖6（a）中，當(dāng)單元（系統(tǒng)）1工作正常時(shí)，無(wú)需轉(zhuǎn)換，當(dāng)其不可靠時(shí)，由備份的單元（系統(tǒng)）2工作。同理，直至備份的單元（系統(tǒng)）n工作。若其不可靠，沒(méi)有剩余的備份單元（系統(tǒng)），則整體不可靠。

在圖6（b）中，當(dāng)單元（系統(tǒng)）1工作正常時(shí)，無(wú)需轉(zhuǎn)換，當(dāng)其不可靠時(shí)，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則由備份的單元（系統(tǒng)）2工作;當(dāng)單元（系統(tǒng)）2工作正常時(shí)，無(wú)需轉(zhuǎn)換，當(dāng)其不可靠時(shí)，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則備份的單元（系統(tǒng)）3工作;以此類(lèi)推，當(dāng)單元（系統(tǒng)）n-1工作正常時(shí)，無(wú)需轉(zhuǎn)換，當(dāng)其不可靠時(shí)，若轉(zhuǎn)換裝置正常，則備份的單元（系統(tǒng)）n工作，若其不可靠，沒(méi)有剩余的備份單元（系統(tǒng)），則整體不可靠。在這個(gè)過(guò)程中，若轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)無(wú)法完成轉(zhuǎn)換工作，整體同樣不再可靠。

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)分解將其簡(jiǎn)化為上述結(jié)構(gòu)，因此根據(jù)上述定理，體系邏輯就可以轉(zhuǎn)化為GERT網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)GERT解析法，可以求得其中任意兩節(jié)點(diǎn)間的等價(jià)傳遞函數(shù)，也就是節(jié)點(diǎn)間涉及的功能（任務(wù)）可靠度。定理2給出了具體證明過(guò)程。

定理 2 （功能（任務(wù)）可靠度GERT求解） 在復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，功能（任務(wù)）可靠度等于功能（任務(wù)）對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間等價(jià)傳遞函數(shù)。

證明 以圖4～圖6中的串聯(lián)、并聯(lián)、備份結(jié)構(gòu)為例證明。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，證明過(guò)程中將W（t），R（t）簡(jiǎn)寫(xiě)為W，R。

（1） 串聯(lián)

根據(jù)圖4，設(shè)各單元（系統(tǒng)）可靠度為R_i（i=1，2，…，n），有R_s=∏ⁿⁱ⁼¹R_i。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價(jià)傳遞函數(shù)W_A=∏ⁿ_i=1W_i，根據(jù)定義6，W_A=∏ⁿ_i=1R_i。

則W_A=R_s。

（2） 并聯(lián)

根據(jù)圖5，設(shè)各單元（系統(tǒng)）可靠度為R_i（i=1，2，…，n），有R_s=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價(jià)傳遞函數(shù)W_A=1－∏ⁿ_i=1W_i^，根據(jù)定義6，W_A=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

則W_A=R_s。

（3） 備份

根據(jù)圖6（a），設(shè)各單元（系統(tǒng)）實(shí)際可靠度為R_i（i=1，2，…，n）。根據(jù)備份邏輯，R_s=∑^n－1_k=0P{N=k}=1－P{N=0}=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價(jià)傳遞函數(shù)

W_A=

W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃

+…+W_1^W_2^+…+WW_n=

W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃+…+

W_1^W_2^…WW_n+W_1^W_2^…WW_n^－∏ni=1W_i^

由W_i+W_i^=1，得

W_A=W₁+W_1^W₂+W_1^W_2^W₃+…+

W_1^W_2^+…+W+W_1^W_2^+…+W－∏ni=1W_i^=1－∏ni=1W_i^

而W_i^=1－R_i，因此W_A=1－∏ⁿ_i=1（1－R_i）。

則W_A=R_s。

根據(jù)圖6（b），設(shè)各單元（系統(tǒng)）實(shí)際可靠度為R_i（i=1，2，…，n）。轉(zhuǎn)換裝置可靠度為R_sw， 則R_s=R₁+R_sw（1－R₁）R₂+R²_sw·（1－R₁）（1－R₂）R₃+…+R^n－1_sw（1－R₁）（1－R₂）+…+（1－R_n－1）R_n=R₁+∑^n－1_i=1［Rⁱ_swR_i+1∏ⁱ_j=1（1－R_j）］。

GERT網(wǎng)絡(luò)等價(jià)傳遞函數(shù)W_A=W₁+W_swW_1^W₂+W²_swW_1^W_2^W₃+…+W^n－1_swW_1^W_2^+…+WW_n=W₁+∑^n－1_i=1（Wⁱ_swW_i+1∏ⁱ_j=1W_j^）。

由定義6，W_A=R₁+∑^n－1_i=1［Rⁱ_swR_i+1∏ⁱ_j=1（1－R_j）］。

則W_A=R_s。證畢

定理 3 （體系可靠度GERT“和聯(lián)”模型） 在復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)中，若有K個(gè)功能（任務(wù)），各功能（任務(wù)）重要度（權(quán)重）為ω_i（i=1，2，…，K），可靠度為R_Ψ.i（t）（i=1，2，…，K），則體系可靠度

R_Ψ（t）=∑Ki=1ω_iR_Ψ.i（t）（12）

根據(jù)多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù)，定理顯然成立。

2.2 基于GERTS網(wǎng)絡(luò)的可靠性建模

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模增大時(shí)，GERT解析算法常常面臨求解困難的問(wèn)題，容易出現(xiàn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和分支的遺漏和錯(cuò)判，此時(shí)可以采用GERTS仿真作為替代方法。GERTS是GERT的仿真實(shí)現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時(shí)求解效率更高。

定義 8 （GERTS節(jié)點(diǎn)）^［21］ 表2給出了兩種GERTS節(jié)點(diǎn)，具體含義如表2所示。

對(duì)任一t時(shí)刻，在本文GERTS仿真運(yùn)行中，隨著仿真次數(shù)的增加，結(jié)果將趨于穩(wěn)定，見(jiàn)定理4。

定理 4 （GERTS仿真收斂性） 設(shè)t時(shí)刻GERTS仿真次數(shù)為N，設(shè)S_N為其中體系任務(wù)成功終節(jié)點(diǎn)S實(shí)現(xiàn)次數(shù)，則N－S_N為體系任務(wù)失敗終節(jié)點(diǎn)F實(shí)現(xiàn)次數(shù)。若t時(shí)刻GERT求解體系任務(wù)可靠度為R（t）（0≤R（t）≤1），那么S_N/N依概率收斂到R（t），即εgt;0，有

limN→SymboleB@PS_NN－R（t）≥ε=0

證明 事實(shí)上，GERT解得體系任務(wù)可靠度R（t）即為體系任務(wù)成功終節(jié)點(diǎn)S實(shí)現(xiàn)概率，則根據(jù)伯努利大數(shù)定律，定理成立。證畢

3 案例研究

聯(lián)合作戰(zhàn)體系的典型反艦作戰(zhàn)場(chǎng)景可描述為，當(dāng)探測(cè)平臺(tái)探測(cè)到對(duì)方艦的目標(biāo)信息時(shí)，將目標(biāo)信息發(fā)送給地面指揮平臺(tái)，地面指揮平臺(tái)向探測(cè)平臺(tái)及武器平臺(tái)發(fā)送通道組織命令，探測(cè)平臺(tái)根據(jù)收到的通道組織命令，組織通信預(yù)案，向武器平臺(tái)發(fā)送目標(biāo)指示命令，同時(shí)探測(cè)平臺(tái)向武器平臺(tái)發(fā)送處理過(guò)的遠(yuǎn)程目標(biāo)指示信息，武器平臺(tái)最后根據(jù)探測(cè)平臺(tái)發(fā)送的目標(biāo)指示信息以及地面指揮平臺(tái)發(fā)送的處理后的遠(yuǎn)程目標(biāo)指揮信息進(jìn)行打擊。由此將作戰(zhàn)活動(dòng)劃分為3個(gè)部分：偵察、控制、打擊。偵察是聯(lián)合作戰(zhàn)體系中一個(gè)非常重要的功能，偵察場(chǎng)景的主要組織角色有預(yù)警機(jī)（aircraft of early warning， AEW）、地面監(jiān)視雷達(dá)（ground surveillance radar， GSR）、偵察遙感（remote sensing， RS）衛(wèi)星等。偵察場(chǎng)景的作戰(zhàn)體系如圖7所示。

根據(jù)作戰(zhàn)場(chǎng)景梳理參戰(zhàn)裝備，有作為綜合型武器裝備的AEW和作為單一型武器裝備的GSR以及RS。該作戰(zhàn)體系可簡(jiǎn)化為圖8。該體系中GCS為地面指揮系統(tǒng)（ground command system， GCS）。

其中，RS₁與RS₂、GSR₁與GSR₂可以互相實(shí)現(xiàn)功能替補(bǔ)，AEW具有系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)功能替補(bǔ)能力AEW′。該體系共完成2項(xiàng)任務(wù)，偵察任務(wù)1為偵察空中目標(biāo)，其基本功能路線(xiàn)為RSAEWGSRGCS（其中， “” 表示任務(wù)流向），偵察任務(wù)2為偵察地面目標(biāo)，其基本功能路線(xiàn)為RSGSRGCS，任務(wù)權(quán)重ω₁=0.7，ω₂=0.3。

根據(jù)定理1，其體系結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

Ψ（X）=ω₁Ψ₁（X）+ω₂Ψ₂（X）=

ω₁Ψ₁{［RS₁，RS₂］，［AEW，AEW′］，［GSR₁，GSR₂］，GCS}+

ω₂Ψ₂{［RS₂，RS₁］，［GSR₂，GSR₁］，GCS}=

ω₁［1－（1－RS₁）（1－RS₂）］·

［1－（1－AEW）（1－AEW′）］·

［1－（1－GSR₁）（1－GSR₂）］GCS+

ω₂［1－（1－RS₂）（1－RS₁）］·

［1－（1－GSR₂）（1－GSR₁）］GCS

進(jìn)一步地，假設(shè)任務(wù)執(zhí)行時(shí)間t∈［0，5］，功能替補(bǔ)作用隨著時(shí)間遞減，轉(zhuǎn)換裝置完全可靠，功能替補(bǔ)系數(shù)α（t）=e^－t， RS₁與RS₂的可靠度R_RS（t）=e^－0.22t， AEW的可靠度R_AEW（t）=e^－0.01t， GSR₁與GSR₂的可靠度R_GSR（t）=e^－0.16t， GCS的可靠度R_GCS（t）=e^－0.05t。根據(jù)上述條件和體系結(jié)構(gòu)函數(shù)，可構(gòu)造出體系GERT網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算，如圖9所示。

首先，針對(duì)任務(wù)1和任務(wù)2分別求解其成功等價(jià)傳遞函數(shù)。對(duì)任務(wù)1來(lái)說(shuō)，有W_1s（t）=R_RS（t）R_AEW（t）R_GSR（t）·R_GCS（t）{［1+α（t）（1－R_RS（t））］［1+α（t）（1－R_AEW（t））+α（t）（1－R_GSR（t））+α（t）²（1－R_AEW（t））（1－R_GSR（t））］}，則根據(jù)定理2，R_Ψ.1（t）=W_1s（t）;對(duì)任務(wù)2來(lái)說(shuō)，有W_2s（t）=R_RS（t）R_GSR（t）R_GCS（t）［1+α（t）（1－R_RS（t））+α（t）（1－R_GSR（t））+α（t）²（1－R_RS（t））（1－R_GSR（t））］，則根據(jù)定理2，R_Ψ.2（t）=W_2s（t）。再由定理3，R_Ψ（t）=∑²_i=1ω_iR_Ψ.i（t）=0.7R_Ψ.1（t）+0.3R_Ψ.2（t）。

對(duì)任一t，可構(gòu)造如圖10所示的GERTS網(wǎng)絡(luò)圖，利用GERTS進(jìn)行仿真求解。在t=1時(shí)，經(jīng)過(guò)10 000次仿真得到圖11所示結(jié)果，GERTS可靠度最終收斂到0.732 5，與GERT解析解的相對(duì)誤差為0.002%。

在t∈［0，5］時(shí)，R_Ψ（t）的變化情況如圖12所示。若不考慮體系特點(diǎn)，即忽略體系中的替補(bǔ)單元，從傳統(tǒng)系統(tǒng)視角計(jì)算可靠度，將在一定程度上低估體系可靠度。圖12給出了反艦偵察作戰(zhàn)體系可靠度與系統(tǒng)視角可靠度的對(duì)比情況。兩者均呈現(xiàn)隨任務(wù)持續(xù)時(shí)間下降的趨勢(shì)，但體系視角下可靠度降低速度與系統(tǒng)視角下明顯不同，兩者相對(duì)誤差先增大后減小，相對(duì)誤差最大時(shí)接近12%。因此，在評(píng)估體系可靠度時(shí)有必要考慮體系中的功能替補(bǔ)作用。

對(duì)體系設(shè)計(jì)者而言，在合理估計(jì)功能替補(bǔ)系數(shù)的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)間的功能替補(bǔ)環(huán)節(jié)來(lái)提升體系可靠度，同時(shí)減少功能冗余以降低成本。對(duì)體系管理者而言，以作戰(zhàn)體系為例，本文所提方法能夠更加精確地測(cè)定其實(shí)際完成任務(wù)的可靠度，避免指揮員在決策時(shí)以盡可能大的裕度來(lái)確保任務(wù)完成，從而減少作戰(zhàn)資源浪費(fèi)。

4 結(jié) 論

復(fù)雜體系已經(jīng)成為大規(guī)模系統(tǒng)存在的普遍形態(tài)，但在其可靠性結(jié)構(gòu)描述和計(jì)算方面仍未有較好的解決方案。同時(shí)，體系內(nèi)部系統(tǒng)連接的或然性在關(guān)系復(fù)雜時(shí)缺乏準(zhǔn)確的描述方法。本文運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)理論和GERT網(wǎng)絡(luò)建立了一種復(fù)雜體系可靠性結(jié)構(gòu)分析框架與建模方法。首先，根據(jù)“和聯(lián)”系統(tǒng)思想以系統(tǒng)可靠度表征多任務(wù)“和聯(lián)”體系可靠度函數(shù);然后，為解決體系結(jié)構(gòu)描述問(wèn)題，將結(jié)構(gòu)函數(shù)推廣至體系;最后，構(gòu)建復(fù)雜體系GERT網(wǎng)絡(luò)模型，以實(shí)現(xiàn)體系可靠度解析求解，同時(shí)擴(kuò)展了GERTS仿真，作為網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時(shí)求解效率更高的方案。

通過(guò)對(duì)一反艦偵察作戰(zhàn)體系進(jìn)行案例研究，GERT和GERTS均可得出有效結(jié)果，且能夠在考慮體系特點(diǎn)的基礎(chǔ)上更精準(zhǔn)地評(píng)估體系實(shí)際可靠度。對(duì)于體系設(shè)計(jì)和管理，為確保體系能力達(dá)到相應(yīng)水平，設(shè)計(jì)者和決策者可能會(huì)通過(guò)提供足夠大的裕度或余量保證可靠性，從而導(dǎo)致成本和資源的浪費(fèi)。本文所提方法能夠?yàn)樵O(shè)計(jì)者和決策者提供參考，減少不必要的冗余，為資源合理配置奠定基礎(chǔ)。此外，對(duì)復(fù)雜體系而言，除本文提出的“和聯(lián)”結(jié)構(gòu)外，還可能存在組成體系規(guī)定功能（任務(wù)）的系統(tǒng)功能（任務(wù)）間可以互相替補(bǔ)的結(jié)構(gòu)，這也將是本研究的后續(xù)工作。

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作者簡(jiǎn)介

方志耕（1962—），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)榭煽啃怨こ?、?fù)雜裝備研制管理。

華晨晨（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榭煽啃怨こ?、效能?yōu)化。

陳 頂（1989—），男，工程師，博士，主要研究方向?yàn)樾茉u(píng)估、質(zhì)量與可靠性。

張靖如（1997—），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜體系建模。

張亞?wèn)|（1996—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榭煽啃栽鲩L(zhǎng)。

吳鴻華（1978—），男，副教授，博士研究生，主要研究方向?yàn)榛疑到y(tǒng)理論。