代數(shù)式表示數(shù)、形的規(guī)律

探索數(shù)字和圖形的規(guī)律是一個(gè)充滿挑戰(zhàn)和樂趣的過程。觀察是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的第一步，有效的觀察方法可以為我們提供清晰的解題思路。下面，我們借助兩道例題來探索解答規(guī)律題的有效路徑。

例1 觀察一列數(shù)：1，[-34]，[89]，[-1516]……則第n個(gè)數(shù)怎么表示？

【解析】先觀察數(shù)的特征：正負(fù)交替，分子數(shù)值比分母數(shù)值少1，分母是數(shù)的序號(hào)的平方。因此，我們可以歸納得出第n個(gè)數(shù)為（-1）n+1[n2-1n2]。

例2 長(zhǎng)度為a的長(zhǎng)方形紙片按照如圖1所示方式進(jìn)行排列，相鄰兩長(zhǎng)方形紙片重疊長(zhǎng)度為b，則n個(gè)長(zhǎng)方形紙片按如圖所示方式擺放，紙片的總長(zhǎng)度為 。

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圖1

【解析】本題可以從不同角度觀察歸納得到結(jié)果。

方法一：列表填數(shù)，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

[長(zhǎng)方形

紙片個(gè)數(shù) 1 2 3 …… n 紙片

總長(zhǎng)度 a 2a-b 3a-2b …… na-（n-1）b ]

將紙片個(gè)數(shù)n與a、b前的系數(shù)聯(lián)系起來，找到數(shù)值變化的規(guī)律a+（n-1）（a-b），化簡(jiǎn)可得na-（n-1）b。

方法二：從圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察，感悟用部分研究整體的思想。

先將紙片不重疊擺放，那么n張長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)度為na，然后將相鄰的長(zhǎng)方形紙片進(jìn)行重疊，每一接縫處減少了b，共有（n-1）個(gè)接縫，則總長(zhǎng)度為na-（n-1）b。

總結(jié)來說，觀察的路徑大致有兩種：①觀察數(shù)與式的特征，涉及圖形時(shí)應(yīng)把序號(hào)與變量聯(lián)系起來；②觀察圖形結(jié)構(gòu)。兩種路徑我們都可以從較小的特殊情形開始觀察。

（作者單位：江蘇省南京市金陵匯文學(xué)校）