基于復合陣列的矩陣循環(huán)重構(gòu)DOA估計算法

摘 要： 相干源角度估計一直是困擾雷達角度測量的一個重要難題， 基于均勻陣列假設(shè)提出了模式空間解相干算法， 一定程度上解決了相干干擾條件下的目標角度估計問題， 但是上述算法對復合陣列的適應性較差。 針對復合陣列下相干多源測角問題， 本文提出一種基于模式空間循環(huán)重構(gòu)的解相關(guān)算法， 利用圓陣外其他任意天線賦形空域濾波特性， 在信號源數(shù)多于陣元數(shù)時較好地解決相干源角度估計問題。 仿真試驗結(jié)果表明， 該算法能較好地解決復合陣列天線下的相干源測角問題， 并且其角分辨性能優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

關(guān)鍵詞： 波達角估計； 復合陣列； 模式空間； 托普利茲矩陣； 相干信號源

中圖分類號： TJ765； TN911.7

文獻標識碼： A

文章編號： 1673-5048（2024）05-0096-07

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2024.0098

0 引 言

隨著作戰(zhàn)場景的日益復雜， 雷達主瓣內(nèi)的多目標分辨問題日益凸顯， 傳統(tǒng)的和差體制雷達角度分辨率受限于天線孔徑， 很難實現(xiàn)波束內(nèi)的多目標分辨。 近年來， 陣列信號處理技術(shù)的發(fā)展， 尤其是子空間類波達角估計算法， 如Multiple Signal Classification（MUSIC）和Estimating Signal Parameter via Rotational Inariance Techniques（ESPRIT）等， 極大地推動了角度超分辨技術(shù)的進步與發(fā)展［1-2］， 其突破“瑞利限”制約， 使得主瓣內(nèi)多目標角度估計問題成為了可能［3-5］。

然而， 電磁環(huán)境的日益復雜使得雷達面臨著越來越嚴峻的干擾威脅， 尤其是基于DRFM技術(shù)的干擾技術(shù)的快速發(fā)展及應用， 目標和干擾之間通常呈現(xiàn)出明顯的強相干性； 此外目標超低空飛行時， 多徑導致的目標、 雜波間強相干性， 使得傳統(tǒng)的MUSIC和ESPRIT等基于子空間算法面臨著失效風險。 為了解決相干源條件下的目標角度估計問題， 近年來， 國內(nèi)外開展了大量的研究［4-7］。 按所用陣列結(jié)構(gòu)不同， 可以分為基于任意陣列結(jié)構(gòu)的解相干算法和基于特定陣列結(jié)構(gòu)的解相干算法。 其中， 基于任意陣列結(jié)構(gòu)的解相干算法對陣列結(jié)構(gòu)不做限制， 但需借助內(nèi)插變換算法［5-7］將任意陣列變換為某種特定陣列， 如均勻線陣或面陣等， 然后利用特定陣列解相干算法進行波達角估計。 基于特定陣列結(jié)構(gòu)的解相干算法大體可分為三類： 基于線陣或面陣的解相干算法［8-11］， 基于結(jié)構(gòu)相同的多個子陣的解相干算法［12-13］（線陣、 面陣可視作該類的特例）， 基于均勻圓陣、 L陣列等特殊陣列的解相干算法［14-16］。 所有陣列中均勻圓陣具有全方位測向且精度不受方位角影響的優(yōu)點， 也是目前應用最為廣泛的一種布陣方式。

相關(guān)研究極大地促進了單一陣列模式下相干源角度估計問題， 但是隨著多任務、 多功能的需求不斷提升， 雷達射頻天線布陣布局方式也愈加復雜， 傳統(tǒng)的單一陣列形式已經(jīng)不能滿足實際應用需求， 復合陣列愈加常見。 然而， 面對復合陣列下的相關(guān)源角度估計問題， 上述方法或多或少地存在著局限性， 使得其解相關(guān)性能或者普適性下降。 為了解決復合陣列下的相關(guān)源角度估計問題， 本文提出了一種基于矩陣循環(huán)重構(gòu)（Matrix Circular Restruction algorithm， MCR）的相關(guān)源角度估計算法。 通過互相關(guān)引入其他陣列的接收數(shù)據(jù)， 利用圓陣外其他任意天線賦予其空域濾波特性， 使得MCR算法具備了較好的角度超分辨能力。 仿真試驗結(jié)果表明， MCR算法在輻射

收稿日期： 2024-06-11

*作者簡介： 江云（1983-）， 男， 河南駐馬店人， 碩士， 高級工程師。

源多于陣元數(shù)場景下， 能逐區(qū)域估計出所有輻射源波達角， 且估計精度明顯優(yōu)于MODE-TOEP算法。

1 信號模型

考慮由M個陣元構(gòu)成的均勻圓陣（如圖1所示）， 陣列半徑為r。 假設(shè)在陣列所在平面內(nèi)有P個波長為λ的遠場窄帶電磁波信號s1（t）， s2（t）， …， sP（t）入射至陣列， 入射方向為{θp|θp∈［0， 2π）}pp=1， 方位角θ對應的導向矢量函數(shù)為航空兵器 2024年第31卷第5期

江 云， 等： 基于復合陣列的矩陣循環(huán)重構(gòu)DOA估計算法

ac（θ）=［ejβ0cos（θ）， ejβ0cos（θ－θΔ）， …， ejβ0cos（θ－（M－1）θΔ）］T（1）

式中： β0=2πr/λ， θΔ=2π/M。 記ac， p=ac（θp）表示第p個信號的空域?qū)蚴噶浚?Ac=［ac， 1， …， ac， p］為相應的導向矢量矩陣。

令x（t）=［x1（t）， …， xM（t）］T表示接收信號， n（t）=［n1（t）， …， nM（t）］T為通道噪聲， s（t）=［s1（t）， …， sP（t）］T， 則

x（t）=Acs（t）+n（t）（2）

設(shè)天線x0的方向增益為g（θ）， 其對多個輻射源的方向增益矢量g=［g（θ1）， …， g（θp）］T， 則接收信號為

x0（t）=gHs（t）+n0（t） （3）

假設(shè)信號與噪聲獨立， 噪聲彼此獨立且服從N（0， σ2n）的高斯分布， 則均勻圓陣與x0的互相關(guān)矢量為

rc=E{x（t）xH0}=AcE{s（t）sH（t）}gc+

E{n（t）nH0（t）}=AcRcsg（4）

式中： Rcs=E{s（t）sH（t）}為信號源協(xié)方差矩陣。

假設(shè)前L個輻射源為相干輻射源， s0（t）為相干輻射源的基準信號， 第l個信號可表示為sl（t）=cls0（t）， cl為幅相系數(shù)， 1≤l≤L。 令c=［c1， …， cL］T， 則s（t）［cTs0（t）， sL+1（t）， …， sP（t）］T。

Rcs（i， j）=cicjσ2s0 1≤i， j≤L

0L<i， L<j， i≠j

σ2siL<i， L<j， i=j （5）

式中： σ2si=E{si（t）si（t）}表示第i個輻射源功率， 0≤i≤P。

令

rcs=Rcsg=［c1σ2s， 0∑Ll=1glcl， …， clσ2s， 0∑Ll=1glcl， σ2s， l+1gl+1， …， σ2s， PgP+1］T（6）

則

rc=Acrcs（7）

2 算法原理

2.1 MCR算法原理

MCR算法共分6部分， 其算法原理如圖2所示。

（1） 構(gòu)造交換矩陣

Gi=0I（M－i）×（M－i）

Ii×i0（8）

則有G0=I， GiGHi=I。

由于MθΔ=2π， cos（θ）=cos（θ－iθΔ+iθΔ）=cos（θ－iθΔ－（M－i）θΔ）， 可得

Giac（θ， θΔ）=［ejβ0cos（θ－iθΔ）， …， ejβ0cos（θ－（M－1）θΔ）， ejβ0cos（θ）， …， ejβ0cos（θ－（i－1）θΔ）］T=［ejβ0cos（θ－iθΔ）， …， ejβ0cos（（θ－iθΔ）－（M－1）θΔ）］T=

ac（θ－iθΔ）（9）

定義ac， p， i=ac（θp－iθΔ）表示交換矩陣Gi處理后的陣列導向矢量， 相應有導向矢量矩陣Ac， i=［ac， 1， i， …， ac， p， i］， 則

ac， p， i=Giac， p， Ac， i=GiAc（10）

（2） 構(gòu)造模式變換矩陣

定義K=β0」表示模式激勵的最大模式數(shù)， 定義矩陣J=diag{1/j－KJ－K（β0）， …， 1/jKJK（β0）}， 其中Jk（β0）表示k階第一類貝塞爾函數(shù)。 定義向量wk=［1， ej2πk/M， …， ej2πk（M－1）/M］T和矩陣W=［w-K， w-K+1， …， wK］T， 則模式變換矩陣為

F=J-1W/M（11）

定義矢量函數(shù)aL（θ）=［e-jKθ， …， ejKθ］T， aL， p=aL（θp）， AL=［aL， 1， …， aL， p］。 與ac， p， i和Ac， i相對應， 定義aL， p， i=aL（θp－iθΔ）， AL， i=［aL， 1， i， …， aL， p， i］。 則當陣元個數(shù)滿足M>2K+1時， 可得

aL（θ）=Fac（θ）

aL， p=Fac， p

aL， p， i=Fac， p， i （12）

AL=FAc

AL， i=FAc， i （13）

由定義知aL， p， i具有范德蒙結(jié)構(gòu)， 可以將其視作均勻線陣的導向矢量， 因此變換矩陣F實現(xiàn)均勻圓陣到均勻線陣導向矢量的變換。

（3） 復合圓陣到線陣互協(xié)方差矢量的變換

利用式（10）和式（13）， 通過模式變換矩陣F、 交換矩陣Gi， 則復合圓陣互協(xié)方差矢量rc可進一步表示為

rL， i=FGirc=FGiAcrcs=FAc， ircs=AL， ircs（14）

（4） 構(gòu)造Toeplitz矩陣

利用rL， i構(gòu)造Toeplitz型矩陣：

Ti（m， n）=rL， i（m－n+K+1）=

AL， i， （K+1）·

rcs m=n

AL， i， （m－n+K+1）·rcs m≠n， 1≤m， n≤K+1 （15）

式中： AL， i， （m－n+K+1）·表示矩陣AL， i第m－n+K+1行向量。 由aL（θ）， AL， i定義可得

AL， i， （m－n+K+1）·rcs=

AL， i， （m+K）·rcs， 1

rcs， pAH（n+K）·=

AL， i， （m+K）·RtsAH（n+K）·（16）

式中： rcs， p為向量rcs的第p個元素， Rts=diag{rcs}為Ti的等效信號源協(xié)方差矩陣。 定義矢量bL（θ）=［1， …， ejKθ］T， bL， p=bL（θp）， BL=［bL， 1， …， bL， p］， bL， p， i=bL（θp－iθΔ）， BL， i=［bL， 1， i， …， bL， p， i］， 則由式（15）～（16）可得

Ti=BL， iRtsBHL， i（17）

（5） 重構(gòu)矩陣歸一化處理

定義對角矩陣：

Di=diag（b（iθΔ））=1

ejiθΔ

ejKiθΔ（18）

則

bL， p=DibL， p， i， BL=DiBL， i （19）

利用定義的對角矩陣對等效信號源協(xié)方差矩陣進行歸一化， 構(gòu)建新的等效信號源協(xié)方差矩陣Zi：

Zi=DiTiTHiDHi=Di（BL， iRtsBHL， i）（BL， iRtsBHL， i）TDHi=DiBL， iRtsBHL， iBL， iRHtsBHL， iDHi=BLZs， iBHL（20）

式中： Zs， i=RtsBHL， iBL， iRHts為Zi的等效信號源協(xié)方差矩陣。 令

Z=∑M－1i=0Zi=∑M－1i=0（BLZs， iBHL）=BL∑M－1i=0（Zs， i）BHL （21）

定義反對稱矩陣：

ψ=11 （22）

則

ψBL=e-jKθ1…e-jKθp

…

1…1=

1…1

…

ejKθ1…ejKθp

e-jKθ1

e-jKθp=BLΛ （23）

式中： Λ=diag{e-jKθ1， …， e-jKθp}。 利用反對稱矩陣對Z進行反向修正［17-18］， 可得

ZM=Z+ψZHψ=Z+ψBL∑M－1i=0（Zs， i）BHLTψ=BL∑M－1i=0

（Zs， i+ΛZHs， iΛH）BHL=

BLZMSBHL （24）

式中： ZMS=∑M－1i=0（Zs， i+ΛZHs， iΛH）表示ZM的等效信號源協(xié)方差矩陣。

（6） 構(gòu)造譜函數(shù)， 估計波達角

對協(xié)方差矩陣ZM進行特征值分解可得

ZM=［USUN］Σ［USUN］T（25）

式中： Σ為協(xié)方差矩陣Z的特征值矩陣， 且特征值從大到小排列； US， UN為協(xié)方差矩陣Z前p個特征值和后K+1-p個特征值對應的特征向量。 依據(jù)經(jīng)典MUSIC算法， 構(gòu)造空間譜函數(shù)：

PM（θ）=（bHL（θ）UNUHNbL（θ））－1 （26）

該函數(shù)的極大值對應角度即為輻射源波達角估計值。

2.2 算法流程

（1） 由已知的信號波長λ、 陣列半徑r， 計算β0及模式激勵的最大模式數(shù)K。 依據(jù)模式空間算法應用條件M>2K+1， 確定陣元個數(shù)M。

（2） 由陣元個數(shù)M、 模式激勵的最大模式數(shù)K及貝塞爾函數(shù)， 按式（11）構(gòu)造模式變換矩陣F。

（3） 由輸入數(shù)據(jù)x（t）， x0（t）， 按式（4）構(gòu)造均勻圓陣與定向天線的互協(xié)方差矢量rc。

（4） 按式（8）構(gòu)造M個交換矩陣Gi， 0≤i≤M－1。

（5） 模式變換矩陣F、 M個交換矩陣Gi， 依據(jù)式（14）將互協(xié)方差矢量rc變換為M個均勻線陣的互協(xié)方差矢量rL， i。

（6） 由M個均勻線陣的互協(xié)方差矢量rL， i依據(jù)式（15）獲得M個Toeplitz矩陣Ti。

（7） 依據(jù)式（18）構(gòu)造M個對角陣Di， 并依據(jù)式（20）將M個Toeplitz矩陣Ti歸一化處理得到M個Zi； 依據(jù)式（21）對M個Zi進行平滑處理得到矩陣Z。

（8） 依據(jù)式（22）構(gòu)造反對角陣ψ， 并參照式（24）對矩陣Z反向平滑得到矩陣ZM。

（9） 對矩陣ZM， 按照式（25）～（26）采用經(jīng)典MUSIC算法構(gòu)造譜函數(shù)， 搜索出譜峰最大值位置， 該位置為目標方向。

3 仿真試驗

在下述仿真試驗中， 均勻圓陣的陣元數(shù)M=17， 半徑r=2λ， 快拍數(shù)20。 仿真試驗的算法包括： 模式空間矩陣重構(gòu)算法（MODE-TOEP）、 矩陣循環(huán)重構(gòu)算法（MCR）、 基于模式空間的平滑算法（SS（N）， N為平滑的階數(shù)。 若N=2， 則為2階平滑， 平滑后協(xié)方差矩陣維數(shù)為M-N+1=16）。

試驗1： 圓陣中心的定向天線增益高于陣元天線30 dB， 定向天線旁瓣比主瓣低26 dB； 陣元天線增益0 dB， 接收信號的信噪比0 dB； 3個信號源， 方位角分別為144°， 156°， 187°， 其中前兩個信號源相干， 且位于主瓣區(qū)域， 第3個信號源位于旁瓣區(qū)域。 第3個信號源與前兩個信號源獨立時算法譜圖如圖3所示， 當其與前兩個信號源相關(guān)時算法譜圖如圖4所示。

圖3表明， MCR算法對前兩個相干信號源的分辨能力要高于MODE-TOEP算法和平滑算法； MCR算法對第3個信號源具有抑制能力， 而MODE-TOEP及平滑算法不具有抑制能力。

圖4表明， 第3個信號源與前兩個相干信號源相關(guān)時， MCR算法對第3個信號源的抑制能力減弱。

試驗2： 在試驗1的基礎(chǔ)上去掉第3個輻射源， 其他條件保持不變， 仿真結(jié)果如圖5所示； 當圓陣接收信噪比為改為-3 dB， 定向天線增益以3 dB為步長， 由-3

dB變化到21 dB時， MCR與MODE-TOEP的譜圖如圖6所示， 由于MODE-TOEP算法與定向天線增益無關(guān)， 所以只顯示MODE-TOEP算法的一次仿真結(jié)果。

圖5表明， 當信號源個數(shù)減少時， 算法的分辨性能有所提高。 MCR算法的分辨性能高于MODE-TOEP算法與平滑類算法。 MODE-TOEP算法的分辨性能與同階的平滑算法（12階平滑算法的矩陣維數(shù)與MCR算法的矩陣維數(shù)相同）相類似， 高于其他階的平滑算法。

由圖6表明， MCR算法的分辨力高于MODE-TOEP算法； MCR算法分辨性能隨天線增益的增加而增加， 但增益達到6 dB以上時， 繼續(xù)增加對分辨力的改善效果不明顯。

試驗3： 2個相干輻射源、 方位角中心為150°， 信噪比-5 dB， 定向天線增益分別為-3 dB， 12 dB， 30 dB時， MODE-TOEP算法分辨成功概率與信號源夾角的關(guān)系曲線如圖7所示。 其中虛線表示仿真實際值， 為分析方便， 圖中給出仿真實際值的擬合曲線。 由于MODE-TOEP算法與天線增益無關(guān)， 所以對應信噪比-5 dB的只有一條MODE-TOEP的分辨成功概率曲線。 圖7表明： （1）在低信噪比下定向天線能夠提高分辨成功概率； （2）增加定向天線增益對分辨力有改善； （3）隨著天線增益的提高， 其對分辨力的改善作用逐漸減弱。

分別在信噪比-5 dB， 0 dB， 5 dB， 天線增益-3 dB， 12 dB， 30 dB， 仿真MCR與MODE-TOEP算法分辨成功概率與信號源夾角的關(guān)系曲線， 如圖8所示。 圖中采用擬合值， 除與圖7相同結(jié)論外， 圖8還表明： （1）分辨成功概率隨信噪比的增加而增加； （2）MCR算法分辨性能優(yōu)于MODE-TOEP算法； （3）當信噪比增加時， 天線增益提高對分辨性能的改善效果減弱。

試驗4： 2個相干輻射源， 方位角中心為150°， 天線增益0 dB， 25 dB， 不同信噪比下MCR， MODE-TOEP， 平滑類SS算法的分辨性能如圖9～10所示。 圖中MCR（N）表示天線增益為N dB條件下， MCR算法的仿真結(jié)果。

圖9為分辨力與信噪比關(guān)系曲線， 仿真結(jié)果表明： （1）信噪比高于4 dB、 天線增益大于0 dB時， 增益的增加對分辨力的改善不大； （2）MCR算法的分辨性能優(yōu)于MODE-TOEP和平滑類SS算法； （3）MODE-TOEP算法與12階平滑算法-SS（12）的矩陣維數(shù)相同， 其分辨性能相近， 均高于其他階算法， 該結(jié)果是由于變換后噪聲協(xié)方差矩陣不是單位陣造成的。 圖10為信噪比16 dB條件下， 成功概率與信號源夾角關(guān)系曲線， 仿真結(jié)果與圖7相符。

試驗5： 2個相干輻射源、 方位角分別為150°和180°， 不同信噪比下方位角150°處的輻射源估計偏差和標準差與信噪比關(guān)系曲線分別如圖11～12所示。 由圖11可以看出， 所有算法的方位角標準差相差不大， 在低信

噪比下平滑算法要優(yōu)于MCR和MODE-TOEP算法， 在高信噪比下本文的MCR最優(yōu)， 不論在低信噪比還是高信噪比， MCR都優(yōu)于MODE-TOEP算法。 由圖12可以看

出， MCR和MODE-TOEP算法以及12階平滑算法的方位角偏差近似相同， 優(yōu)于2階和6階平滑算法， MCR整體優(yōu)于MODE-TOEP算法。

試驗6： 為了說明算法的有效性， 增加了圓陣中附加任意構(gòu)型陣列結(jié)構(gòu)形式， 紅色表示陣元數(shù)為10的隨機布局陣列， 如圖13所示。 3個信號源的方位角分別為144°， 156°， 187°， 其中前兩個信號源相干， 且位于主瓣區(qū)域， 第3個信號源位于旁瓣區(qū)域且第3個信號源與前兩個信號源獨立。 SNR=0 dB時的角度估計譜如圖14所示。

由圖14可知， 相同信噪比條件下MCR算法對前兩個相干信號源的分辨能力要高于MODE-TOEP算法和平滑算法， 并且MCR算法對第3個信號源具有較好的抑制能力。

由上述結(jié)果可知， 本文算法能夠利用圓陣內(nèi)陣元的接收數(shù)據(jù)提高圓陣對相干信號的估計性能， 而傳統(tǒng)解相干算法只能用均勻圓陣來解相干， 對內(nèi)部陣元接收數(shù)據(jù)無法有效利用。

4 結(jié) 論

模式空間矩陣重構(gòu)算法是模式空間算法與矩陣重構(gòu)算法的結(jié)合， 其使均勻圓陣具有了良好的解相干能力， 但該算法不能利用除圓陣外的其他天線， 為此提出MCR算法。 MCR算法在低信噪比下借助圓陣中心天線的增益能夠改善算法的分辨性能， 在高信噪比下天線增益的大幅提高對算法的改善作用不明顯， 但仍優(yōu)于MODE-TOEP算法。

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Matrix Circular Restruction Algorithm for DOA Estimation

Based on Hybrid Arrays

Jiang Yun1*， Chen Wei1， 2， Han Yong3

（1. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China；

2. National Key Laboratory of Air-based Information Perception and Fusion， Luoyang 471009， China；

3. School of Information and Electrical Engineering， Harbin Institute of Technology at Weihai， Weihai 264209， China ）

Abstract： Angle estimation of coherent source has always been an important challenge in radar angle measurement. Based on the assumption of uniform array， some mode space-based decoherence algorithms is proposed to solve the problem of target angle estimation under coherent interference conditions. However， the above algorithms have poor adaptability to composite arrays. In the present work， a decorrelation algorithm based on matrix cyclic reconstruction is proposed for coherent multi-source angle measurement in composite arrays. By utilizing the spatial filtering characteristics of antenna outside the circular array， it effectively solves the problem of coherent source angle estimation when the number of sources exceeds the number of elements. The simulation results show that the proposed algorithm can effectively solve the angle measurement problem of coherent sources under composite array antennas， and its angular resolution performance is better than traditional algorithms.

Key words： DOA estimation； composite array； mode space； Toeplitz matrix； coherent source