一類多渦卷Chua系統(tǒng)及其在圖像加密中的應(yīng)用

摘要： 為使混沌序列表現(xiàn)出更復(fù)雜的特性，在典型的Chua系統(tǒng)上引入了分段線性函數(shù)，使所得的系統(tǒng)產(chǎn)生可控數(shù)量的多渦卷吸引子。對該系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，分析結(jié)果表明，該系統(tǒng)混沌特性分布廣泛，具有豐富的動力學(xué)行為。在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于Zigzag置亂和DNA編碼的加密算法，并從多個方面對該算法的安全性進行了分析。仿真結(jié)果驗證了該方法不僅能對圖像進行有效加密，而且能有效抵抗各種常見的攻擊，為圖像加密提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 多渦卷Chua系統(tǒng)；混沌序列；圖像加密；Zigzag置亂；DNA編碼

中圖分類號： TP391.9；O415.5文獻標(biāo)識碼： A

A Multi-scroll Chua System and Its Application in Image Encryption

LIU Siyang， AN Xinlei， SHI Qianqian， WANG Yue

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract：In order to make the chaotic sequence show more complex characteristics， a piecewise linear function is introduced into the typical Chua’s system to produce a controllable number of multi-scroll attractors. The dynamic analysis of this system is performed， and the results illustrate that the chaotic characteristics of the system are widely distributed and have rich dynamic behaviors. On this basis， an encryption algorithm based on Zigzag scrambling and DNA coding is proposed， and its security is analyzed from multiple aspects. ThNgLQlFr6aWgp8bQk16P3g==he simulation results indicate that this method can not only encrypt the image effectively， but also resist a variety of common attacks effectively， which provides a theoretical basis for image encryption.

Keywords： multi-scroll Chua system; chaotic sequence; image encryption; Zigzag scrambling; DNA coding

0 引言

近年來，隨著5G技術(shù)以及物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和分布式多媒體系統(tǒng)在通信技術(shù)中得到了大量發(fā)展，圖像在日常通訊、商業(yè)、軍事、教育及醫(yī)療等方面得到更加廣泛的應(yīng)用［1］。在信息發(fā)送和接收設(shè)備發(fā)展較為完備的同時，也為非法訪問并獲得通信數(shù)據(jù)提供了便利，因此圖像信息安全已成為一項重要而緊迫的問題。

隨著混沌理論逐漸成熟，越來越多的學(xué)者將混沌系統(tǒng)用于圖像加密的研究工作中?；诨煦缦到y(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法的安全程度取決于混沌序列的復(fù)雜度，混沌系統(tǒng)復(fù)雜范圍越廣，應(yīng)用于加密算法的安全性越高［2］。因此，設(shè)計一個新的較為復(fù)雜的混沌系統(tǒng)在通信保密方面具有重大意義。近年來，一些學(xué)者在混沌系統(tǒng)的設(shè)計上提供了新的思路［35］。禹等［3］以變型蔡氏電路和四階蔡氏電路為例，提出一種研究四維系統(tǒng)中多渦卷混沌與超混沌吸引子的方法，為多渦卷混沌系統(tǒng)設(shè)計提供了新的思路。賈等［4］采用對數(shù)函數(shù)序列構(gòu)造了一個新Chua多渦卷混沌系統(tǒng)，并設(shè)計一個遞歸反步控制器控制Chua多渦卷混沌系統(tǒng)中的混沌行為。Sahoo等［5］以Chen系統(tǒng)和Lu系統(tǒng)為例，將原系統(tǒng)的一個非線性項乘以一個非線性函數(shù)，得到多翼吸引子，通過改變新添加的非線性函數(shù)的參數(shù)來改變平衡點的數(shù)量，通過改變平衡點的數(shù)量來改變翅膀的數(shù)量。在圖像加密應(yīng)用方向，文獻［6，7］在神經(jīng)元模型中引入磁通變量，提出一類基于電磁感應(yīng)的神經(jīng)元模型，應(yīng)用于圖像加密具有較好的加密效果。擺等［8］提出一種三渦卷混沌系統(tǒng)并進行了電路模擬，結(jié)合DNA算法設(shè)計了一種彩色圖像加密算法。文獻［913］通過分段耦合兩個或者多個低維混沌系統(tǒng)生成一個新的混沌系統(tǒng)，再結(jié)合圖像置亂擴散算法，取得較好的加密效果。除了整數(shù)階混沌系統(tǒng)外，近年來，許多學(xué)者提出基于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的加密算法，例如文獻［1417］均設(shè)計了一類基于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，該類算法加密效果好，但運算時間相對較長。Wu等［18］提出了一種基于CML的NCA時空混沌，結(jié)合DNA序列操作、一次性密鑰設(shè)計了一種彩色圖像加密算法。方等［19］提出一個新四維超混沌，生成的偽隨機序列作為密鑰流，并利用密鑰流對彩色圖像像素塊進行置亂及像素擴散運算。

本文提出了一類基于多渦卷蔡氏電路混沌系統(tǒng)的圖像加密方法。在經(jīng)典的Chua系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入分段線性函數(shù)，形成一個新的多渦卷Chua混沌系統(tǒng)。相比經(jīng)典的Chua系統(tǒng)，該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列更為復(fù)雜；相比廣義的四維變式Chua系統(tǒng)，該系統(tǒng)運算速度更快。利用多渦卷Chua混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，結(jié)合Zigzag置亂和DNA編碼設(shè)計了一個新的數(shù)字圖像加密算法。相關(guān)的安全性分析和仿真試驗表明，該加密算法安全性高，速度快且易于實現(xiàn)。

1 系統(tǒng)描述

1986年，Chua等［20］提出經(jīng)典的Chua系統(tǒng)，在此系統(tǒng)上引入多分段線性函數(shù)f（x），用該函數(shù)產(chǎn)生多渦卷Chua系統(tǒng)描述如下：

=ay-f（x）=x-y+z=-by（1）

其中，多分段線性函數(shù)f（x）的表達式為［3］

f（x）=mNx+0.5∑Ni=1（mi-1-mi）（|x+Ei|-|x-Ei|），N=，3，…

f（x）為奇函數(shù)，可用于產(chǎn)生偶數(shù)個渦卷，N用于控制系統(tǒng)產(chǎn)生渦卷的個數(shù)，當(dāng)N=n，n=，3，…時，可產(chǎn)生n+1個渦卷吸引子，En用遞歸公式（1+2∑n-1i=1m0mi）E1表示。例如，取m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3，當(dāng)N=5時，可得到六渦卷吸引子；當(dāng)N=7時，可得到八渦卷吸引子。

在系統(tǒng)（1）中，分別令a=10，b=15，m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3；初始值為x0=1，y0=1，z0=1；分別取N=5，N=7，產(chǎn)生的多渦卷吸引子如圖1所示。

2 動力學(xué)分析

2.1 平衡點穩(wěn)定性分析

以N=5為例研究多渦卷Chua系統(tǒng)的動力學(xué)特性。對于系統(tǒng)（1），固定參數(shù)a=10，b=15，m0=m2=m4=-0.5，m1=m3=m5=0.5，E1=1.3，初值為x0=1，y0=1，z0=1，令

ay-f（x）=0x-y+z=0-by=0

數(shù)值計算求得系統(tǒng)（1）有6個平衡點S1=（0，0，0），S2=（2.6，0，-2.6），S3=（5.2，0，-5.2），S4=（7.8，0，-7.8），S5=（10.4，0，-10.4），S6=（13，0，-13）。其中平衡點S1，S3，S5有相同的特征值λ1=6.049 4，λ2，3=-1.024 7±3.368 7i，這表明S1，S3，S5均為指標(biāo)1的鞍焦點，用于形成連接渦卷之間的鍵帶；平衡點S2，S4，S6有相同的特征值λ1=-6.301 7，λ2，3=0.150 9±3.446 6i，這表明S2，S4，S6均為指標(biāo)2的鞍焦點，用于產(chǎn)生渦卷［34］。

2.2 分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜分析

分岔圖可以直觀地體現(xiàn)出系統(tǒng)運動狀態(tài)隨參數(shù)改變而發(fā)生的變化。Lyapunov指數(shù)描述了在一段時間內(nèi)相空間相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率，可以看到系統(tǒng)的運動特征。保持系統(tǒng)參數(shù)和初始值不變，得到參數(shù)a，b關(guān)于狀態(tài)變量x的分岔圖以及Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示。

3 基于Zigzag置亂和DNA運算的圖像加密算法

3.1 Zigzag置亂

Zigzag置亂算法能夠有效、快速地改變圖像像素位置，因此廣泛應(yīng)用于圖像加密領(lǐng)域。該算法從矩陣左上角取一個數(shù)字，按Z字型路徑依次掃描矩陣中的數(shù)字，將掃描到的數(shù)字排成一維數(shù)組并重新組合成與原矩陣大小相同的矩陣。本文對上述算法進行改進，把矩陣分為4×4的子塊，從（3，3）位置處開始掃描，如圖3所示。

3.2 DNA編碼操作

DNA編碼是一種生物學(xué)上的技術(shù)，具有種類特殊性，處理信息時遵循其自身的互補規(guī)律，因此融入DNA編碼的加密算法更有保密優(yōu)勢。一個DNA序列由4個核酸堿基組成，分別是胞嘧啶（C）、腺嘌呤（A）、鳥嘌呤（G）、胸腺嘧啶（T），其中堿基A和T互補，C和G互補。在二進制系統(tǒng)中，“00”和“11”配對，“01”和“10”配對的規(guī)則和DNA堿基配對規(guī)則有些類似。對于單通道灰度圖像而言，通常每個像素由8比特的二進制數(shù)字表示，把8比特的二進制數(shù)字兩兩拆分成四組，可得到四組二進制數(shù)字，這就可以和DNA的四種堿基對應(yīng)起來，于是可以用DNA編碼來存儲圖片中的每個像素值。基于DNA編碼的圖像加密算法需要充分利用有限的DNA編碼種類和DNA操作類型。按照排列組合，DNA四種堿基與四組二進制數(shù)字有24種匹配方法，但其中只有8種匹配方法符合Watson-Crick互補規(guī)則［21］，如表1中所列。此外，DNA編碼同樣具有加減法、異或等運算規(guī)則，在表2中列出。

DNA編碼有其自己的配對規(guī)則，即A，T互相配對，C，G互相配對。于是，若堿基xi為堿基L（xi）為的互補對，則xi應(yīng)滿足公式（2）：

xi≠L（xi）≠L（L（xi））≠L（L（L（xi）））xi=L（L（L（L（xi））））（2）

由式（2）可知，一共有6種組合滿足DNA堿基互補規(guī)則，分別在式（3）中表述。在設(shè)計加密算法時，可隨機選擇這6種組合中的一種對堿基進行互補置換，這樣可達到像素擴散的目的。

L1（A）=T，L1（T）=C，L1（C）=G，L1（G）=AL2（A）=T，L2（T）=G，L2（G）=C，L2（C）=AL3（A）=C，L3（C）=T，L3（T）=G，L3（G）=AL4（A）=C，L4（C）=G，L4（G）=T，L4（T）=AL5（A）=G，L5（G）=T，L5（T）=C，L5（C）=AL6（A）=G，L6（G）=C，L6（C）=T，L6（T）=A（3）

3.3 加密算法

第1步：輸入明文圖像P（M×N×3），將其分解成紅、綠、藍三色通道，得到分量矩陣PR（M×N），PG（M×N）和PB（M×N）。

第2步：選取參數(shù)和初值，使系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài)。先讓系統(tǒng)（1）迭代800次消除暫態(tài)效應(yīng)，然后再迭代MN次得到長度為MN的混沌序列xi，yi和zi，i=，…，MN，將混沌序列按式（4）進行量化處理并排列成矩陣X（M×N），Y（M×N）和Z（M×N）：

x（i）=mod（floor（abs（x（i））×1016），256）y（i）=mod（floor（abs（y（i））×1016），256）z（i）=mod（floor（abs（z（i））×1016），256）（4）

第3步：對分量矩陣PR，PG和PB分別采用改進的Zigzag置亂生成M×N的數(shù)字矩陣TR，TG和TB。

第4步：將生成的數(shù)字矩陣TR和矩陣X，TG和矩陣Y，TB和矩陣Z分別按式（5）進行第二次置亂得到矩陣TR1，TG1和TB1：

TR1（I（i，j-1），j-i）=TR（I（i，j），j），j>iTR1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TR（I（i，j），j），j≤i

TG1（I（i，j-1），j-i）=TG（I（i，j），j），j>iTG1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TG（I（i，j），j），j≤i

TB1（I（i，j-1），j-i）=TB（I（i，j），j），j>iTB1（I（i，N+j-i），N+j-i）=TB（I（i，j），j），j≤i（5）

第5步：將數(shù)字矩陣TR1，TG1和TB1轉(zhuǎn)化為M×8N的二進制矩陣，再將得到的二進制矩陣按照第r1種DNA編碼規(guī)則轉(zhuǎn)化為M×4N的DNA矩陣S1，S2和S3。

第6步：將第二步中得到的混沌序列xi，yi和zi分別轉(zhuǎn)化成長度為M×8N的二進制序列，再將得到的二進制序列按照第r2種DNA編碼規(guī)則分別轉(zhuǎn)化成長度為M×4N的DNA序列，并將得到的DNA序列分別整形為M×4N的矩陣K1，K2和K3用于進行DNA加法操作。

第7步：根據(jù)DNA互補規(guī)則，將DNA矩陣S1，S2和S3展開成長度為1×4MN的一維DNA序列分別按以下方法進行互補轉(zhuǎn)化得到DNA序列S1_R，S2_G和S3_B：

若c2i-2=A，則c2i-1=Ll1（d2i-1）；若c2i-2=C，則c2i-1=Ll2（d2i-1）；

若c2i-2=G，則c2i-1=Ll3（d2i-1）；若c2i-2=T，則c2i-1=Ll4（d2i-1）；

若c2i-1=A，則c2i=Ll5（d2i）；若c2i-1=C，則c2i=Ll6（d2i）；

若c2i-1=G，則c2i=Ll7（d2i）；若c2i-1=T，則c2i=Ll8（d2i）。

其中，ci，i=，…，4MN表示互補前展開的一維DNA序列中的元素，di，i=，…，4MN表示互補后所生成的一維DNA序列中的元素，li，i=，…，8表示任意一種互補原則。

第8步：將DNA序列S1_R，S2_G和S3_B排列為M×4N的DNA矩陣DR，DG和DB并與第6步中得到的DNA矩陣K1，K2和K3按照式（6）進行第一輪DNA加法運算得到DNA矩陣DR1，DG1和DB1：

DR1（1）=DR（1）+K1（1）+DR（4MN）DR1（i）=DR（i）+K1（i）+DR1（i-1）

DG1（1）=DG（1）+K2（1）+DG（4MN）DG1（i）=DG（i）+K2（i）+DG1（i-1）

DB1（1）=DB（1）+K3（1）+DB（4MN）DB1（i）=DB（i）+K3（i）+DB1（i-1）（6）

第9步：對DNA矩陣DR1，DG1和DB1再次進行同樣的DNA加法運算得到DNA矩陣DR2，DG2和DB2。

第10步：將得到的DNA矩陣DR2，DG2和DB2按照第r3種DNA編碼規(guī)則解碼為二進制矩陣后再轉(zhuǎn)化為M×N的數(shù)字矩陣得到矩陣CR，CG和CB。

第11步：最后，將矩陣CR，CG和CB合并為矩陣C得到最終的加密圖像。

3.4 實驗結(jié)果

本文的實驗環(huán)境為：內(nèi)存12GB，處理器Intel Core i77500U（2.7GHz/L3 4M），操作系統(tǒng)Windows 10，仿真軟件為MATLAB R2018b。選擇尺寸均為256×256的彩色圖像Lena和Sailboat圖像進行實驗。保持系統(tǒng)（1）的參數(shù)和初始值不變，經(jīng)過數(shù)值仿真得到Lena和Sailboat的加密圖像如圖5b和圖5e所示，相應(yīng)的解密圖像如5c和圖5f所示。結(jié)果表明，采用所提方法對圖像進行加密后能夠有效隱藏明文圖像的信息，說明所提加密算法的有效性。并且明文圖像所隱藏的全部信息在解密后得以完全恢復(fù)，這表明了算法具有可行性和有效性。

4 加密算法性能分析

4.1 密鑰空間分析

加密算法的密鑰空間是衡量一個算法是否可以抵抗窮舉攻擊的重要特征。本文所使用的圖像加密系統(tǒng)的密鑰主要包括：系統(tǒng)參數(shù)a，b，m0，m1，m2，m3，m4，m5，初始值x0，y0，z0。其中系統(tǒng)參數(shù)a，b，m3以及初始值x0，y0，z0的計算精度均為1015，m0，m1，m2，m4，m5的計算精度均為1016；初始堿基c0∈{A，T，G，C}，DNA編碼規(guī)則r r2，r3∈［ 8］和DNA互補規(guī)則li∈［ 6］，i=，…，8。計算得密鑰空間大小為4×83×68×1015×6+16×5≈2596，遠遠大于密碼系統(tǒng)的理論密鑰空間值2100。另外，在表3中比較了不同算法密鑰空間的大小值，可以看出本文所提算法的密鑰空間相對較大，可以更有效地抵抗窮舉攻擊。

4.2 直方圖分析

圖像的直方圖可以精確、直接地反映出像素值的分布情況，通常用于檢測加密后的圖像是否有抵抗統(tǒng)計攻擊的能力。本節(jié)對Lena和Sailboat圖像進行測試，數(shù)值仿真結(jié)果如圖6所示。圖6a和圖6b分別為Lena和Sailboat明文圖像直方圖，圖6c和圖6d分別為Lena和Sailboat密文圖像直方圖，可以明顯看出密文圖像的像素值分布近似均勻，說明本文所提算法可以有效抵抗統(tǒng)計攻擊。

4.3 相鄰像素間相關(guān)性分析

像素的相關(guān)性用來描述圖像相鄰像素之間相似的程度。對于加密圖像來說，像素之間的相關(guān)性越低就表明加密算法的安全性越高，加密效果越好。本節(jié)選取Lena圖像，在R、G、B 3個通道上對水平、垂直、對角3個方向進行測試，在表4中列出了Lena圖像明文和密文的相關(guān)系數(shù)在R、G、B 3個通道上的計算值，可以看出密文圖像的3個通道中各個方向上相關(guān)性的計算值均顯著降低，說明本文算法具有較好的抵抗統(tǒng)計攻擊的能力。另外，在表5中列出不同算法中Lena圖像的相關(guān)性數(shù)值，與表4中的計算結(jié)果相比可以看出本文所提算法具有一定的優(yōu)越性。

4.4 信息熵分析

信息熵用于描述信息的混亂程度，可以反映圖像信息的隨機性，是測試加密算法是否安全的重要指標(biāo)。圖像中的信息越混亂，信息熵的值就越大。對于灰度等級為L=256的圖像，其信息熵H的理論值為8。在表6中列出了不同密文圖像信息熵的數(shù)值計算結(jié)果，信息熵均接近于理論值。此外，在表6中還比較了不同算法下Lena密文圖像信息熵的值，可以看到使用本文所提算法加密后圖像的信息熵更接近于8。

4.5 差分攻擊分析

為了抵抗差異攻擊，加密系統(tǒng)應(yīng)該確保在原始圖像中有任何微小的修改都會導(dǎo)致加密后的圖像出現(xiàn)顯著差異。評估算法能否抵抗差分攻擊通過平均像素變化率（NPCR）和歸一化平均變化強度（UACI）來判斷。在理想情況下，NPCR和UACI的值分別為99.609 4%和33.463 5%［14］。本文對不同圖像進行實驗，得到表7中的結(jié)果。另外在表7中還列舉了不同算法下Lena圖像的測試結(jié)果，可見本文算法下的實驗對象NPCR以及UACI平均值均非常接近于理想值，這說明本文所提算法可以有效地抵抗差分攻擊。

4.6 剪切攻擊

在實際傳輸過程中，數(shù)字圖像會不可避免地受到噪聲干擾、數(shù)據(jù)丟失等影響，為檢測本文所提算法抵抗剪切攻擊的能力，本節(jié)對Sailboat密文圖像進行不同程度的剪切測試。在圖7中，對Sailboat密文分別進行了116、18和14的剪切，如圖7a、圖7b和圖7c所示，且恢復(fù)后得到的圖像分別如圖7d、圖7e和圖7f依次所示。從圖中可以看出，當(dāng)密文圖像受到不同程度的信息丟失時，解密后仍可獲得明文圖像的主要信息，這表明本文所提算法對噪聲干擾和數(shù)據(jù)丟失攻擊具有較強的魯棒性。

5 結(jié)論

在經(jīng)典Chua系統(tǒng)中引入多分段線性函數(shù)，使混沌系統(tǒng)產(chǎn)生可控的偶數(shù)個渦卷，讓多渦卷Chua系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列復(fù)雜性更強。從分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜等方面對該系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，驗證結(jié)果表明該系統(tǒng)混沌范圍較廣，適用于圖像加密?；诙鄿u卷Chua系統(tǒng)設(shè)計了一個彩色圖像加密算法：先對圖像進行Zigzag置亂，為保證加密效果，在Zigzag置亂后再進行一次像素置亂，接著對置亂后的圖像進行DNA編碼操作得到加密圖像。對所設(shè)計的加密算法進行安全性測試，測試結(jié)果表明該算法的安全性較高，可以有效抵抗各種攻擊，為圖像加密提供了理論依據(jù)。在今后的工作中，將繼續(xù)研究不同特性的混沌系統(tǒng)并應(yīng)用于圖像加密算法。

參考文獻：

［1］王雪榮， 劉浩. 5G框架下數(shù)字圖像加密技術(shù)的發(fā)展趨勢［J］. 廣東通信技術(shù)， 2019， 39（8）： 24.

WANG X R， LIU H. Development trend of digital image encryption technology under 5G framework［J］. Guangdong Communication Technology， 2019， 39（8）： 24.

［2］DU F Y， SHEN Q H， DONG W J， et al. An image encryption system based on chaos principle［C］//2022 IEEE 2nd International Conference on Electronic Technology， Communication and Informa1dWmadmA/LSlhsoD+EKp0w==tion （ICETCI）， Changchun， China： IEEE， 2022： 162167.

［3］禹思敏， 林清華， 丘水生. 四維系統(tǒng)中多渦卷混沌與超混沌吸引子的仿真研究［J］. 物理學(xué)報， 2003（1）： 2533.

YU S M， LIN Q H， QIU SS. Simulation investigation on multi-scroll chaotic and hyperchaotic attractors for four-dimensional systems［J］. Acta Physica Sinica， 2003（1）： 2533.

［4］賈美美， 蔣浩剛， 李文靜. 新Chua多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生及應(yīng)用［J］. 物理學(xué)報， 2019， 68（13）： 6173.

JIA MM， JIANG H G， LI W J. Generation and application of novel Chua multi-scroll chaotic attractors［J］. Acta Physica Sinica， 2019， 68（13）： 6173.

［5］SAHOO S， ROY B K. Design of multi-wing chaotic systems with higher largest Lyapunov exponent［J］. Chaos， Solitons and Fractals， 2022， 157： 111926.

［6］ZHANG S， ZHENG J， WANG X， et al. Multi-scroll hidden attractor in memristive HR neuron model under electromagnetic radiation and its applications［J］. Chaos： an Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 202 31（1）： 011101.

［7］安新磊， 熊麗， 喬帥. 電磁驅(qū)動下一類混合神經(jīng)元模型的動力學(xué)響應(yīng)與圖像加密應(yīng)用［J］. 電子與信息學(xué)報， 2022， 44： 112.

AN X L， XIONG L， QIAO S. Dynamic response of a class of hybrid neuron model by electromagnetic induction and application of image encryption［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 2022， 44： 112.

［8］擺玉龍， 楊陽， 唐麗紅. 一個新多渦卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計及在圖像加密中的應(yīng)用［J］. 電子與信息學(xué)報， 202 43（02）： 436444.

BAI Y L， YANG Y， TANG L H. Design of a multi-scroll chaotic system and its application to image encryption［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 202 43（2）： 436444.

［9］DEMIRTAS M. A new RGB color image encryption scheme based on cross-channel pixel and bit scrambling using chaos［J］. Optik， 2022， 265： 169430.

［10］ 王永， 龔建， 王明月. 基于三維分段Sine映射的彩色圖像加密［J］. 北京理工大學(xué)學(xué)報， 2022， 42（4）： 415423.

WANG Y， GONG J， WANG M Y. Color image encryption based on three-dimensional piecewise sine map［J］. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2022， 42（4）： 415423.

［11］ 劉思聰， 李春彪， 李泳新. 基于指數(shù)余弦離散混沌映射的圖像加密算法研究［J］. 電子與信息學(xué)報， 2022， 44（5）： 17541762.

LIU S C， LI C B， LI Y X. A novel image encryption algorithm based on exponent-cosine chaotic mapping［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 2022， 44（5）： 17541762.

［12］ 張昊， 王曉慶， 謝紅薇， 等. 基于SCC映射的彩色圖像分塊壓縮加密算法［J］. 計算機工程與設(shè)計， 2022， 43（7）： 18011809.

ZHANG H， WANG X Q， XIE H W， et al. Block compression-encryption algorithm for color images coupling SCC chaotic map［J］. Computer Engineering and Design， 2022， 43（7）： 18011809.

［13］ HUA 4to9FT7eY9JQIVSUmnxpNQ==Z Y， ZHOU Y C， HUANG H J. Cosine-transform-based chaotic system for image encryption［J］. Information Sciences， 2019， 480： 403419.

［14］ SHI Q Q， AN X L， XIONG L. Dynamic analysis of fractional- order hyperchaotic system and its application in image encryption ［J］. Physica Scripta， 2022， 97（4）： 045201.

［15］ YANG F F， MOU J， LUO C F， et al. An improved color image encryption scheme and cryptanalysis based on a hyperchaotic sequence［J］. Physica Scripta， 2019， 94（8）： 085206.

［16］ ZAREBNIA M， PARVAZ R. Image encryption algorithm by fractional based chaotic system and framelet transform［J］. Chaos， Solitons and Fractals， 202  152： 111402.

［17］ DONG H， BAI E， JIANG X Q， et al. Color image compression-encryption using fractional-order hyperchaotic system and DNA coding［J］. IEEE Access， 2020， 8： 163524163540.

［18］ WU X， WANG K， WANG X， et al. Color image DNA encryption using NCA map-based CML and one-time keys［J］. Signal Processing， 2018， 148： 272287.

［19］ 方鵬飛， 黃陸光， 婁苗苗， 等. 基于四維超混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密算法［J］. 計算機工程與設(shè)計， 2022， 43（2）： 361369.

FANG P F， HUNAG L G， LOU M M. Color image encryption algorithm based on four dimensional hyperchaotic system［J］. Computer Engineering and Design， 2022， 43（2）： 361369.

［20］ CHUA L， KOMURO M， MATSUMOTO T. The double scroll family［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1986， 33（11）： 10721118.

［21］ WATSON J D， CRICK F H C. Molecular structure of nucleic acids： a structure for deoxyribose nucleic acid［J］. Nature， 1953， 171（4356）： 737738.

（責(zé)任編輯 李 進）