超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對無標度超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響

摘要： 鑒于現(xiàn)有超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究中并未考慮超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，提出一種能描述超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)與超網(wǎng)絡(luò)魯棒性關(guān)系的容量負載模型，并通過仿真實驗獲得了超邊內(nèi)節(jié)點在優(yōu)先連接、隨機連接、全連接3種方式下，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。通過對比分析發(fā)現(xiàn)，無標度超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與其超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式密切相關(guān)，同時也與超邊內(nèi)節(jié)點的規(guī)模k以及超邊內(nèi)部普通邊的數(shù)量mk有關(guān)。研究結(jié)果表明，超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對無標度超網(wǎng)絡(luò)整體的魯棒性有較大的影響。

關(guān)鍵詞： 無標度超網(wǎng)絡(luò)；超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)；容量負載模型；級聯(lián)故障；魯棒性

中圖分類號： O157.5; N945.15文獻標識碼： A

Influence of Structure Inside Hyperedge on Robustness of Scale-free Hypernetwork

ZHOU Bin， MA Fuxiang GAO Shujie， MA Xiujuan LI Mingjie

（1.College of Computer， Qinghai Normal University， Xining 810016， China;

2.The State Key Laboratory of Tibetan Intelligent Information Processing and Application， Xining 810008， China）

Abstract：In the existing work on the robustness of the hypernetworks， researchers have not considered the effect of internal structure on the robustness of the hypernetworks. Aiming at this problem， this paper proposes a capacity-load model that can describe the relationship between the internal structure and the robustness of the hypernetworks. By simulation experiments， we obtain the robustness of the k-uniform scale-free hypernetwork under three modes： preferential connection， random connection， and completed connection within hyperedges. Analysis of the comparison experiments reveals that the robustness of the scale-free hypernetwork is related to the ways of nodes' connection， the size k of the nodes， and the number of ordinary edges mk within the hyperedges.The results show that the internal structure of the hyperedges has a large impact on the overall robustness of the scale-free hypernetworks.

Keywords： scale-free hypernetwork; internal structure of hyperedge; capacity-load model; cascading failures; robustness

0 引 言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為建模各類復(fù)雜系統(tǒng)的有效工具，例如電力網(wǎng)絡(luò)[1]、通信網(wǎng)絡(luò)[2]、交通網(wǎng)絡(luò)[3]和金融網(wǎng)絡(luò)[4]等。建模復(fù)雜系統(tǒng)的最終目標是分析系統(tǒng)的性能，并達到改善系統(tǒng)性能的目的。對很多現(xiàn)實復(fù)雜系統(tǒng)來說，魯棒性是其最重要、最基本的系統(tǒng)性能之一。近年來，研究者也依據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論成功研究了各種復(fù)雜系統(tǒng)的魯棒性，獲得了很多重要的結(jié)論，并提出了眾多行之有效的優(yōu)化系統(tǒng)魯棒性的策略[57]。

但隨著人類社會的不斷發(fā)展，與人類生活息息相關(guān)的各類系統(tǒng)也越來越復(fù)雜。國內(nèi)外多位學(xué)者[810]提出很多現(xiàn)有的系統(tǒng)已不能單純地抽象為任意兩個節(jié)點之間的關(guān)系，而是多個節(jié)點間存在更加復(fù)雜的聯(lián)系。因此，基于圖的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論已不能完全表示日益復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[1113]，也無法深刻分析這類復(fù)雜系統(tǒng)的性能。超網(wǎng)絡(luò)理論的出現(xiàn)，為研究這類復(fù)雜系統(tǒng)帶來了新的思路和研究方法。超網(wǎng)絡(luò)中的超邊可以更好地表示多個節(jié)點間同時存在的某種復(fù)雜關(guān)系，因此近年來，超網(wǎng)絡(luò)被用于建模許多真實復(fù)雜系統(tǒng)，且表現(xiàn)出了比復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更好的優(yōu)越性[1416]。雖然超網(wǎng)絡(luò)的建模研究已日趨成熟，但由于超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前對超網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)性質(zhì)的研究還處在起步階段。同時，已有的研究結(jié)果也表明，超網(wǎng)絡(luò)確實表現(xiàn)出了和普通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同的動力學(xué)性質(zhì)。例如，Wu等[17]將復(fù)雜系統(tǒng)的同步首次引入到超網(wǎng)絡(luò)中，發(fā)現(xiàn)超網(wǎng)絡(luò)相較于普通網(wǎng)絡(luò)可以更恰當?shù)孛枋龆喾矫娴鸟詈蠀f(xié)作關(guān)系，更有利于同步問題的研究。Gong等[18]構(gòu)建了在線社交超網(wǎng)絡(luò)，解決了普通社交網(wǎng)絡(luò)不能準確描述社交網(wǎng)絡(luò)中群聚特性的問題，并對在線社交超網(wǎng)絡(luò)中信息全局傳播的動態(tài)過程進行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比，基于超圖結(jié)構(gòu)的超網(wǎng)絡(luò)中信息全局傳播速度更快，波及范圍更廣。Ma等[19]通過對比研究發(fā)現(xiàn)，雖然超網(wǎng)絡(luò)面對外部攻擊表現(xiàn)出了和普通網(wǎng)絡(luò)類似的性質(zhì)，但超網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障過程卻比普通的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)緩慢，面對同樣的外部擾動，表現(xiàn)出了比普通網(wǎng)絡(luò)更強的魯棒性。Ma等[20]同樣根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)提出了一類可以描述超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障過程的級聯(lián)故障模型，通過該模型的仿真分析，也獲得了類似的結(jié)論。此外，Chen等[21]提出了基于超邊擴散的容量負載級聯(lián)故障模型，將模型分別應(yīng)用在隨機超網(wǎng)絡(luò)和小世界超網(wǎng)絡(luò)上，對比發(fā)現(xiàn)兩類超網(wǎng)絡(luò)相較于普通網(wǎng)絡(luò)具有更強的魯棒性，且隨機超網(wǎng)絡(luò)比小世界超網(wǎng)絡(luò)具有更強的魯棒性。Luo等[22]發(fā)現(xiàn)超網(wǎng)絡(luò)相較于普通網(wǎng)絡(luò)更適合用于表示復(fù)雜的城市公交網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點為公交站點，超邊為線路，并分析了該超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，發(fā)現(xiàn)公交超網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊魯棒，蓄意攻擊脆弱。但上述研究結(jié)果大多都默認超網(wǎng)絡(luò)超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式為全連接，然而現(xiàn)實超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點內(nèi)部的連接方式往往都是非全連接的，例如在微信群超網(wǎng)絡(luò)，交通超網(wǎng)絡(luò)等。因此，以往的研究忽略了超邊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，也即忽略了微觀結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)整體性能產(chǎn)生的作用。例如，在集成電路開發(fā)中，通過超網(wǎng)絡(luò)的思想去設(shè)計集成電路，研究集成功能塊內(nèi)部電子元件間的連接關(guān)系，可以進一步優(yōu)化集成電路的魯棒性；再比如，在快遞服務(wù)網(wǎng)的布局當中，通過布局快遞網(wǎng)內(nèi)部的交互關(guān)系，從而對快遞服務(wù)網(wǎng)的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，增強其魯棒性。因此，研究超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，將有利于更好地發(fā)現(xiàn)超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與超網(wǎng)絡(luò)魯棒性之間的關(guān)系，同時能更全面地認識和理解超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響因素，從而能提出更好的優(yōu)化策略，提高超網(wǎng)絡(luò)抵抗各類攻擊的能力，為進一步增強復(fù)雜系統(tǒng)的魯棒性提供可靠的理論支撐。

為此，本文以Barabasi-Albert （BA）無標度超網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，考慮了超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式，構(gòu)建了三類k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)，并基于Motter等提出的容量負載模型[23]的思想提出了一種新的容量負載模型，研究了超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。

1 超網(wǎng)絡(luò)與超網(wǎng)絡(luò)模型

超網(wǎng)絡(luò)是以超圖[2425]作為拓撲結(jié)構(gòu)對復(fù)雜系統(tǒng)進行抽象后形成的網(wǎng)絡(luò)，超網(wǎng)絡(luò)通過超邊有效表達了多個節(jié)點同時滿足的某種關(guān)系，比普通網(wǎng)絡(luò)更加直觀。例如，作者合作超網(wǎng)絡(luò)表達了多個作者合作同一篇論文的情況[15]；交通超網(wǎng)絡(luò)表達了多個交通站點被同一條交通線路經(jīng)過的情況[22]。

超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點vi的超度定義為包含節(jié)點vi的超邊的個數(shù)，記為dH（vi）[26]。而節(jié)點vi的節(jié)點度與普通網(wǎng)絡(luò)類似，依然定義為節(jié)點vi所關(guān)聯(lián)的普通邊的個數(shù)，記為d（vi）[26]。節(jié)點vi在單獨一條超邊ei內(nèi)的普通度記為kei（vi）。

為了更好地發(fā)現(xiàn)超網(wǎng)絡(luò)中超邊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，本文參考了Hu等[27]提出的k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的演化思想，構(gòu)建了三類超邊內(nèi)節(jié)點不同連接方式的無標度超網(wǎng)絡(luò)模型，如表1所示。三類超網(wǎng)絡(luò)模型的具體構(gòu)建過程如下所述。

步驟1 分別構(gòu)建節(jié)點總數(shù)為N，超邊總數(shù)為M的k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)；

步驟2 斷開超邊內(nèi)節(jié)點間的原有連接。當超邊內(nèi)的節(jié)點之間采用優(yōu)先連接的方式時，轉(zhuǎn)1）執(zhí)行；采用隨機連接方式時，轉(zhuǎn)2）執(zhí)行；采用全連接方式時，轉(zhuǎn)3）執(zhí)行；

1）超邊內(nèi)部節(jié)點采用優(yōu)先連接方式：

（1）初始化：設(shè)Vei表示超邊ei內(nèi)的節(jié)點集合，超邊ei（1≤i≤M）內(nèi)的k（1≤k≤N）個節(jié)點構(gòu)成超邊ei的導(dǎo)出子圖G（ei）中的孤立節(jié)點；選定3個節(jié)點進行全連接使其成為超邊內(nèi)初始的連通分支C0；設(shè)Γt表示t時刻超邊內(nèi)連通分支Ct的節(jié)點集合；

（2）增長：t+1時刻隨機選擇連通分支Ct外的一個節(jié)點vk（vk∈Vei，vkCt），增加到Ct中，構(gòu)成新的連通分支Ct+1；vk加入連通分支時，以（3）中的方式選擇連通分支Ct內(nèi)的一個節(jié)點vi（vi∈Vei，vi∈Ct）；重復(fù)（2），不斷增大連通分支，直至其包含超邊ei內(nèi)的所有節(jié)點；

（3）優(yōu)先連接：設(shè)kei，Ct（vi）表示超邊ei內(nèi)的節(jié)點vi在連通分支Ct中的普通度。連通分支Ct外的節(jié)點vk選擇連通分支內(nèi)的δm個節(jié)點并用普通邊進行連接；連通分支內(nèi)的節(jié)點vi以優(yōu)先連接概率Πi被選擇。

Πi=kei（vi）∑Γtj=1kei（vj），vi，vj∈Ct（1）

2）超邊內(nèi)部節(jié)點采用隨機連接方式：

（1）初始化：使超邊ei（1≤i≤M）內(nèi)的k（1≤k≤N）個節(jié)點成為超邊ei的導(dǎo)出子圖G（ei）中的孤立節(jié)點，然后給定節(jié)點重連邊的概率p∈［0，1］；

（2）超邊內(nèi)節(jié)點以如下的方式隨機重連：a.生成一個隨機數(shù)r；b.隨機選擇同一超邊內(nèi)的一對節(jié)點；c.如果r<p，判斷 b 中所選擇的節(jié)點對之間是否有連邊，若無連邊，則用一條普通邊連接，否則不做任何操作；

（3）重復(fù)步驟（2），直至生成p×k（k-1）/2條普通邊。

3）超邊內(nèi)部節(jié)點全連接方式：

（1）初始化：使超邊ei（1≤i≤M）內(nèi)的k（1≤k≤N）個節(jié)點成為超邊ei的導(dǎo)出子圖G（ei）中的孤立節(jié)點；

（2）超邊內(nèi)節(jié)點重連：使k個節(jié)點中每對不同的節(jié)點之間都恰有一條邊相連，生成包含k個節(jié)點、k（k-1）/2條邊的全連通子圖；

步驟3 重復(fù)步驟2，直至遍歷超網(wǎng)絡(luò)中的所有超邊。

2 基于超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)的超網(wǎng)絡(luò)容量負載級聯(lián)故障模型

以BA_C超網(wǎng)絡(luò)為例，當超網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點發(fā)生崩潰后，會將自身的負載分配到其未失效的鄰居節(jié)點，整個超網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障進程如圖1所示。圖1a中節(jié)點v4（填充狀態(tài)為失效節(jié)點，否則為正常節(jié)點）是初始時刻受到攻擊而失效的節(jié)點，其余為正常節(jié)點；圖1b中顯示初始攻擊節(jié)點v4失效后，向其鄰居節(jié)點分配負載（箭頭表示為失效節(jié)點負載傳播的方向）；圖1c中顯示第一輪負載分配結(jié)束后，節(jié)點的失效情況。此時超邊e e2和e3中的所有節(jié)點均已失效，則這三條超邊失效（虛線表示超邊失效，實線表示超邊未失效），負載通過節(jié)點v7和v8繼續(xù)向未失效的超邊e4傳播；圖1d表示所有超邊均已失效，級聯(lián)故障的擴散到此結(jié)束。

以往研究者提出的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障模型，存在考慮指標過于單一的問題，以Chen等[21]提出的基于超邊擴散的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障模型為例，作者將超網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成線圖進行研究，默認超邊內(nèi)部節(jié)點全連接，當一條超邊受到攻擊失效時，負載會傳播到與其相鄰的未失效超邊上，并沒有考慮負載在超邊內(nèi)部通過節(jié)點傳播的情況。為更好地描述超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，本文提出了一種新的容量負載模型用于分析超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)與超網(wǎng)絡(luò)魯棒性之間的關(guān)系。

在一個有N個節(jié)點的超網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點vi的初始負載與該節(jié)點的超度dH（vi）和節(jié)點度d（vi）有關(guān)，其初始負載Lvi（0）被定義為

Lvi（0）=α（dH（vi）+d（vi））β i=，…，N，α≥ β≥1（2）

為了控制節(jié)點vi的初始負載，設(shè)α為負載參數(shù)，β為可調(diào)參數(shù)。由式（2）可知節(jié)點初始負載與其節(jié)點超度和節(jié)點度成正比。

設(shè)節(jié)點vi與節(jié)點vj在某條超邊內(nèi)通過普通邊連接。在t時刻，當節(jié)點vi因故障失效時，首先其負載Lvi將按照失效節(jié)點vi的超度dH（vi）等分，并將等分后的負載分配給與其關(guān)聯(lián)的所有未失效超邊，則與vi關(guān)聯(lián)的所有未失效超邊接收到的負載都為Lvi/dH（vi）。然后將某條超邊ei接收到的負載按照節(jié)點vi在超邊ei中的節(jié)點度kei（vi）等分，則節(jié)點vj接收到的負載如式（3）所示。

ΔLvi→vjt=Lvit×1dθHvi×1kθeivi（3）

其中，θ為擾動參數(shù)，且0≤θ≤1。由式（3）可以看出，t時刻超邊ei內(nèi)的節(jié)點vj接收到的額外載荷ΔLvi→vj（t）與t時刻失效節(jié)點vi的超度、節(jié)點vi在超邊ei內(nèi)的普通度以及節(jié)點vi的初始負載有關(guān)。若t時刻節(jié)點vj未失效，則其負載為節(jié)點vj在t-1時刻的負載加上從失效節(jié)點vi重分配到的負載，即：

Lvj（t）=Lvj（t-1）+ΔLvi→vj（t）（4）

在現(xiàn)實超網(wǎng)絡(luò)中，容量是節(jié)點或者超邊所能處理負載的最大值，與節(jié)點的初始負載成正比。設(shè)節(jié)點vj的容量為Cvj，如式（5）所示。

Cvj=（1+T）Lvj T≥0（5）

其中，T為容量參數(shù)，T的值越大，節(jié)點的容量就越大，抵御故障的能力就越強，但抵御成本會增加。臨界閾值TC是避免超網(wǎng)絡(luò)發(fā)生全局崩潰的最小容量值。當T>TC時，整個超網(wǎng)絡(luò)不會出現(xiàn)全局崩潰。當T<TC時，整個超網(wǎng)絡(luò)會發(fā)生全局崩潰。因此，T的臨界閾值TC是衡量超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的重要指標。顯然，TC越小，表明超網(wǎng)絡(luò)越魯棒。

如果節(jié)點vj在獲得額外載荷之后發(fā)生失效，則其應(yīng)滿足不等式：

Lvj（t-1）+ΔLvi→vj（t）>Cvj（6）

如果式（6）成立，則節(jié)點vj將過載失效，當vj的負載被重新分配后，可能會導(dǎo)致其它的節(jié)點發(fā)生失效。結(jié)合式（3），式（6）可以表示為

Lvj（t-1）+Lvi（t）×1dθH（vi）×1kθei（vi）>Cvj（7）

為了衡量超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，初始攻擊節(jié)點vi并使其失效，然后對它的負載進行重新分配。對于負載重新分配后的其它節(jié)點，若滿足式（7），則該節(jié)點失效。當超邊內(nèi)節(jié)點全失效后，則此條超邊發(fā)生失效。當超網(wǎng)絡(luò)中的失效節(jié)點數(shù)達到一個穩(wěn)定狀態(tài)或者所有節(jié)點全部失效（全局崩潰）后，統(tǒng)計超網(wǎng)絡(luò)中的失效超邊數(shù)FM（0≤FM≤M），計算超邊失效比例fM如式（8）所示：

fM=FMM，0≤fM≤1（8）

其中，M為超網(wǎng)絡(luò)的超邊總數(shù)，由式（8）可知，fM越大說明超網(wǎng)絡(luò)中失效超邊數(shù)越多，即超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越差。

3 仿真分析

在分析k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響時，本文以k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)為底層網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了三類超網(wǎng)絡(luò)：BA_P超網(wǎng)絡(luò)、BA_R超網(wǎng)絡(luò)和BA_C超網(wǎng)絡(luò)，對三類無標度超網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊和隨機攻擊兩種策略下的級聯(lián)故障進程進行仿真模擬，并記錄了相關(guān)實驗數(shù)據(jù)。仿真實驗中的隨機攻擊方式為隨機選取超網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點進行攻擊；而蓄意攻擊則是選取超網(wǎng)絡(luò)中最重要的節(jié)點進行攻擊，因為本文研究的是超網(wǎng)絡(luò)，所以在選擇節(jié)點重點性指標時，選取了能體現(xiàn)超邊內(nèi)與超邊間結(jié)構(gòu)共同作用的指標，即選擇超網(wǎng)絡(luò)中滿足節(jié)點度值與節(jié)點超度之和最大的節(jié)點進行攻擊。

3.1 參數(shù)敏感性分析

每類超網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模與參數(shù)k相關(guān)，因此為了進行不同規(guī)模下的仿真分析，本文分別采用k為20， 40和60三種規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)。本文研究的重點在于發(fā)現(xiàn)超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，為了消除其他不確定因素對魯棒性的影響，這里本文做了參數(shù)敏感性分析，如圖2所示。從圖2a中可以看出，三類超網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)α的敏感性較弱，不論α的值如何增大，三類超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性臨界閾值TC始終保持在一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。α值為10時，三類超網(wǎng)絡(luò)魯棒性最優(yōu)；由圖2b中可知，三類超網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)β的敏感性大致相同，且魯棒性臨界閾值TC與參數(shù)β成正比例關(guān)系，也即魯棒性會隨著參數(shù)β的增大而變差。β值為1時，三類超網(wǎng)絡(luò)魯棒性最優(yōu)；由圖2c可以發(fā)現(xiàn)，三類超網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)θ的敏感性較強，其中參數(shù)θ對BA_P超網(wǎng)絡(luò)的影響尤為明顯。三類超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性臨界閾值TC與參數(shù)θ成反比例關(guān)系，即魯棒性隨著參數(shù)θ的增大而變強。θ值為1時，三類超網(wǎng)絡(luò)魯棒性最優(yōu)。

因此在仿真分析當中使用控制變量法，選取使得三類超網(wǎng)絡(luò)魯棒性達到最優(yōu)時的參數(shù)值，即負載參數(shù)α取值為10，參數(shù)β取值為1，擾動參數(shù)θ取值為1，為了保證結(jié)果的有效性與真實性，實驗結(jié)果取50次結(jié)果的平均值。

3.2 三類k均勻BA無標度超網(wǎng)絡(luò)魯棒性分析

圖3顯示了在不同超網(wǎng)絡(luò)規(guī)模下，三類k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊時，其超邊失效比例fM隨容量參數(shù)T的變化情況。圖中結(jié)果表明：在蓄意攻擊和隨機攻擊兩種策略下，超邊失效比例隨容量參數(shù)值的增大呈遞減趨勢，并在一定的容量參數(shù)下達到全局崩潰的臨界閾值。當T≤TC時，三類k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)均處于全局崩潰的狀態(tài)，當T>TC時，故障規(guī)模開始減小并最終達到全局不失效的狀態(tài)。

當k=20時，k均勻BA_P超網(wǎng)絡(luò)，在蓄意攻擊方式下，當容量參數(shù)T=0.185，超網(wǎng)絡(luò)的崩潰比例fM=1，即此時超網(wǎng)絡(luò)發(fā)生全局崩潰；當容量參數(shù)T>0.185時，超網(wǎng)絡(luò)的崩潰比例fM<1，因此超網(wǎng)絡(luò)在受到蓄意攻擊時其臨界閾值TC=0.185；同理分析可得，k均勻BA_P超網(wǎng)絡(luò)在受到隨機攻擊時其臨界閾值TC=0.058。由于TC越小，魯棒性越強，結(jié)合表2的結(jié)果可以明顯看出，k均勻BA_P超網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊下魯棒，在蓄意攻擊下脆弱。同理分析可得，k均勻BA_R超網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下魯棒，在隨機攻擊下脆弱；k均勻BA_C超網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下魯棒，在隨機攻擊下脆弱。

此外從圖3中可以明顯看出，隨著三類k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，其臨界閾值TC均呈逐漸變小的趨勢。這是因為隨著節(jié)點規(guī)模的增大，當超網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點發(fā)生故障后，失效節(jié)點負載重分配時就會有更多的鄰居節(jié)點分擔其負載，使超網(wǎng)絡(luò)更不容易崩潰。因此，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模越大，超網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊時越魯棒。

以往的研究結(jié)果表明[1921]，當忽略超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式時，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)在遭受外部攻擊時與普通的無標度網(wǎng)絡(luò)類似，即表現(xiàn)出對隨機攻擊魯棒，對蓄意攻擊脆弱的特性。但本文分析發(fā)現(xiàn)，當k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)超邊內(nèi)部節(jié)點的連接方式不同時，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出了不同的魯棒性，即當超網(wǎng)絡(luò)超邊內(nèi)節(jié)點采用優(yōu)先連接方式時，超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出了與已有研究結(jié)果一致的魯棒性，而當超邊內(nèi)的節(jié)點采用其他兩種連接方式時，超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出了相反的魯棒性，但在兩種攻擊方式下的魯棒性差異不大，且超邊內(nèi)節(jié)點的規(guī)模對其有重要的影響，即超邊內(nèi)節(jié)點越多，則超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式產(chǎn)生的影響也越大。同時，本文對超邊內(nèi)節(jié)點連接方式對魯棒性產(chǎn)生影響的原因進行了具體的分析。這里k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的各超邊之間的連接方式為優(yōu)先連接。

1）當超邊內(nèi)部節(jié)點之間的連接方式為優(yōu)先連接時，每條超邊內(nèi)部的節(jié)點度分布與節(jié)點超度分布均為冪律分布，如圖4和圖5所示。這表明這種連接方式加強了超網(wǎng)絡(luò)的無標度特性，因此BA_P超網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊時與無標度超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出一致的特性，即對隨機攻擊魯棒，對蓄意攻擊脆弱；

2）當超邊內(nèi)部節(jié)點之間的連接方式為隨機連接時，每條超邊內(nèi)部的節(jié)點度分布為泊松分布，又因節(jié)點的超度分布仍為冪律分布，所以BA_R超網(wǎng)絡(luò)整體的節(jié)點度分布在超度分布的影響下就會呈現(xiàn)偏態(tài)的泊松分布，如圖6所示。因此超邊內(nèi)節(jié)點的隨機連接方式改變了超網(wǎng)絡(luò)整體的無標度特性，所以BA_R超網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊時呈現(xiàn)出與ER隨機網(wǎng)絡(luò)相同的特性，即對隨機攻擊脆弱，對蓄意攻擊魯棒；

3）當超邊內(nèi)部節(jié)點之間采用全連接的方式時，每條超邊內(nèi)部為一個規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，因為節(jié)點超度分布為冪律分布，如圖4所示，則當一個超度較大的節(jié)點遭受到攻擊時，介于本文所規(guī)定的負載傳播方式，如第2部分的式（3）所示，失效節(jié)點在進行負載傳播的過程中，當超度大的節(jié)點vi其負載傳播時，分配到其相鄰未失效節(jié)點vj所在超邊上的負載就會相對更少，為Lvit/d θHvi。又因超邊內(nèi)部節(jié)點采用全連接的方式，那么失效節(jié)點vi的每個未失效的鄰居節(jié)點vj就會分到相對更少的負載，即Lvit/d θHvikθeivi。所以此時超網(wǎng)絡(luò)會表現(xiàn)出對蓄意攻擊魯棒，對隨機攻擊脆弱的特性。此外，Ma等[20]研究的無標度超網(wǎng)絡(luò)雖然也采用了超邊內(nèi)全連接的方式，但其研究的k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)中k=3，也即超邊內(nèi)節(jié)點的規(guī)模僅為3。因此，在Ma等的研究[20]中，超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性產(chǎn)生的影響非常小，不足以改變超網(wǎng)絡(luò)整體的魯棒性。本文研究發(fā)現(xiàn)，當k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)超邊內(nèi)節(jié)點間全連接，且k≥8時，會對k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性產(chǎn)生重要的影響，甚至改變其原有的魯棒性，如圖7所示。

另外，結(jié)合表2中的數(shù)據(jù)分析得出，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)在面對蓄意攻擊時，BA_C超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性最好，其次是BA_R超網(wǎng)絡(luò)，最差的是BA_P超網(wǎng)絡(luò)；分析其原因為：k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)在面對蓄意攻擊時的魯棒性與超邊內(nèi)部的普通邊數(shù)量mk有關(guān)。超邊內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的普通邊數(shù)量如圖8所示。因為在蓄意攻擊時，攻擊的是超邊內(nèi)部超度占比與節(jié)點度占比之和最大的節(jié)點，普通邊越多，就會有更多的鄰居節(jié)點在負載傳播的過程中分擔其負載。所以在蓄意攻擊策略下，超邊內(nèi)部普通邊的數(shù)量mk越大，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性也越好。而k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)在面對隨機攻擊時，因隨機攻擊具有一定的隨機性，又因為無標度超網(wǎng)絡(luò)本身的無標度特性，從而減弱了超邊內(nèi)部普通邊的數(shù)量對魯棒性的影響。

4 結(jié)論

為了突破現(xiàn)有超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)魯棒性研究的局限性，探究超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，本文提出三類超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同的k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)模型，并提出一種新的容量負載模型分析了超邊內(nèi)部結(jié)構(gòu)對超網(wǎng)絡(luò)整體魯棒性的影響。得到結(jié)論：當超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式與超網(wǎng)絡(luò)各個超邊間的連接方式一致時，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊魯棒，對蓄意攻擊脆弱；當超邊內(nèi)節(jié)點的連接方式與超網(wǎng)絡(luò)各個超邊間的連接方式不一致時，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊脆弱，對蓄意攻擊魯棒；當超邊內(nèi)節(jié)點的規(guī)模k較大時，其連接方式對k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響也較大；當超邊內(nèi)普通邊數(shù)量mk越大，k均勻無標度超網(wǎng)絡(luò)魯棒性越好。

本文的研究結(jié)果對進一步理解微觀結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)整體性能的影響有重要的意義，同時也為進一步優(yōu)化超網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)魯棒性提供了重要的參考。

參考文獻：

[1]REN H P， GAO Y， HUO L， et al. Frequency stability in modern power network from complex network viewpoint[J]. Physica A， 2020， 545（3）： 123558.

[2]WANG T， CHENG H， WANG X. A link addition method based on uniformity of node degree in interdependent power grids and communication networks[J]. Physica A， 2020， 560（5）： 125112.

[3]CAI W X， LIANG F F， WANG Y C， et al. An innovative approach for constructing a shipping index based on dynamic weighted complex networks[J]. Physica A， 202 578（5）： 126101.

[4]毛昌梅， 韓景倜， 劉舉勝. 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的銀行波動溢出效應(yīng)研究[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)， 2020， 17（2）： 1121.

MAO C M， HAN J T， LIU J S. Volatility spillover effect of chinese listed commercial banks based on complex network[J]. Complex Systems and Complexity Science， 2020， 17（2）： 1121.

[5]王哲， 李建華， 康東， 等. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性增強策略研究綜述[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)， 2020， 17（3）： 126+46.

WANG Z， LI J H， KANG D， et al. Review on strategies enhancing the robustness of complex network[J]. Complex Systems and Complexity Science， 2020， 17（3）： 126，46.

[6]WANG S L， L W Z， ZHANG J H， et al. Method of power network critical nodes identification and robustness enhancement based on a cooperative framework[J]. Reliability Engineering & System Safety， 202 207：107313.

[7]GAO J， BULDYREV S V， HAVLIN S， et al. Robustness of a network formed by n interdependent networks with a one-to-one correspondence of dependent nodes[J]. Physical Review E， 2012， 85（6）： 066134.

[8]陳關(guān)榮. 探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的高階拓撲及其應(yīng)用[R]. 北京： 中國指揮與控制學(xué)會， 2021.

CHEN G R. Exploring higher-order topologies of complex networks and applications[R]. Beijing： Chinese Institute of Command and Control.

[9]FEDERICO B， GIULIA C， IACOPO I， et al. Networks beyond pairwise interactions： structure and dynamics[J]. Physics Reports， 2020， 874： 192.

[10] SINAN G A， CLIFF J， CARLOS O M， et al. Hypernetwork science via high-order hypergraph walks[J]. EPJ Data Science， 2020， 9（1）： 519535.

[11] WANG J W， RONG LL， DENG Q H， et al. Evolving hypernetwork model[J]. The European Physical Journal B， 2010， 77（4）： 493498.

[12] ESTRADA E， RODRGUEZ-VELZQUEZ J A. Subgraph centrality and clustering in complex hyper-networks[J]. Physica A， 2006， 364（3）： 581594.

[13] 索琪， 郭進利. 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)：結(jié)構(gòu)及演化機制[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐， 2017， 37（3）： 720734.

SUO Q， GUO J L. The structure and dynamics of hypernetworks[J]. Systems Engineering-Theory & Practice， 2017， 37（3）： 720734.

[14] 李甍娜， 郭進利， 卞聞， 等. 網(wǎng)絡(luò)視角下的唐詩[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)， 2017， 14（4）： 6671.

LI M N， GUO J L， BIAN W， et al. Tang poetry from the perspective of network[J]. Complex Systems and Complexity Science， 2017， 14（4）： 6671.

[15] 胡楓， 趙海興， 何佳倍， 等. 基于超圖結(jié)構(gòu)的科研合作網(wǎng)絡(luò)演化模型[J]. 物理學(xué)報， 2013， 62（19）： 547554.

HU F， ZHAO H X， HE J B， et al. An evolving model for hypergraph-structure-based scientific collaboration networks[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（19）： 547554.

[16] 胡楓， 劉猛， 趙靜， 等. 蛋白復(fù)合物超網(wǎng)絡(luò)特性分析及應(yīng)用[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)， 2018， 15（4）： 3138.

HU F， LIU M， ZHAO J， et al. Analysisand application of the topological properties of protein complex hypernetworks[J]. Complex Systems and Complexity Science， 2018， 15（4）： 3138.

[17] Wu Z Y， Duan J Q， Fu X C. Synchronization of an evolving complex hyper-network[J]. Applied Mathematical Modelling， 2014， 38（11/12）： 29612968.

[18] 鞏云超， 李發(fā)旭， 周麗娜， 等. 在線社交超網(wǎng)絡(luò)的信息全局傳播模型[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報， 202 50（3）： 437445.

GONG Y C， LI F X， ZHOU L N， et al. Global Dissemination of Information Based on Online Social Hypernetwork[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China， 202 50（3）： 437445.

[19] 馬秀娟， 趙海興， 胡楓. 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)相繼故障分析[J]. 物理學(xué)報， 2016， 65（8）： 374383.

MA X J， ZHAO H X， HU F. Cascading failure analysis in hyper-network based on the hypergraph[J]. Acta Physica Sinica， 2016， 65（8）： 374383.

[20] MA X J， MA F X， YIN J， et al. Cascading failures of k uniform hyper-network based on the hyper adjacent matrix[J]. Physica A， 2018， 510： 281289.

[21] CHEN Y， MA X J， MA F X， et al. The capacity load model of k-uniform hyper-network based on equal load distribution[J]. Journal of Physics： Conference Series， 202 1828（1）： 012060.

[22] 羅海秀， 趙海興， 肖玉芝， 等. 基于超圖的公交超網(wǎng)絡(luò)拓撲特性及魯棒性分析[J]. 西南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 202 43（10）： 181191.

LUO H X， ZHAO H X， XIAO Y Z. A hypergraph-based analysis of the topology and robustness of bus hypernetworks[J]. Journal of Southwest University （Natural Science Edition）， 202 43（10）： 181191.

[23] MOTTER A E， CHENG L Y. Cascade-based attacks on complex networks[J]. Physical Review E， 2002， 66（6）： 065102.

[24] BERGE C. Graphs and Hpergraphs[M]. New York： Elsevier， 1973.

[25] BERGE C， STERBOUL F. Equipartite colorings in graphs and hypergraphs[J]. Journal of Combinatorial Theory， Series B， 1977， 22（2）： 97113.

[26] BRETTO A. Hypergraph Theory[M]. Heidelberg： Springer， 2013.

[27] 胡楓， 趙海興， 馬秀娟. 一種超網(wǎng)絡(luò)演化模型構(gòu)建及特性分析[J]. 中國科學(xué)： 物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué)， 2013， 43（1）： 1622.

HU F， ZHAO H X， MA X J. An evolving hypernetwork model and its properties[J]. Scientia Sinica（Physica， Mechanica& Astronomica）， 2013， 43（1）： 1622.

（責任編輯 李 進）