用函數(shù)解決實際問題考查抽象能力

立德樹人是教育的根本任務(wù)．大部分學(xué)生將來不以數(shù)學(xué)為職業(yè)．?dāng)?shù)學(xué)教育在這些學(xué)生的生活及職業(yè)發(fā)展中的作用，主要體現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實際問題．這是學(xué)生“有本領(lǐng)”的主要體現(xiàn)．課標(biāo)對學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題能力的考查，給出了具體要求．課標(biāo)指出，要在情境中考查核心素養(yǎng)，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識[1]．中考命題要貫徹課標(biāo)的要求，注重考查運(yùn)用知識解決問題的能力．函數(shù)是初中解決實際問題的主要工具．用函數(shù)解決實際問題的試題，注重考查思維過程，是改變相對固定的試題形式，減少“機(jī)械刷題”的抓手．

1 當(dāng)前函數(shù)試題的現(xiàn)狀與困境

函數(shù)題一度作為壓軸題．為了保證區(qū)分度，試題形式不斷變化．有一段時間認(rèn)為，綜合運(yùn)用知識就是在知識交匯處命題．中考曾經(jīng)出現(xiàn)了一些函數(shù)與幾何交匯的試題．當(dāng)時被認(rèn)為是創(chuàng)新．典型的題目如下：

如圖1，已知直線y=kx?6與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使ΔPOB與ΔPOC全等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（2）若點Q是y軸上一點，且ΔABQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo)．

該題中的拋物線是二次函數(shù)圖象．問題是找出滿足條件的全等三角形和直角三角形．解答題目需要算邊長（長度，即兩點間距離，兩點間距離公式為高中解析幾何內(nèi)容）、角度，做輔助線，構(gòu)造全等與相似．長度與角度是幾何問題，不是函數(shù)問題．函數(shù)是研究變量間的關(guān)系，通過這種相依數(shù)量關(guān)系來研究變化規(guī)律．做輔助線，構(gòu)造全等與相似是典型的平面幾何方法．該題的實質(zhì)是以函數(shù)圖象為背景，考查平面幾何．?dāng)?shù)學(xué)是自然的，有其產(chǎn)生的背景與脈絡(luò)，在歷史發(fā)展中形成了研究問題與方法．人為的隨意交匯，不能產(chǎn)生有意義、有價值的問題．

兩點間距離公式為高中解析幾何內(nèi)容．該題卻不是經(jīng)典的解析幾何問題．解析幾何產(chǎn)生于十七世紀(jì)的歐洲，是在社會需求下產(chǎn)生的．當(dāng)時，機(jī)械研究提出了動力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，堤壩修建提出了力學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，航海業(yè)提出了測量問題，造船業(yè)提出了描繪船體各部位曲線問題，望遠(yuǎn)鏡的制造提出了透鏡表面形狀問題，火器制造業(yè)提出了拋射體軌跡與定量計算問題，這些問題推動了解析幾何的產(chǎn)生．高中解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法，主要探討曲線的方程，曲線的交點及其延伸出的兩點間距離，直線的斜率及其代表的角度，核心概念是距離和斜率，主要方法是列方程與解方程（組）．這些研究問題、內(nèi)容與方法，是自然形成的，不能與函數(shù)或者平面幾何知識隨意交匯而產(chǎn)生有意義、有價值的問題．人為的知識交匯，只能創(chuàng)造“牛頭馬面”式的虛構(gòu)問題．

函數(shù)試題的另一種創(chuàng)新形式是含參數(shù)的函數(shù)問題，這主要是向高考銜接，本質(zhì)上是多元函數(shù)問題．含參的一次函數(shù)題，大部分表現(xiàn)為線性規(guī)劃問題．教育部《關(guān)于做好2022年中考命題工作的通知》明確要求，嚴(yán)格依據(jù)課標(biāo)命題，不得擴(kuò)大考試內(nèi)容范圍，嚴(yán)禁將高中課程內(nèi)容作為考試內(nèi)容．這兩類題擴(kuò)大了考試內(nèi)容范圍，違背了以大概念（大概念是數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)內(nèi)容的概括與總結(jié)，教育功能是遷移）[2]為核心、以結(jié)構(gòu)化知識為載體的課標(biāo)要求．

學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)要求，以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識為載體考查核心素養(yǎng)，在情境中考查核心素養(yǎng)[1]．按照這個要求，把關(guān)題的載體是多樣的，函數(shù)題不應(yīng)必然作為壓軸題．中考應(yīng)該是多點把關(guān)、知識輪動，才能做到試題形式多樣化，從而使學(xué)生減少刷題．

2 函數(shù)試題要著重在現(xiàn)實背景中0eeb621311badcef871990eedbe58d4af1d90124145367252a36fed785328b3c考查抽象能力

函數(shù)產(chǎn)生于實際問題中，它是描述現(xiàn)實問題的基本數(shù)學(xué)工具．初中學(xué)的函數(shù)比較簡單，單純在數(shù)學(xué)內(nèi)部考查函數(shù)知識，沒有很好的區(qū)分度．函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值——運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實中的問題．這是堅持素養(yǎng)立意，堅持試題內(nèi)容與育人目標(biāo)相結(jié)合的一種命題思路．

2.1 對實際問題中函數(shù)關(guān)系的理解是考查抽象能力的一個切入點

實際問題多是用自然語言描述的．若實際問題中的數(shù)量較多，則多用圖象或圖表表達(dá)．圖象與圖表是一種視覺表征，是視覺推理的一種應(yīng)用．讀懂圖象與圖表是理解實際問題的關(guān)鍵，也是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．圖象整體表達(dá)數(shù)量（函數(shù)）關(guān)系，直觀揭示變化規(guī)律．理解圖象表達(dá)的現(xiàn)實意義及函數(shù)關(guān)系，是抽象能力的一個重要表現(xiàn)；也是考查抽象能力的一個切入點．下題就是一個典型樣例．

甲乙兩人勻速從同一地點到1500米處的圖書館看書，甲出發(fā)5分鐘后，乙以一定速度沿同一路線行走．設(shè)甲乙兩人相距s（米），甲行走的時間為t（分），s為t的函數(shù)．圖象一部分如圖2所示．當(dāng)甲出發(fā)多少分鐘時，甲、乙兩人相距360米[3]？

該題典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的閱讀方式——先整體把握問題，生成一種假設(shè)，再通過閱讀尋求證據(jù)驗證假設(shè)[4]．該題的縱坐標(biāo)，不是學(xué)生熟悉的路程，而是路程差．這給學(xué)生理解問題帶來困擾．對圖2的解釋，學(xué)生需要調(diào)用學(xué)校生活經(jīng)驗．甲步行先走（乙未動），兩人間的距離拉大．乙5分鐘后以大于甲的速度（如騎自行車）追趕．從橫軸5分鐘時刻起，兩人間距開始減少．乙趕上甲時，兩人間距變成零．之后間距再次拉大，直到乙到達(dá)圖書館．此時間距最大．乙到達(dá)圖書館后停止移動，甲繼續(xù)向圖書館移動，兩人間距又開始減少，直至變成零．從圖象看，兩人間距曾達(dá)到450米，說明最大間距不小于450米．題目所求間距360米的時刻，應(yīng)該有兩個（最大間距對應(yīng)時刻前后各一個）．圖象只是部分運(yùn)動過程，不是全部．

調(diào)用學(xué)生的生活經(jīng)驗來讀懂圖象是學(xué)生理解該題的關(guān)鍵，這是視覺推理的一種重要表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)眼光的重要成分．該題可以用函數(shù)知識來做．利用函數(shù)與方程的關(guān)系，也可以用方程來做．這類題聚焦函數(shù)和方程的核心思想，考查抽象能力，有多種解法，有一定的區(qū)分度．函數(shù)應(yīng)用是教材的重點內(nèi)容．教材中有很多用圖象表達(dá)的素材（也有縱軸是路程差或者進(jìn)水量與出水量差的素材）．在這種素材上編制有區(qū)分度的試題，真正體現(xiàn)了回歸教材，以標(biāo)命題，把中考內(nèi)容與育人目標(biāo)相結(jié)合．

運(yùn)用圖象進(jìn)行大小比較是用函數(shù)知識解決問題的一類典型問題．大小是一種重要的數(shù)量關(guān)系，也是生活中的一類重要問題，是函數(shù)增減性（單調(diào)性）的重要應(yīng)用，如效用最大，花費(fèi)最少等問題．初中、高中教材中也有很多這類問題．依據(jù)這些素材編制一些拓展性題目，也是一種回歸教材的命題思路，既考查了應(yīng)用意識，也考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識準(zhǔn)備情況，典型體現(xiàn)了中考的目的．

2.2 識別核心變量及其關(guān)系是考查抽象能力的著力點

有些問題數(shù)量關(guān)系較多．學(xué)生往往抓不住核心變量．能從實際情境中抽象出核心變量，是數(shù)學(xué)抽象能力的主要表現(xiàn)[1]．依托數(shù)量關(guān)系多的素材，命制函數(shù)應(yīng)用題，是考查抽象能力的一個著力點．

人教社教材中有一個租車問題：

某學(xué)校計劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師．現(xiàn)在甲、乙兩種大客車，甲種客車最大載客量45人，乙種客車最大載客量30人．甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元．請給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案[5]．

該題數(shù)量多，數(shù)量關(guān)系多．?dāng)?shù)量關(guān)系是典型的“總價=單價×數(shù)量”與“總量=分量+分量”，核心變量是總費(fèi)用與甲、乙兩種客車費(fèi)用．甲、乙客車的載客人數(shù)是次要因素．識別核心變量是構(gòu)建該題思路的關(guān)鍵．學(xué)生對該題大多沒有思路，教師也認(rèn)為不好講．這是一個有區(qū)分度的題，可以利用簡化條件法進(jìn)行改編[6]，命制中考題．

把載客人數(shù)的要求去掉，固定車輛總數(shù)，仍然體現(xiàn)主要思路．可變?yōu)楹唵螁栴}：甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元，在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，若租7輛客車，給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案．

該題拓展一下，可以變?yōu)檩^難題：甲種客車每輛租金400元，乙f4b359f69370270f346ab616363febbca3be1462e0381d9a2f1500683227c7a3種客車每輛租金280元；甲種客車最大載客量45人，乙種客車最大載客量30人．在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生與8名教師集體外出參加活動，每輛汽車上至少有1名教師，給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案．

教材例題控制條件，使得只能有6輛車．較難題與例題思路一致，車輛總數(shù)可以取幾個值，變成幾個最小值之間的比較，復(fù)雜度增加．簡單題與拓展題組成一個大題，簡單題大部分學(xué)生會做，也啟發(fā)拓展題思路，體現(xiàn)層次性，是一種有價值的命題思路．

在命制含有多個數(shù)量關(guān)系的題目時，需要仔細(xì)斟酌數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，確保實現(xiàn)命題意圖．教材有這樣一道習(xí)題：A城有肥料200噸，B城有肥料300噸．現(xiàn)要把這些肥料運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)．從A城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)肥料的費(fèi)用分別為20元每噸與25元每噸，從B城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)肥料的費(fèi)用分別為15元每噸與24元每噸．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運(yùn)運(yùn)費(fèi)最少[4]？

本題可以用一次函數(shù)的增減性來做，也可以利用直覺推理來做．B城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)，分別比A城運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)低．優(yōu)先把B城中的肥料運(yùn)往CD，兩鄉(xiāng)．B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)最低，優(yōu)先運(yùn)往C鄉(xiāng)．C鄉(xiāng)需求240噸肥料，B城有300噸．B城運(yùn)240噸肥料往C鄉(xiāng)，剩余60噸只能運(yùn)往D鄉(xiāng)．A城所有的200噸肥料，也只好運(yùn)往D鄉(xiāng)，恰好滿足條件．假如B城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料中，有1噸被A城肥料替換．B城被A城替代的1噸需要運(yùn)往D鄉(xiāng)，則總運(yùn)費(fèi)增加（2015）（2415）14?+?=元，所以上述調(diào)運(yùn)方案最優(yōu)．這種直覺推理，本質(zhì)上還是利用一次函數(shù)的增減性，最值在定義域端點處取得．學(xué)生沒有意識到一次函數(shù)的本質(zhì)作用，也可以單純依靠直覺推理得到結(jié)論．該題命題意圖如果是考查一次函數(shù)，則需要改進(jìn)．比如把數(shù)據(jù)調(diào)整一下（該題數(shù)據(jù)調(diào)整充滿陷阱，只有滿足一個較為特殊的條件才行）．該題命題意圖如果是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，則是一道好題．它的背景簡單，學(xué)生都能理解．它有多種解法，既可以用直覺推理來做，也可以用一次函數(shù)來做．它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)知識與能力，如函數(shù)和邏輯推理．它可以進(jìn)一步展開與一般化，變成線性規(guī)劃問題，其函數(shù)解法也可以一般化．

實際問題的情境是多樣的，即使費(fèi)用最少這類問題，其背景也是多樣的．可以結(jié)合地域特色來命制，凸顯育人導(dǎo)向．實際情境可以多個維度復(fù)雜化，像結(jié)合視覺推理，用圖象與表格表達(dá)數(shù)據(jù)；或者增加一些起次要作用的數(shù)量關(guān)系限制主要變量的取值范圍等，從而拓展命制不同難度的題目．

參考文獻(xiàn)

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[2]格蘭特·維金斯，杰伊·麥克泰格．追求理解的教學(xué)設(shè)計（第二版）[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2018

[3]呂銀愛，董濤．基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的解題分析與教學(xué)建議[J]．福建基礎(chǔ)教育研究，2019（11）：61-63，89

[4]舒爾曼．實踐智慧[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2014

[5]人民教育出版社．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八下）[M]．北京：人民教育出版社，2013

[6]吳玲玲，董濤．運(yùn)用簡化條件法教解題——以2017年全國Ⅰ卷理21題為例[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（1）：31-33

（本文系福建省教育科學(xué)規(guī)劃2022教育考試招生重點專項課題“基于初中學(xué)業(yè)水平考試評價體系的考試內(nèi)容改革實施路徑研究”（課題編號：FJJYKS22-22）的研究成果）