聚焦一般觀念教學(xué) 經(jīng)歷定理生成過(guò)程

愛因斯坦說(shuō)過(guò)：“科學(xué)結(jié)論幾乎是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感受不到思想形成的生動(dòng)過(guò)程，也很難達(dá)到清楚地解釋全部情況．”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱為“新課標(biāo)”）明確指出：教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題；促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．但在實(shí)際初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往怕耗費(fèi)時(shí)間，不重視定理的形成過(guò)程，直接指出結(jié)論．殊不知，正是在定理研究的過(guò)程中，學(xué)生積極思考、探尋定理產(chǎn)生的本源，從而體驗(yàn)了探究的樂(lè)趣，激發(fā)了學(xué)習(xí)的積極性，積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

章建躍強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)的一般觀念，就是隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法．”這啟示著，定理教學(xué)需要教師基于一般觀念，從學(xué)生的認(rèn)知、已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，模擬科學(xué)研究的一般規(guī)律和方法進(jìn)行設(shè)計(jì)．本文以人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》“24.1.4圓周角”教學(xué)為例闡釋筆者的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐，期待拋磚引玉．

1 教學(xué)實(shí)踐與探索

在數(shù)學(xué)定理教學(xué)活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生了解定理的來(lái)龍去脈，不但要知其然，更要知其所以然．經(jīng)歷定理的形成過(guò)程，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，學(xué)會(huì)思考、探索解決問(wèn)題的方法，發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界．

環(huán)節(jié)1 基于空間形式引入圓周角概念

（1）設(shè)計(jì)思考1．

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一種與圓有關(guān)的角——圓心角．從一般觀念出發(fā)，角的元素有角的頂點(diǎn)和角的邊，而圓心角的特征是頂點(diǎn)在圓心，自然就會(huì)提出若角的頂點(diǎn)在圓周上又如何？

（2）教學(xué)活動(dòng)．

問(wèn)題1 ①如圖1，∠AOB是____，它有什么特征？

②從空間形式上，對(duì)于“角”和“圓”，我們通常會(huì)關(guān)注什么？

學(xué)生活動(dòng)思考并回答．

追問(wèn)1 若從角的頂點(diǎn)出發(fā)，你能提出其它與圓有關(guān)的角嗎？

生1 角的頂點(diǎn)在圓上．

師 很好！這是一種有意義的角，我們有必要探索一下．

問(wèn)題2 角的頂點(diǎn)在圓上，動(dòng)手畫一畫，你能畫出多少個(gè)？

生2 無(wú)數(shù)個(gè)．

教師引導(dǎo) 若再考慮角的兩條邊，你能對(duì)這無(wú)數(shù)個(gè)角進(jìn)行分類嗎？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生活動(dòng)思考并回答．

師生活動(dòng) 學(xué)生通過(guò)觀察，并發(fā)現(xiàn)這些角可按以下標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．

分類標(biāo)準(zhǔn)角的邊是否與圓相交．

三類 （如圖2）①兩條邊都與圓相交；②一條邊與圓相交，另一條邊不與圓相交；③ANBYedwWoynZhmpBtn8bkg==兩條邊都不與圓相交．

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范地描述第①類角，引出研究對(duì)象——圓周角及它的定義：像這樣，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

簡(jiǎn)析 基于空間形式，通過(guò)由圓心角頂點(diǎn)的特殊位置考慮產(chǎn)生新的角，并進(jìn)行分類，明確圓周角與圓心角都是與圓有關(guān)的角，且都是與圓有關(guān)的位置特殊的角，讓學(xué)生感悟到研究圓周角的必要性和價(jià)值．

環(huán)節(jié)2 從一般到特殊，經(jīng)歷定理的生成過(guò)程

（1）設(shè)計(jì)思考2．

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系．因?yàn)閳A心角和圓周角的兩條邊都與圓相交，所以用“一條弧”架起了圓心角與圓周角的橋梁，進(jìn)而研究它們的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷定理“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．”的生成過(guò)程．

（2）教學(xué)活動(dòng)．

問(wèn)題3 圓心角和圓周角都是與圓有關(guān)的角，那么它們之間會(huì)有關(guān)系嗎？

學(xué)生活動(dòng) 思考并回答，如果圓心角與圓周角對(duì)著同一條弧，那么它們就有關(guān)系了．

教師引導(dǎo) 這個(gè)發(fā)現(xiàn)很有價(jià)值．圓心角有無(wú)數(shù)個(gè)，圓周角也有無(wú)數(shù)個(gè)，由于圓心角和圓周角都對(duì)著同一條弧，這樣就把圓周角和圓心角聯(lián)系起來(lái)了，得到研究對(duì)象．對(duì)著同一條弧是它們的位置關(guān)系，那么圓周角和圓心角在數(shù)量上會(huì)有關(guān)系嗎？

追問(wèn)2 基于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，接下來(lái)我們應(yīng)該如何研究它們之間的數(shù)量關(guān)系呢？我們研究幾何中的數(shù)量關(guān)系通常采用什么方法？

生2 畫圖后，觀察、測(cè)量、猜想、驗(yàn)證．

生 畫出圖形（如圖3），動(dòng)手進(jìn)行測(cè)量（表1），提出猜想．

猜想 ∠BAC=∠BDC=∠BEC=∠BFC=∠BGC=…=1/2∠BOC．

追問(wèn)3 這個(gè)猜想實(shí)際上有幾個(gè)結(jié)論？

問(wèn)題4 你能用語(yǔ)言來(lái)描述你的猜想嗎？

師生歸納得出命題①同弧所對(duì)的圓周角相等；②一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．

教師使用幾何畫板做進(jìn)一步演示與驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)環(huán)境中直觀感受上述問(wèn)題的答案．

環(huán)節(jié)3 從特殊到一般，經(jīng)歷定義的論證

（1）設(shè)計(jì)思考3．

新課標(biāo)指出：初步掌握推理的基本形式和規(guī)則：對(duì)一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能通過(guò)特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論；理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索并表示論證過(guò)程；感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣．

（2）教學(xué)活動(dòng)．

問(wèn)題5 你能證明得到的猜想嗎？你想如何證明？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要證明猜想②就可以推出猜想①，從而確定只需要證明第②個(gè)命題．

問(wèn)題6 如何證明一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半？

師生活動(dòng) 一條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)而圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)．基于“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，考慮對(duì)無(wú)數(shù)個(gè)圓周角進(jìn)行分類，然后利用“特殊”為切入口，找到了證明方法．

追問(wèn)4 如何分類呢？

師生活動(dòng) 圓心是點(diǎn)，圓周角是角，類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)觀察圖形把這無(wú)數(shù)個(gè)圓周角也分成三類：①圓心在圓周角的一條邊上（點(diǎn)在角上）；②圓心在圓周角的內(nèi)部（點(diǎn)在角內(nèi)）；③圓心在圓周角的外部（點(diǎn)在角外）．且發(fā)現(xiàn)第①種情況最特殊．

學(xué)生活動(dòng)以小組為單位討論交流，寫出“已知、求證、證明過(guò)程．”

教師活動(dòng) 巡察并實(shí)時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能對(duì)第①種特殊情況進(jìn)行證明，并且大部分的學(xué)生都能利用轉(zhuǎn)化的思想完成第②③種的證明．利用投影儀展示學(xué)生的證明過(guò)程并給予評(píng)價(jià)．

總結(jié)結(jié)論得到定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．

問(wèn)題7 一個(gè)定理往往會(huì)帶來(lái)一些新的結(jié)論一一推論．那么由圓周角定理能得出什么推論呢？如何得出？

師生活動(dòng) 推論往往是用特殊化的方法得出的，教師讓學(xué)生按照這種思想方法，在課后嘗試得到圓周角定理的推論并證明．

簡(jiǎn)析 新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系．圓周角與圓心角都是與圓有關(guān)的角，如果它們有特殊的位置關(guān)系“對(duì)著同一條弧”，那么它們?cè)跀?shù)量上是否存在某種關(guān)系，從而提出問(wèn)題引入研究對(duì)象，接著尋找解決問(wèn)題的路徑與方法．

2 一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的思考

2.1 實(shí)踐探究，深化數(shù)學(xué)育人價(jià)值

育人為本是教育的生命和靈魂，是教育的本質(zhì)要求和價(jià)值訴求．?dāng)?shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神的過(guò)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用．

本節(jié)課的實(shí)踐探究，調(diào)動(dòng)了學(xué)生研究幾何圖形的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們關(guān)注研究幾何圖形的套路，重視研究圖形性質(zhì)的方法，讓學(xué)生體驗(yàn)研究幾何圖形的性質(zhì)就是研究組成圖形的元素之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)；教師通過(guò)問(wèn)題串調(diào)動(dòng)了學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使以往學(xué)習(xí)的幾何圖形的研究思路和方法與圓周角的研究思路和方法融會(huì)貫通，讓學(xué)生感悟“研究的對(duì)象千變?nèi)f化，但研究的思路方法不變”，掌握整體研究幾何圖形的方法和途徑，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考ZpCAxFu8gIviPBfHl8woQg==問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

2.2 經(jīng)歷體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)主要是知識(shí)教學(xué)，給孩子一些公式、法則、定理等，再告訴他們?cè)趺礃油茖?dǎo)和應(yīng)用，不重視過(guò)程，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷體驗(yàn)，學(xué)生的思維品質(zhì)自然得不到發(fā)展．用類比的思想引入圓周角概念，讓問(wèn)題自然而然；關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷定理的生成過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；在證明圓周角定理的過(guò)程中，通過(guò)運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，采取觀察、猜想、類比、轉(zhuǎn)化、驗(yàn)證等活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀的能力、畫圖和識(shí)圖能力、邏輯推理能力，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，尤其是培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力．在定理的生成、推理證明的過(guò)程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，學(xué)生在獨(dú)立思考、合作碰撞中形成自我觀點(diǎn)和認(rèn)知，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、創(chuàng)造性和批判性，發(fā)展學(xué)生良好的思維品質(zhì)．

本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐表明，基于一般觀念的定理教學(xué)，可以幫助學(xué)生避免碎片化學(xué)習(xí)，抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重遷移，應(yīng)用一般觀念研究新的問(wèn)題，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值．

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022

[2]宋璐佳．一般觀念引領(lǐng)下的“圓周角”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（19）：44-49

[3]陳華忠．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》“新”在何處[J]．課程教材教學(xué)研究（小教研究），2022（Z4）：7-10

（本文系莆田市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“新課標(biāo)”背景下初中生數(shù)學(xué)閱讀能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：PTJYKT23138）的研究成果）