基于二維聲學(xué)黑洞的周期板結(jié)構(gòu)彎曲波操控特性研究

摘 要：聲學(xué)黑洞（ABH）結(jié)構(gòu)通過按照一定冪函數(shù)剪裁結(jié)構(gòu)厚度，致使結(jié)構(gòu)中彎曲波相速度的減小而實(shí)現(xiàn)能量聚集，為航空結(jié)構(gòu)中振動(dòng)能量操控提供新的思路。ABH陣列可以彌補(bǔ)單個(gè)ABH中低頻彎曲波操控特性的不足，為了研究基于二維ABH的周期板結(jié)構(gòu)的彎曲波操控特性，利用有限元方法研究無限周期ABH結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和包含有限周期ABH的板結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)矢量場(chǎng)特征，分析了含中心平臺(tái)ABH與無中心平臺(tái)ABH構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)中彎曲波傳播特征的區(qū)別，結(jié)合有限元結(jié)果明確了平面波展開方法收斂性和適用條件。數(shù)值分析結(jié)果顯示，含中心平臺(tái)ABH易在低于全波長特征頻率時(shí)獲得表征局部共振的平直帶，從ABH全波長特征頻率附近開始，含中心平臺(tái)ABH周期結(jié)構(gòu)對(duì)彎曲波能量的定向操控特征區(qū)別于無中心平臺(tái)ABH周期結(jié)構(gòu)。最后研究ABH截面特征參數(shù)對(duì)彎曲波能帶結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律，結(jié)果表明，內(nèi)嵌式ABH截面的變化對(duì)半波長特征頻率附近及低于該頻率的彎曲波傳播影響比較小，減小中心截?cái)嗪穸取⒃龃笾行钠脚_(tái)半徑以及冪次大于2有助于形成連續(xù)且寬頻的方向帶隙。

關(guān)鍵詞：聲學(xué)黑洞； 彎曲波； 平面波展開法； 有限元分析； 局部共振

中圖分類號(hào)：TB123 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.07.010

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（52022039，U2241261）；航空科學(xué)基金（20161552014）

隨著科技的發(fā)展，航空運(yùn)載裝備對(duì)于振動(dòng)噪聲控制標(biāo)準(zhǔn)日漸嚴(yán)苛，對(duì)集成度、輕量化以及自適應(yīng)性有著更高要求，基于材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不斷發(fā)展新技術(shù)以滿足先進(jìn)裝備性能需求成為趨勢(shì)[1-2]。結(jié)構(gòu)振動(dòng)源于介質(zhì)中彈性波的傳播，新型彈性波操結(jié)構(gòu)聲學(xué)黑洞（ABH）主要通過對(duì)結(jié)構(gòu)厚度進(jìn)行裁剪來實(shí)現(xiàn)，隨著結(jié)構(gòu)厚度的減小，彎曲波波速逐漸減小，波長被壓縮，振動(dòng)幅值增大，振動(dòng)能量在聲學(xué)黑洞厚度最薄區(qū)域?qū)崿F(xiàn)能量聚集[3-4]，通過在尖端粘貼少量的阻尼材料可實(shí)現(xiàn)對(duì)聚集振動(dòng)能量的高效耗散，達(dá)到減振降噪的目的[5-6]。聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)相比傳統(tǒng)的減振降噪方法具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、效率高、頻帶范圍寬、輕質(zhì)的優(yōu)點(diǎn)，在航空航天裝備制造領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。王小東等[7-8]將內(nèi)嵌式ABH應(yīng)用于直升機(jī)駕駛艙后壁設(shè)計(jì)，以及交通運(yùn)輸裝備中常見的雙層壁板結(jié)構(gòu)，通過模擬和試驗(yàn)證實(shí)內(nèi)嵌式ABH可以有效保證寬頻減振降噪效果。但也發(fā)現(xiàn)單一內(nèi)嵌式ABH操控與耗散低頻振動(dòng)能量的能力略顯不足。早期Aklouche等[9]對(duì)內(nèi)嵌單個(gè)ABH板的色散關(guān)系的研究表明，單個(gè)聲學(xué)黑洞有效作用頻率范圍受ABH特征尺寸的限制，對(duì)于冪指數(shù)m=2的單個(gè)ABH，ABH區(qū)域的長度越長，ABH效應(yīng)起始頻率越低，也暗示單個(gè)ABH在航空裝備中的應(yīng)用局限性。因此突破ABH有效作用頻率限制的研究對(duì)于ABH在航空領(lǐng)域的應(yīng)用有著重要意義。Conlon等[10-11]對(duì)包含多個(gè)ABH板聲振特性的數(shù)值和試驗(yàn)研究初步表明，ABH陣列誘發(fā)的低階局部模態(tài)可以有效彌補(bǔ)ABH設(shè)計(jì)在中低頻性能不足的短板。趙流現(xiàn)[12]通過數(shù)值分析方法研究ABH型夾層板的振動(dòng)特性，結(jié)果表明，ABH陣列結(jié)合約束阻尼層能顯著提高夾芯板的低頻損耗因子，降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。由此人們?cè)絹碓蕉嗟仃P(guān)注陣列結(jié)構(gòu)在改善ABH中低頻波操控特性方面的可行性。

受局部共振聲子晶體和聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)[13-14]實(shí)現(xiàn)低頻波的操控這一思想的啟發(fā)，學(xué)者們開始嘗試將周期ABH結(jié)構(gòu)與局域共振思想結(jié)合起來，ABH的周期性柵格結(jié)構(gòu)可以看作一種聲子晶體結(jié)構(gòu)，由內(nèi)嵌式ABH在梁或者板結(jié)構(gòu)中陣列形成。唐利玲等[15-16]首次在一維（1D）周期ABH梁中發(fā)現(xiàn)帶隙現(xiàn)象，并通過試驗(yàn)和仿真得到了證實(shí)，隨后研究者提出在ABH區(qū)域附加質(zhì)量塊，拓寬低頻帶隙[16-17]，并將研究拓展到具有一維周期性的ABH板[18]。研究表明，包含1D ABH的一維陣列設(shè)計(jì)產(chǎn)生帶隙的本質(zhì)與布拉格（Bragg）散射和局部共振的共同作用相關(guān)，且ABH結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不同于傳統(tǒng)附加振子的本征型多頻局部共振特征，有助于實(shí)現(xiàn)多個(gè)寬頻帶隙。季宏麗等[3， 19]對(duì)1D ABH和2D ABH中的彎曲波傳播特性研究表明，2D ABH往往表現(xiàn)出比1D ABH更為復(fù)雜的操控特點(diǎn)，且在常見的板類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中：（1） 2D ABH中的波傳播路徑更復(fù)雜[3]；（2） ABH之外的板的均勻部分容易保留更多能量傳輸路徑，通過ABH元胞的波未能全部由ABH捕捉。板類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)通常需要考慮單元在兩個(gè)維度方向的分布，針對(duì)2D ABH二維陣列的彎曲波操控也成為研究難點(diǎn)。2015年，Zhu Hongfei等[20]分析了2D ABH按照正方晶格排布的色散特性，但并未發(fā)現(xiàn)顯著的全方向帶隙。為了在包含ABH的周期板結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)全方向帶隙，唐利玲等[21]在具有二維周期性的ABH陣列板結(jié)構(gòu)中，設(shè)計(jì)2D ABH間距小于其直徑，保留盡可能少的均勻區(qū)域，以保證彎曲波可以完全進(jìn)入ABH結(jié)構(gòu)，并引入附加質(zhì)量，增強(qiáng)Bragg散射效果，拓寬帶隙。

以上針對(duì)二維聲學(xué)黑洞聲子板的研究主要考慮最初由Krylov[22]提出的無中心平臺(tái)的ABH凹坑結(jié)構(gòu)，黃薇等研究發(fā)現(xiàn)含中心平臺(tái)的新型ABH凹坑表現(xiàn)出不同于傳統(tǒng)無中心平臺(tái)ABH的彎曲波傳播特征，即彎曲波聚集在偏離ABH凹坑中心的位置。目前針對(duì)2D ABH陣列的研究鮮有明晰含中心平臺(tái)ABH與無中心平臺(tái)ABH所構(gòu)造周期結(jié)構(gòu)中彎曲波傳播特征的區(qū)別。為了豐富周期ABH結(jié)構(gòu)波操控特性的理論研究基礎(chǔ)，本文面向航空裝備中常用的板類結(jié)構(gòu)，從內(nèi)嵌周期ABH板出發(fā)，研究含中心平臺(tái)2D ABH板中的彎曲波傳播問題。首先通過對(duì)比平面波展開（PWE）方法和有限元（FEM）方法分析周期ABH板實(shí)能帶結(jié)構(gòu)的差異，分析PWE方法的收斂性并明晰該方法在何種情況下適用于分析周期ABH結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)。其次主要通過FEM方法分析由含中心平臺(tái)ABH構(gòu)造的ABH聲子板的能帶結(jié)構(gòu)，通過分析本征模態(tài)、穩(wěn)態(tài)波場(chǎng)和能量分布特征，討論了含中心平臺(tái)和無中心平臺(tái)ABH構(gòu)造的周期ABH結(jié)構(gòu)操控彎曲波傳播的區(qū)別。最后探究了ABH截面特征參數(shù)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律。

1 分析方法

本節(jié)針對(duì)含中心平臺(tái)和無中心平臺(tái)的ABH截面設(shè)計(jì)，分析了其分別以方形格子陣列所構(gòu)成周期ABH板的能帶結(jié)構(gòu)，探討含中心平臺(tái)ABH截面參數(shù)對(duì)實(shí)能帶結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律。考慮圖1（a）中所示兩種非理想2D ABH截面設(shè)計(jì)構(gòu)型，含中心平臺(tái)[3]和無中心平臺(tái)[23]

對(duì)于ABH直徑DABH/2=0.1m，無中心平臺(tái)的ABH所構(gòu)成周期結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)如圖5（b）所示。對(duì)比圖5（a）可以發(fā)現(xiàn)，具有中心平臺(tái)的周期ABH結(jié)構(gòu)在1.6kHz范圍內(nèi)具有更密集的彎曲波模態(tài)。包含無中心平臺(tái)ABH的方形晶格周期結(jié)構(gòu)并未表現(xiàn)出明顯的方向帶隙。對(duì)比兩種ABH截面設(shè)計(jì)的特征模態(tài)，如圖5能帶結(jié)構(gòu)中A、B、C點(diǎn)標(biāo)記的特征模態(tài)，由振型面外分量？z表示。典型的局部共振聲子晶體的研究指出，局部共振模態(tài)對(duì)應(yīng)的能帶表現(xiàn)為平直帶[13]，圖5含中心平臺(tái)的ABH設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)，更容易在低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz時(shí)呈現(xiàn)較密集的平帶，說明含中心平臺(tái)的ABH設(shè)計(jì)更易獲得局部振動(dòng)模態(tài)。

以上分析表明，即使中心平臺(tái)的引入并未打開全方向帶隙，但對(duì)800Hz以上色散曲線的變化規(guī)律也產(chǎn)生了不可忽略的影響。除了帶隙特性之外，周期結(jié)構(gòu)會(huì)使得彈性波在某些通帶頻率下僅沿著特定的方向傳播，即彈性波方向性傳播[25]。為了進(jìn)一步理解引入中心平臺(tái)后，周期ABH結(jié)構(gòu)對(duì)結(jié)構(gòu)中彈性波傳播方向操控的影響規(guī)律，建立了如圖6（a）所示的ABH板FEM數(shù)值分析模型，板中嵌入12×12個(gè)ABH，為了消除邊界對(duì)彈性波傳播特性的影響，在模型的四周都設(shè)置了完美匹配層（PML）[26]。在ABH陣列的中心處輸入垂直于xy平面的單位幅值的簡(jiǎn)諧力激勵(lì)，模擬產(chǎn)生彎曲波，分析頻域波場(chǎng)特征。為了降低計(jì)算時(shí)長，引入對(duì)稱邊界條件，對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，如圖6（b）所示。

觀察激勵(lì)頻率為1165Hz時(shí)，圖8（a）和圖8（b）所示兩種周期ABH板結(jié)構(gòu)中的彎曲波場(chǎng)，可以發(fā)現(xiàn)，兩種結(jié)構(gòu)中的ABH區(qū)域均表現(xiàn)出顯著的局部共振，但是彎曲波在經(jīng)過兩種不同的ABH柵格后，主要傳播方向有所不同。對(duì)于含中心平臺(tái)的周期ABH結(jié)構(gòu)，經(jīng)過ABH柵格后彎曲波傳播主要在MX方向；而對(duì)于無中心平臺(tái)的周期ABH結(jié)構(gòu)，經(jīng)過ABH柵格后彎曲波沿各個(gè)方向傳播。圖8（c）和圖8（d）兩個(gè)周期ABH板結(jié)構(gòu)的SI矢量場(chǎng)顯示，隨著傳播距離的增大，結(jié)構(gòu)中能量主要向ABH區(qū)域匯聚，使得均勻部分振動(dòng)很弱。以上分析說明在不改變2D ABH直徑的情況下，通過引入中心平臺(tái)的方式改變 ABH截面特征，會(huì)在ABH半波長特征頻率附近形成較為顯著的局部共振特征，從ABH全波長特征頻率附近開始，會(huì)對(duì)ABH柵格的波操控特性造成顯著影響。

3 聲學(xué)黑洞特征參數(shù)影響

由于ABH單元的局部波動(dòng)特性會(huì)受到其截面設(shè)計(jì)參數(shù)的影響，以ГX方向波傳播特性為例，本節(jié)分析ABH直徑DABH/2=0.1m，含中心平臺(tái)ABH截面設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。圖9所示為不同中心截?cái)嗪穸萮m對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)，其他ABH截面設(shè)計(jì)參數(shù)m =2，r1=0.02m。可以看出，中心截?cái)嗪穸仍叫?，能帶結(jié)構(gòu)中平直帶越顯著，即ABH單元表現(xiàn)出的局部振動(dòng)越顯著，這是由于ABH結(jié)構(gòu)中心厚度越小，ABH能量聚集越顯著[3]，且低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz時(shí)，局部振動(dòng)模態(tài)更容易形成。中心截?cái)嗪穸茸兒袷沟秒y以形成顯著的局部共振，從而能帶結(jié)構(gòu)變得更加簡(jiǎn)單，以至于方向帶隙也逐漸變窄，同時(shí)方向帶隙的帶邊亦發(fā)生變化。如hm=0.0006m時(shí)，僅有1390～1410Hz和1080～1120Hz兩個(gè)很窄的方向帶隙，而hm=0.0012m時(shí)，僅有1245～1295Hz一個(gè)很窄的方向帶隙。此外，截?cái)嗪穸容^小時(shí)，方向帶隙的帶邊對(duì)應(yīng)為非對(duì)稱點(diǎn)處的模態(tài)；而當(dāng)截?cái)嗪穸葹?.0012m，即其和板厚比值hm/hU=0.24時(shí)，帶邊對(duì)應(yīng)為高對(duì)點(diǎn)Г和X處的模態(tài)。

當(dāng)ABH中心最薄厚度hm=0.0002m、r1=0.02m時(shí)，能帶結(jié)構(gòu)隨ABH冪指數(shù)m的變化如圖10所示?？梢钥闯?，m=1.5時(shí)，低于ABH全波長特征頻率fFull=1205Hz，存在1050～ 1120Hz和1220～1295Hz兩個(gè)窄方向帶隙。而m>2時(shí)，更加平直且密集的能帶形成連續(xù)且較寬的方向帶隙，m=3時(shí)方向帶隙覆蓋頻率范圍1250～1420Hz。冪指數(shù)m的增大使得能帶中出現(xiàn)較多的平帶，即較多的模態(tài)表現(xiàn)出顯著的局部振動(dòng)，且低于fFull=1205Hz時(shí)，局部振動(dòng)模態(tài)更容易形成，這是因?yàn)锳BH截面設(shè)計(jì)冪指數(shù)m≥2時(shí)，ABH凹坑可以有效實(shí)現(xiàn)ABH效應(yīng)[28]，實(shí)現(xiàn)能量聚集，保證局部共振模態(tài)的實(shí)現(xiàn)。雖然在不違背ABH理論的平滑性準(zhǔn)則[29]情況下，冪指數(shù)m的增大可以提升ABH能量聚集效果，增加ABH特征頻率附近以及該頻率以下的局部共振模態(tài)數(shù)目，但是過大的冪指數(shù)（如m=3）時(shí)，許多平直的能帶分支直接穿越其他的斜率不為零的能帶分支，這并不會(huì)促進(jìn)方向帶隙的打開。

當(dāng)ABH中心最薄厚度hm=0.0002m、冪指數(shù)m=2時(shí)，能帶結(jié)構(gòu)隨ABH中心平臺(tái)半徑r1的變化如圖11所示。當(dāng)中心平臺(tái)半徑逐漸變小的時(shí)候，能帶結(jié)構(gòu)越來越接近于圖5（b）中無中心平臺(tái)ABH的能帶，局部振動(dòng)的平直帶逐漸減少，且方向帶隙逐漸變窄。r1=0.01m時(shí)，低于特征頻率1205Hz時(shí)，還存在1020～1070Hz和1180～1270Hz兩個(gè)較窄的方向帶隙，當(dāng)r1減小至0.005m時(shí)，則只有1040～1115Hz一個(gè)窄方向帶隙。r1的增大所導(dǎo)致的能帶平帶逐漸增多，進(jìn)一步證實(shí)了在ABH設(shè)計(jì)中，引入中心平臺(tái)有利于在低于ABH特征頻率時(shí)，形成局部振動(dòng)模態(tài)。需要注意的是，當(dāng)中心平臺(tái)過大時(shí)，ABH區(qū)域截面厚度變化函數(shù)易違背ABH理論的平滑性準(zhǔn)則。

4 結(jié)論

本文利用有限元方法對(duì)2D ABH按照方形晶格排布的周期薄板結(jié)構(gòu)的彎曲波操控特性進(jìn)行研究，通過研究能帶結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)矢量場(chǎng)特征，分析了含中心平臺(tái)ABH與傳統(tǒng)無中心平臺(tái)ABH構(gòu)成的周期板結(jié)構(gòu)中彎曲波傳播特性的區(qū)別，結(jié)合有限元結(jié)果明確了平面波展開方法的收斂性和適用條件。FEM方法和PWE方法計(jì)算的能帶結(jié)果對(duì)比表明，PWE方法適用于分析ABH中心最薄厚度與均勻區(qū)域厚度比hm/hU比較大的情形。

針對(duì)含中心平臺(tái)ABH的周期ABH板和周期ABH條帶的能帶結(jié)構(gòu)和能量分布特征分析，發(fā)現(xiàn)含中心平臺(tái)ABH易在低于全波長特征頻率時(shí)獲得表征局部共振的平直帶，這些模態(tài)對(duì)應(yīng)的能帶類似于傳統(tǒng)局部共振聲子晶體中典型的平直帶，更容易打開方向帶隙。從ABH全波長特征頻率附近開始，含中心平臺(tái)ABH構(gòu)成的周期板結(jié)構(gòu)較容易實(shí)現(xiàn)彎曲波能量的定向傳播。通過研究ABH截面特征參數(shù)對(duì)彎曲波能帶結(jié)構(gòu)的影響，發(fā)現(xiàn)內(nèi)嵌式ABH截面的變化對(duì)半波長特征頻率附近及以下彎曲波的傳播特性影響比較小。對(duì)于含中心平臺(tái)的ABH設(shè)計(jì)，減小中心截?cái)嗪穸取⒃龃笾行钠脚_(tái)半徑、截面多項(xiàng)式函數(shù)冪次大于2時(shí)，更容易在低頻實(shí)現(xiàn)較多表征局部共振的平直帶，有助于形成連續(xù)且寬頻的方向帶隙。本文針對(duì)ABH陣列的波操控特性研究對(duì)后續(xù)利用2D ABH實(shí)現(xiàn)航空裝備板結(jié)構(gòu)中寬頻彎曲振動(dòng)能量的引導(dǎo)有重要理論意義。

參考文獻(xiàn)

[1]葛文杰， 張永紅， 劉博， 等. 基于超彈性材料拓?fù)鋬?yōu)化方法的變形翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J]. 航空科學(xué)技術(shù)， 2022， 33（12）： 70-80. Ge Wenjie， Zhang Yonghong， Liu Bo， et al. Structural design of deformable wing based on hyperelastic material topology optimization method[J]. Aeronautical Science & Technology， 2022， 33（12）： 70-80. （in Chinese）

[2]邵敏強(qiáng)， 宋杰， 姚鵬， 等. 顆粒阻尼器耗能特性及振動(dòng)抑制研究[J]. 航空科學(xué)技術(shù)， 2023， 34（6）： 86-94. Shao Minqiang， Song Jie， Yao Peng， et al. Study on energy dissipation characteristics and vibration suppression of particle damper[J]. Aeronautical Science & Technology， 2023， 34（6）： 86-94. （in Chinese）

[3]Huang Wei， Ji Hongli， Qiu Jinhao， et al. Wave energy focaliza‐ tion in a plate with imperfect two-dimensional acoustic black hole indentation[J]. Journal of Vibration and Acoustics， 2016， 138（6）： 061004.

[4]Tang Liling， Cheng Li， Ji Hongli， et al. Characterization of acoustic black hole effect using a one-dimensional fully-coupled and wavelet-decomposed semi-analytical model[J]. Journal of Sound and Vibration， 2016， 374： 172-184.

[5]O’Boy D J， Krylov V V. Damping of flexural vibrations in circular plates with tapered central holes[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330（10）： 2220-2236.

[6]Ji Hongli， Wang Xiaodong， Qiu Jinhao， et al. Noise reduction inside a cavity coupled to a flexible plate with embedded 2D acoustic black holes[J]. Journal of Sound and Vibration， 2019， 455（1）： 324-338.

[7]王小東， 秦一凡， 季宏麗. 基于聲學(xué)黑洞效應(yīng)的直升機(jī)駕駛艙寬帶降噪[J]. 航空學(xué)報(bào)， 2020， 41（10）： 11. Wang Xiaodong， Qin Yifan， Ji Hongli， et al. Broadband noise reduction inside the helicopter cockpit by acoustic black hole effect[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2020， 41（10）： 11. （in Chinese）

[8]王小東， 季宏麗， 裘進(jìn)浩. 聲學(xué)黑洞原理的雙層加筋板-腔系統(tǒng)降噪研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2022， 35（2）： 503-513. Wang Xiaodong， Ji Hongli， Qiu Jinhao. Noise reduction of a double-layer stiffened plate-cavity system based on acoustic black hole principle [J]. Journal of Vibration Engineering， 2022， 35（2）： 503-513. （in Chinese）

[9]Aklouche O， Pelat A， Maugeais S， et al. Scattering of flexural waves by a pit of quadratic profile inserted in an infinite thin plate[J]. Journal of Sound and Vibration， 2016， 375： 38-52.

[10]Conlon S C， Fahnline J B， Fabio S. Numerical analysis of the vibroacoustic properties of plates with embedded grids of acoustic black holes[J]. Journal of the Acoustical Society of America， 2015， 137（1）： 447-457.

[11]Feurtado P A， Conlon S C. An experimental investigation of acoustic black hole dynamics at low， mid， and high frequencies[J]. Journal of Vibration and Acoustics， 2016， 138（6）：1-10.

[12]Zhao Liuxian. Low-frequency vibration reduction using a sandwich plate with periodically embedded acoustic black holes[J]. Journal of Sound and Vibration， 2019， 441： 165-171.

[13]溫熙森， 溫激鴻， 郁殿龍， 等. 聲子晶體[M]. 北京： 國防工業(yè)出版社， 2009. Wen Xisen， Wen Jihong， Yu Dianlong，et al.Phononic crystals[M]. Beijing： National Defense Industry Press， 2009. （in Chinese）

[14]趙瑞， 嚴(yán)昊， 席柯. 聲學(xué)超表面抑制第一模態(tài)研究[J]. 航空科學(xué)技術(shù)， 2020， 31（11）： 104-112. Zhao Rui，Yan Hao，Xi Ke，et al. Research on acoustic metasur‐faces for the suppression of the first mode[J]. Aeronautical Sci‐ence & Technology， 2020， 31（11）： 104-112.（in Chinese）

[15]Tang Liling，Cheng Li. Broadband locally resonant band gaps in periodic beam structures with embedded acoustic black holes[J]. Journal of Applied Physics， 2017， 121（19）： 194901.

[16]Tang Liling， Cheng Li. Ultrawide band gaps in beams with double-leaf acoustic black hole indentations[J]. Journal of the Acoustical Society of America， 2017， 142（5）： 2802.

[17]Tang Liling，Cheng Li. Impaired sound radiation in plates with periodic tunneled Acoustic Black Holes[J]. Journal of Applied Physics， 2020， 135： 106410.

[18]Tang Liling，Cheng Li. Periodic plates with tunneled AcousticBlack-Holes for directional band gap generation[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2019， 133： 106257.

[19]Ji Hongli， Luo Jing， Qiu Jinhao， et al. Investigations on flexural wave propagation and attenuation in a modified one-dimensional acoustic black hole using a laser excitation technique[J]. Mechanical Systems & Signal Processing， 2018， 104： 19-35.

[20]Zhu Hongfei， Semperlotti F. Phononic thin plates with embedded acoustic black holes[J]. Physical Review B， 2014， 91（10）： 39-43.

[21]Tang Liling， Cheng Li， Chen Kean. Complete sub-wavelength flexural wave band gaps in plates with periodic acoustic black holes[J]. Journal of Sound and Vibration， 2021， 502： 116102.

[22]Krylov V V. Acoustic “black holes” for flexural waves and their potential applications[C]//Proceedings of the Institute of Acoustics Spring Conference， 2002： 25-27.

[23]Krylov V V. Geometrical-acoustics approach to the description of localized vibrational modes of an elastic solid wedge[J]. Soviet Physics-Technical Physics， 1990， 35（1）： 137-140.

[24]郁殿龍.基于聲子晶體理論的梁板類周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙特性研究[D]. 長沙： 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)， 2006. Yu Dianlong， Research on the vibration band gaps of periodic beams and plates based on thetheory of phononic crystals [D]. Changsha： National University of Defense Technology， 2006.（in Chinese）

[25]Wen Jihong， Yu Dianlong， Wang Gang， et al. The directional propagation characteristics of elastic wave in two-dimensional thin plate phononic crystals[J]. Physics Letters A， 2007， 364 （3-4）： 323-328.

[26]Berenger J P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J]. Journal of Computational Physics， 1994， 114（2）： 185-200.

[27]Gavric L， Carlsson U， Feng L. Measurement of structural intensity using a normal mode approach[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997， 206（1）： 87-101.

[28]Mironov M A. Propagation of a flexural wave in a plate whose thickness decreases smoothly to zero in a finite interval[J]. Soviet Physics： Acoustics， 1988， 34（3）： 318-319.

[29]Feurtado P A， Conlon S C， Semperlotti F. A normalized wave number variation parameter for acoustic black hole design[J]. Journal of the Acoustical Society of America， 2014， 136（2）： 148-52.

Flexural Wave Mainpulation Characteristics of a Periodic Plate with Embedded 2D Acoustic Black Holes

Han Bing， Ji Hongli， Qiu Jinhao

State Key Laboratory of Mechanics and Control of Aerospace Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China

Abstract： Acoustic Black Hole （ABH） structure can be achieved by tailoring the thickness of a structure according to a power function， thus altering the phase velocity of the flexural wave by changing the impedance and enabling energy focalization. The ABH provides a new idea for vibration and noise control in aerospace structures. The ABH array shows the potential to improve wave manipulation characteristics of the ABH design at the middle-low frequency. This paper focuses on studying the flexural wave propagation in a thin plate with embedded periodic two-dimensional （2D） acoustic black holes. The ABH that differs from the classical one proposed by Krylov is centrally with a platform and expected to obtain different wave manipulation properties when it is arranged in the square lattice. The band structure of an infinite periodic ABH plate and the structural intensity vector field in a finite plate with ABH lattice are scrutinized by establishing finite element models. The comparison of band structure results from finite element and plane wave expansion methods clarifies the convergence and appl_{w3YZgx1BelDE9SNMJvw2+Q==}icable conditions of the plane wave expansion method. Numerical results show that the ABH with a central platform is easy to obtain a flat band representing local resonance at low frequency when it is arranged in the square lattice. Near or above the full-wavelength characteristic frequency of the 2D ABH， the square lattice consisting of the ABH with a central platform shows different wave energy direction propagation from the ABH without a central platform. Finally， the influence of ABH cross-section parameters on the band structure is analyzed. The results show that ABH profile parameters have less effect on band structure below the half-wavelength characteristic frequency. The reduction of the central truncation thickness， the increase of the central platform radius， and the power exponent larger than 2 are conducive to forming a broadband directional band gap.

Key Words： ABH； flexural waves； plane wave expansion method； finite element analysis； local resonance