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    巧建慣性參考系解決反沖類問題

    2024-11-08 00:00:00吳曉明王珍陶文煥
    物理教學(xué)探討 2024年10期

    摘 要:教材不僅是核心知識(shí)的載體,更有很多素材為學(xué)生深度學(xué)習(xí)和高階思維的培養(yǎng)埋下了“伏筆”。以人教版“反沖現(xiàn)象 火箭”一節(jié)為例,結(jié)合教材正文、課后習(xí)題、教參解答等素材進(jìn)行重新加工、拓展遷移,從而促成高中階段學(xué)生對(duì)火箭發(fā)射及動(dòng)量守恒問題的深度學(xué)習(xí)。

    關(guān)鍵詞:慣性參考系;動(dòng)量守恒;反沖現(xiàn)象

    中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2024)10-0018-3

    收稿日期:2024-07-23

    作者簡(jiǎn)介:吳曉明(1981-),男,中學(xué)高級(jí)教師,主要從事高中物理教學(xué)工作。

    我國(guó)早在宋代就發(fā)明了火箭,并在航空航天、火箭等技術(shù)方面取得了舉世矚目的成就。人教版高中物理選擇性必修一教材第一章第6節(jié)中從動(dòng)量守恒定律的視角講述了火箭發(fā)射的基本原理——反沖現(xiàn)象。它既涵蓋了核心知識(shí)的學(xué)習(xí),同時(shí)又是學(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng)的良好載體,并且課本正文也為學(xué)生高階思維的培養(yǎng)即慣性參考系的轉(zhuǎn)換埋下伏筆。本文從教材正文的啟發(fā)、課后習(xí)題的拓展、模型理解的深化三個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行重構(gòu),彰顯對(duì)核心知識(shí)的深度復(fù)習(xí),突出科學(xué)思維能力的進(jìn)階培養(yǎng),進(jìn)一步提升高中階段學(xué)生對(duì)火箭升空問題的認(rèn)知。

    1 課本正文,醍醐灌頂

    課本正文部分點(diǎn)明建立合適的慣性參考系,研究火箭噴射燃料后獲得的速度增量問題。

    例1 (課本原文呈現(xiàn))設(shè)火箭飛行時(shí)在極短時(shí)間Δt內(nèi)噴射燃?xì)獾馁|(zhì)量為Δm,噴出的燃?xì)庀鄬?duì)噴氣前火箭的速度為u,噴出燃?xì)夂蠡鸺|(zhì)量為m。我們可以計(jì)算出火箭在這樣一次噴氣后增加的速度Δv。[1]

    以噴氣前的火箭為參考系。噴氣前火箭動(dòng)量為0,噴氣后火箭動(dòng)量為mΔv,燃?xì)鈩?dòng)量為Δmu。根據(jù)動(dòng)量守恒定律,噴氣后火箭與燃?xì)獾目倓?dòng)量仍然為0,所以

    mΔv+Δmu=0 (1)

    解出

    Δv=-u(2)

    這里取的參考系已經(jīng)不局限于地面這個(gè)常見的慣性參考系。在該參考系下,計(jì)算燃料燃燒后火箭獲得的速度增量明顯更為方便。為此,本文重點(diǎn)都在非地面的慣性參考系下解決問題,有時(shí)候可以帶來(lái)意想不到的收獲。在教學(xué)中,需要學(xué)生理解這一做法的正確性和必要性,這也非常有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。我們分別以本節(jié)課后兩道練習(xí)題為例來(lái)闡釋。

    2 課后練習(xí)一,相輔相成,一題多解

    例2 用火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星,假設(shè)最后一級(jí)火箭的燃料用完后,火箭殼體和衛(wèi)星一起以v=7×103 m/s的速度繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知衛(wèi)星的質(zhì)量為m0=500 kg,最后一級(jí)火箭殼體的質(zhì)量為m=100 kg。某時(shí)刻火箭殼體與衛(wèi)星分離,分離時(shí)衛(wèi)星與火箭殼體沿軌道切線方向的相對(duì)速度為u=1.8×103 m/s。試分析計(jì)算:分離后衛(wèi)星的速度是多大?火箭殼體的速度是多大?[1]

    2.1 解法一(教師教學(xué)用書解法)

    設(shè)分離后衛(wèi)星與火箭殼體相對(duì)地面的速度分別為v1、v2,分離時(shí)系統(tǒng)在軌道切線方向上動(dòng)量守恒,有[2]

    (m0+m)v=m0 v1+mv2(3)

    且衛(wèi)星與火箭殼體的相對(duì)速度

    u=v1-v2=1.8×103 m/s(4)

    解得v1=7.3×103 m/s,v2=5.5×103 m/s

    2.2 解法二(轉(zhuǎn)換參考系)

    取分離前瞬間,火箭殼體和衛(wèi)星為參考系,且該時(shí)刻速度方向?yàn)檎较颉?/p>

    分離后衛(wèi)星與火箭殼體相對(duì)該參考系的速度分別為v1'、v2',分離時(shí)系統(tǒng)在軌道切線方向上動(dòng)量守恒,且系統(tǒng)總動(dòng)量為0,則

    0=m0 v1'+mv2'(5)

    又衛(wèi)星與火箭殼體的相對(duì)速度

    u=v1'-v2'=1.8×103 m/s(6)

    解得v1'=0.3×103 m/s,v2'=-1.5×103 m/s

    所以,在地面參考系下

    v1=v1'+v=7.3×103 m/s,v2=v2'+v=5.5×103 m/s

    解決該問題時(shí),學(xué)生往往會(huì)采用解法一,因?yàn)樵摻夥ㄊ褂霉礁?、更方便。?qiáng)調(diào)此題的兩種解法是為了幫助學(xué)生熟悉轉(zhuǎn)換慣性參考系解決問題的思路,同時(shí)也說(shuō)明了不同慣性參考系下動(dòng)量守恒定律的普遍適用性,為以后通過轉(zhuǎn)換不同的慣性參考系來(lái)解決復(fù)雜問題奠定基礎(chǔ)。

    3 課后練習(xí)二,對(duì)比顯著

    例3 一個(gè)士兵坐在皮劃艇上,他連同裝備和皮劃艇的總質(zhì)量為M=120 kg。這個(gè)士兵用自動(dòng)步槍在2 s內(nèi)沿水平方向連續(xù)射出10發(fā)子彈,每發(fā)子彈的質(zhì)量為m0=10 g,子彈離開槍口時(shí)相對(duì)步槍的速度為u=800 m/s。射擊前皮劃艇處于靜止?fàn)顟B(tài),不考慮水的阻力。[1]

    (1)每次射擊后皮劃艇的速度改變多少?

    (2)連續(xù)射擊后皮劃艇的速度多大?

    3.1 解法一(教師教學(xué)用書解法)

    (1)取子彈射出的反方向?yàn)檎较颍?]。

    設(shè)第1發(fā)子彈射出后皮劃艇的速度大小為v1,由動(dòng)量守恒定律可知

    0=(M-m0)v1+m0(v1-u)(7)

    解得v1=u

    設(shè)第2發(fā)子彈射出后皮劃艇的速度大小為v2,由動(dòng)量守恒定律可知

    (M-m0)v1=(M-2m0)v2+m0(v2-u)(8)

    解得v2-v1=

    設(shè)第3發(fā)子彈射出后皮劃艇的速度大小為v3,由動(dòng)量守恒定律可知

    (M-2m0)v2=(M-3m0)v3+m0(v3-u)(9)

    解得v3-v2=

    ……

    若第10發(fā)子彈射出后皮劃艇的速度大小為v10,由動(dòng)量守恒定律可知

    (M-9m0)v9=(M-10m0)v10+m0(v10-u)(10)

    解得v10-v9=

    通過歸納得出,射出n發(fā)子彈,每次射擊后皮劃艇速度的改變量

    Δv== m/s(11)

    (2)連續(xù)射擊10次后,可得

    v10=++…+=0.67 m/s

    該解法雖然比較清晰地將每發(fā)子彈的射出過程展現(xiàn)出來(lái),但是代數(shù)運(yùn)算比較繁瑣,有沒有較為簡(jiǎn)潔的求解方法呢?不少教師可能擔(dān)心學(xué)生能力跟不上,從而避而不談。其實(shí),在上個(gè)例題分析清楚的情況下,我們完全可以通過巧取慣性參考系的方法來(lái)解決該問題。

    3.2 解法二(轉(zhuǎn)換參考系)

    (1)設(shè)皮劃艇、槍(含子彈)及人構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)量為M,每發(fā)子彈的質(zhì)量為m0,子彈相對(duì)步槍的速度大小為u。以(n-1)發(fā)子彈射出后皮劃艇后退的速度為參考系。當(dāng)槍再打出第n發(fā)子彈后,子彈m0的速度為v0,皮劃艇后退的速度為v'n,因?yàn)閰⒖枷颠x得巧妙,這里皮劃艇后退的速度v'n就是我們需要求解的射出第n發(fā)子彈后皮劃艇速度的改變量Δv。

    由動(dòng)量守恒定律(總動(dòng)量為0)可得

    (M-nm0)v'n+m0v0=0(12)

    由相對(duì)速度公式可知

    v'n-v0=u(13)

    聯(lián)立兩式解得

    v'n=Δv== m/s(14)

    (2)連續(xù)射擊10次后,可得

    v10=∑Δv= m/s=0.67 m/s(15)

    解法二計(jì)算結(jié)果與解法一相同,但是計(jì)算量卻大大減少,由此可見,選取合適的慣性參考系,是高效解決動(dòng)量守恒定律問題的關(guān)鍵。

    4 延伸拓展,萬(wàn)法歸一

    火箭模型中,氣體的噴射并不像前面所處理例題中子彈一顆顆發(fā)射那樣,火箭氣體的噴射具有連續(xù)性,對(duì)于這樣一個(gè)實(shí)際問題,又該如何處理呢?我們不妨抓住主要矛盾,建立一個(gè)理想化的火箭模型來(lái)分析。

    例4 近代火箭是利用把燃料燃燒后的廢氣逐漸向外噴出的辦法來(lái)增加火箭自身的運(yùn)動(dòng)速度。設(shè)噴出廢氣的相對(duì)速度沿物體軌道切向,且為一個(gè)常量u;火箭在運(yùn)行中不受任何外力作用;火箭起始質(zhì)量為M,空火箭質(zhì)量為ms,求當(dāng)燃料燒完時(shí),火箭能夠達(dá)到的速度。[3]

    根據(jù)變質(zhì)量物體的基本運(yùn)動(dòng)微分方程(密舍爾斯基方程),可知[4]

    m=-u(16)

    利用初始條件,兩邊積分

    =-(17)

    當(dāng)燃料燒完時(shí),火箭能夠達(dá)到的速度為

    v=uln(18)

    從代數(shù)形式上來(lái)看,(15)式與(18)式有巨大的差異,但是如果我們將火箭噴射氣體的過程無(wú)限細(xì)分之后,可以看成一小份一小份氣體被火箭接連噴出,這時(shí)一份一份的氣體和上述例題中槍射出的一發(fā)一發(fā)子彈有極大的相似性。我們不妨大膽地將(18)式代入上述例3中,看看會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)。

    v=uln=800×ln=

    0.666 944 599 m/s

    由(15)式計(jì)算出

    v10==0.666 916 799 m/s

    對(duì)比可知Δv1=v-v10=2.78×10-5 m/s

    二者還是有細(xì)微差距,為了尋找其中的原因,我們不妨將例3中單發(fā)質(zhì)量m0=10 g的10發(fā)子彈,重新加工成單發(fā)質(zhì)量m'0=1 g的100發(fā)子彈,前后兩種情況下子彈總質(zhì)量相同,并讓每發(fā)子彈仍以相同的相對(duì)速度u=800 m/s射出槍口,則根據(jù)例3解法二可知,100發(fā)子彈射擊完成1zL59Gr5ZuJAHnfN4WyszfemdM8nyCqpcNvwJn6JBY8=后,皮劃艇的速度

    v===0.666 941 819 m/s

    此時(shí)Δv2=v-v100=2.78×10-6 m/s

    以此類推,再將總質(zhì)量相同的子彈加工成單發(fā)質(zhì)量m"=0.1 g的1000發(fā)子彈,并讓每發(fā)子彈仍以相同的相對(duì)速度u=800 m/s射出槍口,則1000發(fā)子彈射擊完成后,皮劃艇的速度

    v==

    =0.666 944 321 m/s

    此時(shí)Δv3=v-v1000=2.779×10-7 m/s

    非常明顯Δv1>Δv2>Δv3,總質(zhì)量相同的子彈,隨著細(xì)分的數(shù)量不斷增加,其計(jì)算結(jié)果也越來(lái)越接近由微分方程分析變質(zhì)量物體所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果。

    由此可見,針對(duì)火箭反沖類問題的定量研究,高中物理學(xué)習(xí)體系中,由于缺乏高等數(shù)學(xué)相關(guān)工具的支撐,火箭發(fā)射類連續(xù)變質(zhì)量問題的求解往往難以下手。退而求其次,將諸如例3的槍一發(fā)接著一發(fā)打出子彈、平板車上一個(gè)人接著一個(gè)人跳離車面等簡(jiǎn)化版的問題,作為火箭類問題的替代品呈現(xiàn)在學(xué)生面前,此類問題利用中學(xué)階段簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以定量完成求解,同時(shí)由于牽涉到的個(gè)體數(shù)量眾多,以地面為參考系,代數(shù)計(jì)算量過大,我們可以不停地轉(zhuǎn)換參考系,以此來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

    5 總結(jié)與展望

    高中物理學(xué)習(xí)中,各種物理模型是良好的學(xué)習(xí)素材,教師可以選擇合適的模型,帶領(lǐng)學(xué)生從物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)、相互作用及能量等角度,運(yùn)用模型建構(gòu)思維方式解決問題,從而全面提升學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)。教師也需要不斷研讀課本以及教師用書,適當(dāng)補(bǔ)充競(jìng)賽以及大學(xué)普通物理的知識(shí),拓寬自身視野,必要時(shí)可以從多維度幫助學(xué)生解決問題。

    參考文獻(xiàn):

    [1]人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理選擇性必修第一冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2020.

    [2]人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書物理選擇性必修第一冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2020.

    [3]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2018.

    [4]舒幼生.力學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2005.

    (欄目編輯 趙保鋼)

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