基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與早至波的波方程反演

摘 要：針對傳統(tǒng)波方程全波形反演步驟繁瑣、計(jì)算量大和難度高等問題，提出一種基于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的早至波反演方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法在早至波反演中交并比IoU（Intersection over Union）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）分別達(dá)到74.01%和73.72%，可對速度模型進(jìn)行有效重構(gòu)。

關(guān)鍵詞：波方程;早至波;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);反演;交并比;平均精度均值

中圖分類號：P631.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2024）30-0040-04

Abstract： Aiming at the problems of tedious steps， large amount of calculation and high difficulty in the full waveform inversion of traditional wave equation， a method for early-arrival wave inversion based on fully connected neural network is proposed. Experimental results show that the proposed method achieves 74.01% and 73.72% in the Intersection over Union（IoU） and mean Average Precision（mAP） of early-arrival wave inversion， which can effectively reconstruct the velocity model.

Keywords： wave equation; early arrival wave; neural network; inversion; Intersection over Urion; mean Average Precision

波方程主要描述自然界中的各種波動(dòng)現(xiàn)象，求解一維波動(dòng)方程的一般步驟是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通過求解該方程得到波動(dòng)解析表達(dá)式。我們通過有限差分法求解以下波動(dòng)方程[1]進(jìn)行數(shù)值正演得到仿真波形數(shù)據(jù)集

▽P=-ρ

P=-ρc2▽u+Src（z，t） ， （1）

式中：z代表豎直方向的一維空間變量，t為時(shí)間項(xiàng)，P=P（z，t）為壓強(qiáng)，作為常規(guī)空間梯度算子，u（z，t）代表豎直方向上的位移，ρ=ρ（z）為壓強(qiáng)場密度分布，c=c（z）代表速度場，Src代表激發(fā)振動(dòng)源項(xiàng)。

相較于正演，傳統(tǒng)波方程反演的具體公式較為復(fù)雜，其本質(zhì)框架是對以下殘差平方和目標(biāo)函數(shù)J的優(yōu)化[2]

J=||dcalc-dobs||2 ， （2）

式中：dcalc代表通過反演計(jì)算得到的速度場數(shù)據(jù)，dobs代表原始速度場數(shù)據(jù)。搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)反演，意義在于使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去替代反演的過程，減少計(jì)算難度和時(shí)間。

1 方法

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演波方程一般根據(jù)早至波或初至走時(shí)，張利振等[3]提出的根據(jù)初至走時(shí)反演地層速度求解非線性地震走時(shí)問題以及Tarantola[4]提出的基于最小二乘法的全波形反演理論對波形反演起到了很大的推進(jìn)作用，通過早至波進(jìn)行反演也已經(jīng)擁有了一定研究基礎(chǔ)[5]。甚至也有相關(guān)研究[6]將早至波和初至走時(shí)聯(lián)合反演。本文將利用早至波信息，完成基于早至波的波形反演。

近年來，深度學(xué)習(xí)在圖像識(shí)別、語音處理等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，為地震速度建模提供了新的方法[7-11]，例如U-Net神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生成對抗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和全卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等都對該領(lǐng)域的研究提供便利。然而，當(dāng)前可獲取地震數(shù)據(jù)集較少，構(gòu)建豐富且具有復(fù)雜特征的地震速度模型是當(dāng)前深度學(xué)習(xí)速度建模的一大挑戰(zhàn)。本文使用已搭建好的地震波仿真器依據(jù)一定的速度場計(jì)算得出地震早至波的早至壓強(qiáng)，避免真實(shí)數(shù)據(jù)中噪聲對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的干擾，使訓(xùn)練更加理想化。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體優(yōu)化方式為反向傳播，是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最有效且最常用的方法[12-14]：訓(xùn)練過程中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果與實(shí)際結(jié)果會(huì)產(chǎn)生誤差，計(jì)算過程輸出與實(shí)際輸出之間的誤差，并將該誤差從輸出層向隱藏層直至輸入層反向傳播[15]

wl→wl-η∑x δl（al-1）T

bl→bl-η∑x δl， （3）

式中：wl表示第l層權(quán)重，al-1表示第l-1層輸出，δl表示第l層誤差，bl表示第l層偏置，η表示學(xué)習(xí)率，“→”表示對內(nèi)部參數(shù)的更新。

本文計(jì)算不同速度場的波方程得出縱深-時(shí)間的時(shí)空壓強(qiáng)場數(shù)組，對于速度場而言：由長度為2 000 ft的縱深上的速度值構(gòu)成速度場;對于壓強(qiáng)場而言：每一列代表縱軸上某一個(gè)接收器在不同時(shí)間上的壓強(qiáng)大小，共有30列，每一行代表某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上不同接收點(diǎn)處的壓強(qiáng)大小，根據(jù)波傳導(dǎo)到最深處的時(shí)間行數(shù)會(huì)有所變化，約在1 000行以內(nèi)，且早至拾取完畢的時(shí)刻也會(huì)根據(jù)速度場的變化而變化，假定每0.01 s進(jìn)行一次壓強(qiáng)快照，接收點(diǎn)獲取一次壓強(qiáng)值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以地震早至波的早至壓強(qiáng)作為輸入標(biāo)簽，速度場作為輸出標(biāo)簽，通過兩層隱藏層將地震數(shù)據(jù)由（z，t）域映射到速度模型（z，c）域，并在訓(xùn)練過程中不斷更新隱藏層的權(quán)重w和偏置b，以達(dá)到使反演速度場貼近于真實(shí)速度場的目的。該過程可以用如下公式表示

θ（w，b）=argmin[θ（d）-v] ， （4）

式中：θ表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算，w表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的權(quán)重，b表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的偏置，d表示地震早至波數(shù)據(jù)，θ（d）表示預(yù)測速度場，v表示真實(shí)速度場。

使用網(wǎng)格搜索的方式進(jìn)行超參數(shù)調(diào)優(yōu)，在訓(xùn)練過程中不斷優(yōu)化得到適合該網(wǎng)絡(luò)模型的超參數(shù)：學(xué)習(xí)率為0.01，迭代次數(shù)為256次，每批次加載64組數(shù)據(jù)。輸入層神經(jīng)元數(shù)量為30，代表由30個(gè)接收器接收到的早至波壓強(qiáng)，兩層隱藏神經(jīng)元數(shù)量分別為300和1 000，輸出層神經(jīng)元數(shù)量為2 000，代表波傳導(dǎo)的深度為2 000 ft。使用FCN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理回歸問題最常用的ReLU函數(shù)作為激活函數(shù)，用于引入非線性因素，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠擬合復(fù)雜的非線性關(guān)系。損失函數(shù)則使用普適的均方差損失函數(shù)。

具體方法的流程如圖1所示。

數(shù)據(jù)選?。河?jì)算不同速度場的波方程得出縱深-時(shí)間的時(shí)空數(shù)組，拾取每一列上的早至壓強(qiáng)數(shù)據(jù)。

輸入層：輸入層神經(jīng)元數(shù)量為30，代表由30個(gè)接收器接收到的早至波壓強(qiáng)，將64批次的早至波向量構(gòu)成的混淆矩陣作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。

隱藏層：設(shè)置兩層隱藏層神經(jīng)元，數(shù)量分別為300和1 000，可以有效且平穩(wěn)地從輸入層30個(gè)神經(jīng)元傳播到輸出層2 000個(gè)神經(jīng)元。在訓(xùn)練過程中不斷計(jì)算梯度和更新神經(jīng)元層之間的偏置與權(quán)重，實(shí)現(xiàn)誤差的反向傳播。

輸出層：輸出層神經(jīng)元數(shù)量為2 000，代表波傳導(dǎo)的深度為2 000 ft，以64批次的真實(shí)速度場作為輸出。

反演對比：將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演出的速度場與真實(shí)速度場進(jìn)行對比，觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是否能準(zhǔn)確反演波方程。

2 數(shù)據(jù)來源和選取

有限差分法有計(jì)算迅速、精度較高、易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，故使用此方法求解波方程，對速度場進(jìn)行正演，得到其數(shù)值解，使用傳統(tǒng)STA/LTA方法拾取早至波壓強(qiáng)，在理想的低信噪比環(huán)境下快速且簡易[16]，最終將早至波壓強(qiáng)場與真實(shí)速度場構(gòu)成的數(shù)據(jù)對作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練標(biāo)簽，劃分80%的訓(xùn)練標(biāo)簽用于訓(xùn)練，20%的訓(xùn)練標(biāo)簽用于測試。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練結(jié)果很大程度上依賴數(shù)據(jù)集規(guī)模，不合適的數(shù)據(jù)集往往會(huì)造成以下問題。

當(dāng)數(shù)據(jù)量過多，模型可能會(huì)過度擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，過度學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的噪聲和特定的樣本特征，而忽略了一般化的模式。這導(dǎo)致模型在未見過的數(shù)據(jù)上表現(xiàn)不佳。

過少的數(shù)據(jù)集模型可能無法捕捉到數(shù)據(jù)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和泛化模式，導(dǎo)致模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)上都表現(xiàn)不佳，從而無法在真實(shí)反演中推廣到新數(shù)據(jù)上。

不合理的數(shù)據(jù)集需要更多的計(jì)算資源進(jìn)行訓(xùn)練，包括更多的內(nèi)存、更長的訓(xùn)練時(shí)間和更高的計(jì)算成本。本文通過多次實(shí)驗(yàn)，最終選定數(shù)據(jù)集大小為1 280組，其次限制所有類型速度場的范圍為[1 219.2 m/s，2 743.2 m/s]，速度場層數(shù)為4層。本文仿真了上述速度場類型，在此基礎(chǔ)上對速度場求解波方程的到壓強(qiáng)場。圖2展示了其中2種速度場類型對應(yīng)的壓強(qiáng)場的求取過程。

3 結(jié)果

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果與分析

如圖3所示，可以看到通過輸入早至波反演出速度場，將真實(shí)速度場與反演速度場進(jìn)行對比，顯示了該方法可以精細(xì)刻畫層狀速度場，整體而言較為接近真實(shí)速度場，反演效果較好，但加入小范圍凹陷后，其并不能有效刻畫凹陷處速度場，KnI/SPfLCXzvEwHxSknstA==對于凹陷處速度場反演并不夠充分，精確度有待提高。

3.2 模型評估

使用常見回歸模型評價(jià)指標(biāo)，包括交并比IoU（Intersection over Union）、平均精度AP（Average Precision）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）。這些指標(biāo)統(tǒng)稱為測試誤差，是測試集的預(yù)測值和真實(shí)值的統(tǒng)計(jì)量通過多方位標(biāo)準(zhǔn)評估該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力和預(yù)測高效性。將速度場與x軸形成的區(qū)域視為待預(yù)測物體，可得出本模型訓(xùn)練集平均IoU約為0.98，測試集平均IoU約為0.74，故將IoU閾值設(shè)定為0.8，IoU≥0.8的測試用例視為正確預(yù)測，將模型轉(zhuǎn)換為分類任務(wù)，畫出精準(zhǔn)率-召回率PR（Precision-Recall）曲線、計(jì)算方波狀速度場和階梯狀速度場情況下的AP和總的mAP。

PR曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是用于評估分類模型優(yōu)劣的常用方法，圖4表明本模型PR曲線較為理想，且表1中2種分類AP值波動(dòng)不大且得出平均值mAP符合預(yù)期，這說明本文神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有一定泛化能力，在測試范圍內(nèi)預(yù)測精確性較高。

但是本模型依然存在一定的局限性：在選取數(shù)據(jù)集時(shí)，選定速度場為層狀速度場，且規(guī)定速度場的層數(shù)和范圍，這使本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演其他類型的速度場時(shí)效果不佳。其次，對于現(xiàn)實(shí)世界中的地震波而言，速度場不可避免會(huì)存在一定塌陷[17]，即小范圍孤立異常體，在后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化中，可針對這一問題進(jìn)行進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

本文通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了面向早至波的波方程反演方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果顯示，早至波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演方法可以精確地刻畫層狀速度場，具有一定反演精度。隨機(jī)訓(xùn)練過程對相同層狀速度模型的建模結(jié)果顯示，模型預(yù)測精度不具有隨機(jī)性，是比較穩(wěn)定的，并且花費(fèi)較少的時(shí)間成本和運(yùn)算成本[18]。但在現(xiàn)實(shí)世界的地震波或者其他應(yīng)用場景中，需要獲取足夠數(shù)量且具有不同特征的數(shù)據(jù)集，以提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的的泛化能力和應(yīng)用范圍。

參考文獻(xiàn)：

[1] 斯小琴，陳大偉.一維波動(dòng)方程的計(jì)算模擬[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，43（3）：22-25.

[2] 崔叢越，王彥賓.一維速度結(jié)構(gòu)的地震波全波形反演理論測試[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2019，55（2）：246-252.

[3] 張利振，孫成禹，王志農(nóng)，等.面波信息約束的初至波走時(shí)層析反演方法[J].物探與化探，2023，47（5）：1198-1205.

[4] TARANTOLA A. Inversion seismi reflection data in the acoustic approximation[J].Geophysics，1984，49（8）：1259-1266.

[5] 孫明皓，余瀚，陳雨青，等.基于U形多層感知機(jī)網(wǎng)絡(luò)的地震波初至拾取與反演[J/OL].計(jì)算機(jī)應(yīng)用：1-11[2024-04-15].http：//kns.cnki.net/kcms/detail/51.1307.TP.20230828.1444.011.html.

[6] 許祥，鄒志輝，韓明亮，等.聯(lián)合地震初至走時(shí)與早至波形的深度學(xué)習(xí)速度建模[J].地球物理學(xué)報(bào)，2023，66（12）：5107-5122.

[7] 許祥，鄒志輝.地震早至波深度學(xué)習(xí)速度建模[C]//中國地球物理學(xué)會(huì)油氣地球物理專業(yè)委員會(huì).第五屆油氣地球物理學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.中國海洋大學(xué)海洋地球科學(xué)學(xué)院海底科學(xué)與探測技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室深海圈層與地球系統(tǒng)教育部前沿科學(xué)中心;青島海洋科學(xué)與技術(shù)國家實(shí)驗(yàn)室海洋礦產(chǎn)資源評價(jià)與探測技術(shù)功能實(shí)驗(yàn)室，2023：5.

[8] ARAYA-POLO M， JENNINGS J， ADLER A， et al. Deep-learning tomography[J].The Leading Edge，2018，37（1）：58-66.

[9] MOSSER L， KIMMAN W， DRAMSCH J， et al. Rapid seismic domain transfer： Seismic velocity inversion and modeling using deep generative neural networks[C]//80th eage conference and exhibition. EAGE Publications BV，2018：1-5.

[10] YANG F， MA J. Deep-learning inversion： a next generation seismic velocity-model building method[J]. Geophysics，2019，84（4）：583-599.

[11] 廖成旺，龐聰，江勇，等.基于多層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的6C地震波極化向量識(shí)別研究[J/OL].大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，1-11[2024-02-05].https：//doi.org/10.14075/j.jgg.2023.06.158.

[12] 馬雄，申天賜，李國發(fā)，等.重構(gòu)震源振幅譜一致性的吸收參數(shù)反演方法[J].石油地球物理勘探，2024，59（1）：122-132.

[13] 胡豹，高永衛(wèi)，昔華倩.基于誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)彈分離軌跡預(yù)測研究[J].氣動(dòng)研究與試驗(yàn)，2024，2（2）：59-65.

[14] 劉浩民，楊洪才，劉戰(zhàn)，等.基于粒子群優(yōu)化算法的電弧增材制造焊道尺寸反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型[J].機(jī)械工程材料，2024，48（2）：97-102.

[15] 張馳，郭媛，黎明.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型發(fā)展及應(yīng)用綜述[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2021，57（11）：57-69.

[16] 譚玉陽，于靜，馮剛，等.微地震事件初至拾取SLPEA算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，2016，59（1）：185-196.

[17] 趙俐紅，劉欣悅，支鵬遙，等.南海東北陸緣的地殼速度結(jié)構(gòu)及其構(gòu)造意義：來自廣角地震剖面的約束[J].地質(zhì)學(xué)報(bào)，2023， 97（6）：1766-1779.

[18] 馬月寧，鄭晶. 基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的地震速度模型反演[C]//中國地球科學(xué)聯(lián)合學(xué)術(shù)年會(huì).2021年中國地球科學(xué)聯(lián)合學(xué)術(shù)年會(huì)論文集（三十六）-專題一百零六 地球科學(xué)大數(shù)據(jù)與人工智能、專題一百零七 地球生物學(xué)與天體生物學(xué)、專題一百零八 古脊椎動(dòng)物學(xué)最新進(jìn)展.北京伯通電子出版社，2021：4.

基金項(xiàng)目：江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（202310293095Y，202210293098Y）

*通信作者：余瀚（1984-），男，博士，副教授。研究方向?yàn)榉囱莩上瘛C(jī)器學(xué)習(xí)。