有趣的空心方陣問題

小朋友，我們在排隊(duì)列時(shí)，有時(shí)會(huì)排成一個(gè)空心的方陣，你會(huì)解答與空心方陣有關(guān)的數(shù)學(xué)問題嗎？下面，我們一起來看一下吧！

例題1學(xué)生們在表演體操時(shí)排成了一個(gè)3層的空心方陣（如圖1 ，每一個(gè)點(diǎn)表示一名學(xué)生），你知道參加體操表演的學(xué)生一共有多少人嗎？

把圖1中的空心方陣平均分成四個(gè)長方形的方陣（如圖2），每個(gè)長方形方陣的長邊上有12-3=9（人），寬邊上有3人。每個(gè)長方形方陣中的總?cè)藬?shù)是9×3=27（人），參加體操表演的學(xué)生一共有27×4=108（人）。

小朋友，根據(jù)例題1的解析思路，我們可以找到計(jì)算空心方陣總數(shù)量的公式。假設(shè)有一個(gè)n層的空心方陣，最外層每邊上的數(shù)量是m，把空心方陣平均分成四個(gè)長方形的方陣（如圖3）。每個(gè)長方形方陣寬邊上的數(shù)量是n，長邊上的數(shù)量是（m-n），一個(gè)長方形方陣的總數(shù)量是（m-n）×n，空心方陣的總數(shù)量是（m-n）×n×4，即空心方陣的總數(shù)量=（空心方陣最外層每邊上的數(shù)量-空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4。再遇到計(jì)算空心方陣總數(shù)量的問題，可以直接用公式計(jì)算。

例題2運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，學(xué)生們要排成一個(gè)中空的方陣，要求方陣的最內(nèi)層有20名學(xué)生，最外層有36名學(xué)生，排成這個(gè)方陣需要學(xué)生多少人？

小朋友，觀察任意一個(gè)空心方陣，你會(huì)發(fā)現(xiàn)方陣中相鄰兩層每一邊上的數(shù)量相差2，相鄰兩層的總數(shù)量相差2×4=8，我們可先算出最外層的總數(shù)量與最內(nèi)層的總數(shù)量的差，看差中有幾個(gè)8，就可判斷出方陣的層數(shù)。

如果最外層的總數(shù)量與最內(nèi)層的總數(shù)量的差是8，那么應(yīng)是8÷8+1=2（層）的方陣；如果最外層的總數(shù)量與最內(nèi)層的總數(shù)量的差是16，那么應(yīng)是16÷8+1=3（層）的方陣；如果最外層的總數(shù)量與最內(nèi)層的總數(shù)量的差是24，那么應(yīng)是24÷8+1=4（層）的方陣……最外層的總數(shù)量與最內(nèi)層的總數(shù)量的差是幾個(gè)8，這個(gè)方陣的層數(shù)就是幾加1層。

題目中，方陣最外層的總?cè)藬?shù)比最內(nèi)層的總?cè)藬?shù)多36-20=16（人），可知這個(gè)方陣的層數(shù)是16÷8+1=3（層），排成這個(gè)方陣需要學(xué)生（36-3）×3×4=396（人）。

小朋友，記住公式，可以很快算出答案，你學(xué)會(huì)了嗎？