初中生數(shù)學(xué)模型觀念的培養(yǎng)

【摘要】數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)是新一輪課程改革的熱點(diǎn)問題，初中數(shù)學(xué)教師要全面精準(zhǔn)把握新課標(biāo)精神，進(jìn)一步提升模型觀念培養(yǎng)能力。文章在解讀數(shù)學(xué)模型概念的基礎(chǔ)上，提出了深入解讀課標(biāo)，把握教學(xué)任務(wù)；積極挖掘教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境；注重建構(gòu)過程，強(qiáng)化模型觀念；突出項(xiàng)目學(xué)習(xí)，促進(jìn)模型應(yīng)用等培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問題能力的方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；模型觀念；提升途徑；培養(yǎng)策略

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1004—0463（2024）19—0106—04

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的某種特定對(duì)象或現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語言和符號(hào)描述和表達(dá)而形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型思想是“能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中一類問題的思想”[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注重模型思想的滲透和應(yīng)用，促使學(xué)生深刻領(lǐng)悟抽象難懂的數(shù)學(xué)概念，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維能力、創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問題的能力，最終使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以全面提升。

具體而言，初中階段模型觀念的主要表現(xiàn)包含如下幾個(gè)方面：通過數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的基本方式；能運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量、分布概率等工具構(gòu)建模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題，構(gòu)建模型解決問題的過程，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法[2]。

一、深入解讀課標(biāo)，把握教學(xué)任務(wù)

初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)通過多種途徑不斷提升自己對(duì)數(shù)學(xué)模型觀念培養(yǎng)的理解和教學(xué)能力，努力將數(shù)學(xué)模型思想滲透到日常教學(xué)中，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的指南針，教師應(yīng)細(xì)致研讀其中關(guān)于模型觀念培養(yǎng)的過程和具體要求，理解其背后的教育理念和目標(biāo)，如何通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理、創(chuàng)新能力和問題解決能力[3]。模型觀念培養(yǎng)的過程不僅僅是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，更包括識(shí)別問題、選擇模型、應(yīng)用模型、驗(yàn)證模型及優(yōu)化模型等完整流程。教師應(yīng)深刻理解這一過程的每個(gè)環(huán)節(jié)及其教育價(jià)值。通過閱讀國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的專業(yè)文獻(xiàn)，尤其是關(guān)于數(shù)學(xué)模型觀念培養(yǎng)的研究論文和教學(xué)案例，教師可以了解到最新的教育理念和教學(xué)方法，以及不同文化背景下模型教學(xué)的實(shí)踐探索，借鑒成功案例中的教學(xué)策略和技巧，結(jié)合自己學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)符合他們認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)模型教學(xué)活動(dòng)。雖然各學(xué)段對(duì)模型思想的教學(xué)要求和目標(biāo)是不同的，但是它們是相輔相成、層層遞進(jìn)，呈螺旋式上升的。比如，在小學(xué)，人教版從學(xué)生身邊熟悉的情境——學(xué)科競(jìng)賽引入，讓學(xué)生體驗(yàn)了韋恩圖（模型）的構(gòu)建過程，感悟其中蘊(yùn)含的集合思想方法，用邏輯推理解決生活中較為簡(jiǎn)單的問題。初中數(shù)學(xué)中，有數(shù)的集合、多項(xiàng)式的集合、方程（組）解的集合、平面圖形的集合，以及符合特定條件的點(diǎn)的集合（軌跡）的直觀理解；也有利用韋恩圖的特點(diǎn)解決數(shù)學(xué)或生活中的問題，如，表示特殊四邊形的相互關(guān)系，以及“取公共部分”求不等式（組）解集的應(yīng)用過程，都為高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)集合思想和利用相關(guān)模型解決問題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)模型觀念需要注意提高模型構(gòu)建的深度與廣度，注重模型應(yīng)用的實(shí)踐性，以便培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)與觀念。

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)模型觀念的培養(yǎng)，每個(gè)年級(jí)的要求有所不同，七年級(jí)的學(xué)生主要是經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，初步感受模型觀念；八年級(jí)學(xué)生要求會(huì)用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解決一些實(shí)際生活問題；九年級(jí)學(xué)生則要求能夠比較完整地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程。因此，我們要梳理統(tǒng)整初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)系統(tǒng)地以數(shù)學(xué)模型思想為主線，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體要求，設(shè)計(jì)出有針對(duì)性、有實(shí)踐性的教學(xué)方案，然后有系統(tǒng)地組織教學(xué)。比如，n個(gè)點(diǎn)可以連幾條線段、從同一個(gè)點(diǎn)引出的n條射線能形成幾個(gè)角、正多邊形的邊與對(duì)角線條數(shù)、某個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)，到現(xiàn)實(shí)生活中的n個(gè)人的互相握手次數(shù)、單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)、車票種類數(shù)等，都是排列組合模型中的特殊情況，且貫穿于教材的多個(gè)章節(jié)中。因此，教師要注意根據(jù)學(xué)情，適時(shí)適度地學(xué)習(xí)與總結(jié)，并讓學(xué)生能熟練應(yīng)用，為今后高中的繼續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

二、積極挖掘教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境

教師既要深入研讀數(shù)學(xué)教材，又要開發(fā)和利用課外資源，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型元素，引導(dǎo)學(xué)生理解模型思想的應(yīng)用?；ヂ?lián)網(wǎng)蘊(yùn)藏著極其豐富的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，無論是專業(yè)的教育平臺(tái)、權(quán)威的數(shù)學(xué)建模網(wǎng)站，還是教師社群分享，都能快速獲取到適合不同能力水平學(xué)生的模型觀念培養(yǎng)教學(xué)素材。學(xué)生們可以在教師的引導(dǎo)下，利用網(wǎng)絡(luò)資源深入學(xué)習(xí)和探究，接觸到更多元化的數(shù)學(xué)應(yīng)用場(chǎng)景，進(jìn)一步拓寬知識(shí)視野和思維空間，鍛煉思維能力和創(chuàng)新精神。教具的應(yīng)用在教學(xué)中有重要的實(shí)際意義，教師可以利用簡(jiǎn)易的耗材及身邊的廢舊物品自制教具和學(xué)具，如幾何圖形、概率實(shí)驗(yàn)裝置等，讓數(shù)學(xué)模型看得見、摸得著，讓學(xué)生在擺一擺、拼一拼、說一說的過程中觸類旁通，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新思維。

新課標(biāo)中重點(diǎn)提出了“三會(huì)”，都是要建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。教師要將數(shù)學(xué)模型觀念的培養(yǎng)與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活的問題情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中感受數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和實(shí)踐能力。一是從學(xué)生的日常生活出發(fā)，選取與數(shù)學(xué)模型緊密相關(guān)的實(shí)例，如購物打折、測(cè)量距離、計(jì)算利息等，通過這些實(shí)例讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。還可以利用多媒體教學(xué)工具，展示數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用場(chǎng)景，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受。比如，在學(xué)習(xí)相似三角形的概念時(shí)，學(xué)生可以利用幾何畫板等可視化工具，動(dòng)態(tài)地探索和構(gòu)建相似三角形的模型。二是讓學(xué)生在模擬情境中體驗(yàn)。教師在課堂中設(shè)計(jì)模擬情境，如超市購物、旅行規(guī)劃、工程問題等，讓學(xué)生扮演不同角色，加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程。三是鼓勵(lì)學(xué)生走出課堂，深入校園乃至社區(qū)，進(jìn)行實(shí)地調(diào)查和研究，如測(cè)量校園面積、調(diào)查同學(xué)身高體重與生活習(xí)慣關(guān)系、繪制社區(qū)地圖等。讓學(xué)生在解決問題的過程中，掌握科學(xué)研究的基本方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判性思維，為未來的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教師可通過搭建有效的學(xué)習(xí)支架，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，逐步引導(dǎo)與示范；提供學(xué)習(xí)資源和工具、設(shè)置挑戰(zhàn)性問題等策略來促進(jìn)學(xué)生模型觀念的全面發(fā)展。比如，從小明騎自行車的簡(jiǎn)單“行程問題”，可以拓展到“規(guī)劃出行路線”：小明要到某地參加一項(xiàng)活動(dòng)，他需要確保在活動(dòng)開始前到達(dá)目的地。

層次一：假如規(guī)劃小明是從家出發(fā)，先騎自行車到火車站，然后乘坐火車前往另一個(gè)城市，再乘坐出租車到活動(dòng)地點(diǎn)。如果限定小明乘坐的火車發(fā)車時(shí)間是上午10點(diǎn)出發(fā)，他最晚應(yīng)該在什么時(shí)間出發(fā)騎自行車，以確保他能按時(shí)參加活動(dòng)。

層次二：限定小明在下午2點(diǎn)前到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生探索不同的出行組合方式。教師要指導(dǎo)學(xué)生使用手機(jī)中的App軟件，方便便捷的規(guī)劃出行路線。如，利用百度地圖查詢各種交通工具的路線、時(shí)長(zhǎng)和費(fèi)用，包括騎行、公交、出租車、地鐵、火車等。利用鐵路12306查詢火車班次、余票情況、發(fā)車時(shí)間、到達(dá)時(shí)間等。

層次三：引導(dǎo)學(xué)生比較不同方案的時(shí)間成本、經(jīng)濟(jì)成本及舒適度，選擇最適合的方案。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考如何在時(shí)間、費(fèi)用和舒適度之間找到最佳平衡點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生根據(jù)天氣、個(gè)人體力狀況、活動(dòng)緊急程度等因素靈活調(diào)整出行方案，同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新思維。比如，考慮拼車、使用共享單車解決短途接駁等新型出行方式。

通過這樣的層次遞進(jìn)教學(xué)，不僅幫助學(xué)生掌握了實(shí)用的出行規(guī)劃技能，還培養(yǎng)了他們管理時(shí)間、控制成本和綜合分析的能力。

三、注重建構(gòu)過程，強(qiáng)化模型觀念

用整體、聯(lián)系、發(fā)展的眼光注重建構(gòu)過程至關(guān)重要，因?yàn)樵谶@個(gè)過程中體現(xiàn)了從理解數(shù)學(xué)知識(shí)到建立數(shù)學(xué)模型的思維變化，引發(fā)學(xué)生深刻思考，強(qiáng)化模型觀念。在概念、定理及法則的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)這些數(shù)學(xué)構(gòu)件從具體到抽象的演變過程，促使學(xué)生深入理解其內(nèi)在邏輯與核心要義，深刻把握其本質(zhì)特征。比如，講解平方差公式時(shí)，先用多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，再引導(dǎo)觀察、分析、歸納相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？積又有什么特點(diǎn)？積與原式之間有什么聯(lián)系？讓學(xué)生聚焦平方差公式模型的本質(zhì)，能充分喚醒并激發(fā)學(xué)生的模型意識(shí)，進(jìn)而在實(shí)踐中不斷深化對(duì)模型觀念的理解與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)模型觀念培養(yǎng)的有效落地。

在課堂練習(xí)時(shí)，通過同類演練、變式拓展等形式，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般逐步去體會(huì)模型中的整體思想，理解模型中“不變”與“變”的本質(zhì)，體會(huì)模型的共性實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生模型觀念，提升學(xué)生建模能力。學(xué)習(xí)完平方差公式后，師生可以共同完成練習(xí)：

（a+b）（a-b）=a2-b2

（-a-b）（a-b）=b2-a2

（3x+2y）（3x-2y）=（3x）2-（2y）2=9x2-4y2

（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2

（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

學(xué)生就會(huì)理解，這里的a和b，不管是具體的某個(gè)數(shù)，還是一個(gè)代數(shù)式，重點(diǎn)是是否符合公式特征，只有符合公式的特征才能用這個(gè)公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。如，當(dāng)學(xué)生遇到10.2×9.8時(shí)，能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)聯(lián)想到平方差公式的模型，主動(dòng)選擇更簡(jiǎn)便的方法來解決問題。

可以從簡(jiǎn)單的例子開始，逐漸增加難度和復(fù)雜性，直到學(xué)生能夠獨(dú)立建構(gòu)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。比如，在研究“游船的最短航行距離”中，研究從“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”到“將軍飲馬”，再到“一定兩動(dòng)點(diǎn)”下三段距離之和的最短問題，進(jìn)而再解決“兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)”情況下三段距離之和最短問題，等等，這樣“溫水煮青蛙”式的“進(jìn)位”，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生從兩條線段和最小的問題中體會(huì)思想、提煉方法、舉一反三，不知不覺中提高了學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與實(shí)踐操作，通過親自動(dòng)手來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題。比如，學(xué)習(xí)全等三角形的證明時(shí)，全等三角形的幾何模型卻是多種多樣的，它們都有什么樣的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？如何分類整理出來呢？這就需要學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，分析思考、整理內(nèi)化，讓圖形有序、分門別類地呈現(xiàn)出來。教師可以讓同學(xué)們通過平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移加翻轉(zhuǎn)、平移加旋轉(zhuǎn)等得出全等三角形的不同組合形態(tài)，再根據(jù)不同的組合形態(tài)抽象出不同的全等三角形幾何模型。

四、基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)，促進(jìn)模型應(yīng)用

課堂上教師通過巧妙的設(shè)計(jì)完成“建?！边^程，而課后更要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)自覺地“用?！保瑏斫鉀Q現(xiàn)實(shí)生活中的問題，真正內(nèi)化模型觀念。教師可以將與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題引入課堂，如購物、旅行規(guī)劃、家庭預(yù)算等，讓學(xué)生在解決這些問題的過程中感受到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。教師也可講解數(shù)學(xué)模型在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的普適性和重要性。

課后作業(yè)要精心設(shè)計(jì)，使學(xué)生在完成作業(yè)的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去數(shù)學(xué)地思考與表達(dá)，將學(xué)習(xí)的模型納入認(rèn)知系統(tǒng)，讓模型觀念生根，從而加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。比如，學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)的應(yīng)用——分段收費(fèi)問題”后，教師可以布置學(xué)習(xí)任務(wù)——分段計(jì)費(fèi)問題的調(diào)查，讓學(xué)生們走進(jìn)生活，去探索分段計(jì)費(fèi)在生活中的廣泛應(yīng)用：（1）調(diào)查走訪，尋找生活中的分段計(jì)費(fèi)問題；（2）任選其中一種問題進(jìn)行重點(diǎn)調(diào)查（查閱資料或?qū)嵉乜疾欤?，弄清具體收費(fèi)要求；（3）構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合數(shù)學(xué)題并解決。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生加深了對(duì)“分段計(jì)費(fèi)”模型的理解，學(xué)會(huì)了在實(shí)際背景的問題中收集信息并分析問題，建立需要的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法求解，分析這個(gè)解的意義，并與實(shí)際問題進(jìn)行比較。如果解不合理則調(diào)整模型，直到實(shí)際問題得到解決。

跨學(xué)科和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是新教材的特色和亮點(diǎn)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生參與項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，通過小組合作、調(diào)查研究、數(shù)據(jù)收集與分析等方式，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)他們的探究精神和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的綜合素養(yǎng)。如，學(xué)習(xí)完“軸對(duì)稱”和“中心對(duì)稱”后，教師可以布置“制作美麗的對(duì)稱圖形”的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、折疊、思考、抽象、裁剪或繪制等一系列實(shí)踐活動(dòng)，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識(shí)，自主分析問題、解決問題，最后設(shè)計(jì)制作出自己喜歡的幾何圖形或模型。在創(chuàng)造設(shè)計(jì)過程中，學(xué)生們豐富了對(duì)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的認(rèn)知和理解，體會(huì)到數(shù)學(xué)和實(shí)際生活的密切聯(lián)系，感受到了大自然的美、世界的美和生活的美，充分認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

總之，數(shù)學(xué)模型思想源于生活實(shí)際、始于數(shù)學(xué)抽象、基于教學(xué)變革、成于過程經(jīng)歷、達(dá)于立德樹人。初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中應(yīng)把握教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷陌l(fā)生、發(fā)展和形成的過程，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的必要性和重要性，培養(yǎng)模型觀念，激發(fā)學(xué)生探究模型結(jié)論的興趣，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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編輯：趙靜藝