基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜界面雙材料結(jié)構(gòu)研究

摘 要：為了將近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法應(yīng)用于復(fù)雜界面的雙材料結(jié)構(gòu)，以鋸齒形界面為例，基于PD“串聯(lián)”鍵理論開(kāi)發(fā)復(fù)雜界面雙材料結(jié)構(gòu)PD求解程序，通過(guò)單、雙材料平板進(jìn)行拉伸仿真分析，利用FEM解驗(yàn)證PD方法及程序的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明：PD方法在準(zhǔn)靜態(tài)模擬中具有較高的準(zhǔn)確性。PD程序所得位移結(jié)果：在y=0.005 m處，x位移相對(duì)誤差低于5%；在x=0 m處，y位移平均相對(duì)誤差低于6.08%。程序所得位移結(jié)果在小模量比、小載荷下更準(zhǔn)確。

關(guān)鍵詞：近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)；有限元；雙材料；“串聯(lián)”鍵理論；界面形狀

中圖分類(lèi)號(hào)：O341; TB331" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B" 文章編號(hào)：1671-5276（2024）05-0037-03

Study on Bimaterial Structure with Complex Interface Based on Peridynamic

Abstract：In order to apply the near field dynamics method to the bimaterial structure with complex interface， this paper， taking the serrated interface as an example， develops a PD solution program for the bimaterial structure with complex interface based on the PD 'series' bond theory， and verifies the accuracy of the PD method and program through the tensile simulation of single and bimaterial plates and by using the FEM solution. The results show that PD method has high accuracy in quasi-static simulation. The displacement results obtained by PD program indicate that the relative error of x displacement is less than 5% at y=0.005 m， the average relative error of y displacement is lower than 6.08% at x=0 m， and the displacement results obtained by the program are more accurate under small modulus ratio and small load.

Keywords：peridynamic；FEM；bimaterial；“series” bond theory；interface shape

0 引言

雙材料結(jié)構(gòu)界面處的力學(xué)性能一直是相關(guān)研究的重點(diǎn)。目前主要的數(shù)值模擬方法有有限元法［1］、擴(kuò)展有限元法［2］和邊界元法［3］等。其中，有限元法運(yùn)算效率較低；擴(kuò)展有限元法在多裂紋擴(kuò)展和相互作用問(wèn)題中適用性較差；而邊界元法在雙材料界面問(wèn)題的應(yīng)用相對(duì)較少［4］。

SILLING［5］在2000年提出近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（peridynamics，PD）理論，該理論基于非局部作用思想，采用空間積分形式來(lái)描述物質(zhì)內(nèi)部作用，彌補(bǔ)了前述數(shù)值模擬方法的不足。秦洪遠(yuǎn)等［6］利用改進(jìn)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)鍵理論研究了復(fù)合材料單向板的變形與破壞問(wèn)題。王芳、張恒等［7-8］針對(duì)雙材料界面問(wèn)題提出了“串聯(lián)”和“并聯(lián)”鍵理論。

在實(shí)際生產(chǎn)中由于工程誤差等原因，材料交界面并非是完全光滑的平面，而目前針對(duì)雙材料結(jié)構(gòu)的研究中，均將材料交界面設(shè)定為理想的平面。本文基于Matlab平臺(tái)，利用“串聯(lián)”鍵理論開(kāi)發(fā)了復(fù)雜界面的雙材料結(jié)構(gòu)PD求解程序，進(jìn)行單、雙材料平板拉伸仿真模擬，利用FEM解驗(yàn)證了PD方法及程序的準(zhǔn)確性。

1 準(zhǔn)靜態(tài)模擬中的PD鍵理論

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型假設(shè)每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)與一定范圍內(nèi)的物質(zhì)點(diǎn)通過(guò)鍵（bond）相連，如圖1所示。xi與xj為固體區(qū)域中任意兩個(gè)物質(zhì)點(diǎn)；Hx與H′x分別為xi與xj的域，即近場(chǎng)鄰域。近場(chǎng)鄰域的大小由近場(chǎng)范圍δ決定；dx為物質(zhì)點(diǎn)所在微元六面體（或矩形）的邊長(zhǎng)；x′i與x′j分別為物質(zhì)點(diǎn)xi與xj變形后的位置矢量；u與u′分別是變形后xi與xj的位移矢量；兩點(diǎn)間相互作用可以用參考鍵ξ與變形鍵ξ+η的函數(shù)表示，參考鍵及變形鍵表達(dá)式如下：

ξ=x′-x（1）

η+ξ=u′-u+ξ（2）

在線(xiàn)彈性問(wèn)題中兩物質(zhì)點(diǎn)間力密度矢量函數(shù)可以表示為

式中：力密度矢量函數(shù)f（η，ξ）是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的矢量函數(shù)，其定義為質(zhì)點(diǎn)xj施加在質(zhì)點(diǎn)xi上單位體積的力，兩質(zhì)點(diǎn)間力密度矢量大小相等，方向始終與相對(duì)位矢平行；c為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)常數(shù)。在鍵理論中，鍵常數(shù)計(jì)算式如下：

式中：e為材料的彈性模量；δ為設(shè)定的近場(chǎng)范圍；h為設(shè)定的模型厚度。

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為

式中：H為近場(chǎng)領(lǐng)域；b為外力。

啟用自適應(yīng)動(dòng)力松弛，通過(guò)引入虛擬慣性和阻尼項(xiàng)得到第n次迭代時(shí)：

2 復(fù)雜界面雙材料結(jié)構(gòu)PD求解程序

在材料M1、材料M2組成的雙材料結(jié)構(gòu)中，存在3種PD鍵：M1-M1鍵、M1-M2鍵、M2-M2鍵，其中M1-M2鍵的PD常數(shù)c與兩種材料均屬性相關(guān)。在“串聯(lián)”鍵理論中，M1-M2鍵的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)常數(shù)與距離加權(quán)函數(shù)有關(guān)，此時(shí)式（4）改寫(xiě)為

式中：c1、c2分別為材料M1、M2的鍵常數(shù)；wa、wb為距離加權(quán)的權(quán)函數(shù)，分別表示一對(duì)M1-M2鍵中c1、c2的距離占比，它由物質(zhì)點(diǎn)與材料交界面的距離決定。圖2為鋸齒形界面的PD離散示意圖，a-b鍵與c-b鍵同為以物質(zhì)點(diǎn)b為中心的M1-M2鍵，但二者的距離加權(quán)函數(shù)不同，則PD系數(shù)c不同。因此，在Matlab平臺(tái)中，利用編程逐一確定每對(duì)M1-M2鍵的PD系數(shù)c，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)界面位置的描述，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜界面雙材料結(jié)構(gòu)PD求解程序。

3 程序驗(yàn)證

3.1 準(zhǔn)靜態(tài)模擬中PD方法的準(zhǔn)確性驗(yàn)證

在利用平板拉伸仿真驗(yàn)證程序準(zhǔn)確性之前，需要先驗(yàn)證PD方法在準(zhǔn)靜態(tài)模擬中的準(zhǔn)確性。圖3為模型示意圖，左端固定，右端施加均布?jí)簭?qiáng)200 MPa。材料參數(shù)如下：彈性模量200 GPa；泊松比1/3。

圖4為PD解、FEM解相對(duì)于解析解的x、y位移平均相對(duì)誤差。由圖4得：1）PD解存在表面效應(yīng)，表面效應(yīng)即PD理論在材料邊界處由于近場(chǎng)鄰域不完整而出現(xiàn)的誤差增大現(xiàn)象；2）除個(gè)別邊界點(diǎn)以外，兩種方法均具有很高的準(zhǔn)確性；x方向上PD解與FEM解基本一致，誤差均在5%以?xún)?nèi)；y方向上，PD解誤差低于2.8%，大約為FEM解的0.76倍。綜上，在準(zhǔn)靜態(tài)模擬中PD方法具有較高的準(zhǔn)確性，可以利用平板拉伸仿真驗(yàn)證PD程序的準(zhǔn)確性。

3.2 復(fù)雜界面雙材料結(jié)構(gòu)PD程序驗(yàn)證

建立鋸齒形界面的二維雙材料結(jié)構(gòu)PD求解程序，在3種載荷、3組模量比下進(jìn)行二維平板拉伸仿真，并利用FEM解驗(yàn)證PD程序的準(zhǔn)確性。雙材料平板拉伸模型示意圖如圖5所示，模型左端固定，右端分別施加均布?jí)簭?qiáng)2 MPa、20 MPa、100 MPa。左邊為材料M1，彈性模量固定為80 GPa，右邊為材料M2，在典型算例的模量比范圍內(nèi)選取3組模量比，M1∶M2為：2倍、26倍、80倍，兩種材料泊松比均為1/3。

考慮到表面效應(yīng)，針對(duì)平板內(nèi)部xgt;-0.015m的部分進(jìn)行分析。如圖6所示，3種載荷下誤差基本一致，均在5%以?xún)?nèi)；隨著模量比的增大，在x=0m（材料交界）處誤差出現(xiàn)一定波動(dòng)，大載荷下波動(dòng)更加明顯。

考察x=0m處y位移的平均相對(duì)誤差?？紤]到表面效應(yīng)，分析針對(duì)平板內(nèi)部0.002 5mlt;ylt;0.017 5m處。如表1所示，y位移平均相對(duì)誤差在80倍模量比、100 MPa載荷下達(dá)到最大值6.08%。同時(shí)可得，相同模量比下，載荷越大誤差越大；相同載荷下，模量比越大誤差越大。

由上述分析可知，程序所得位移結(jié)果在材料交界處、大模量比、大載荷下誤差較大。下面逐一進(jìn)行分析。

1）材料交界處：界面處“串聯(lián)”鍵理論微模量表達(dá)式（7）基于剛度等效原則，與真實(shí)情況存在一定誤差。在M1（或M2）材料內(nèi)部，式（7）退化為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)鍵理論微模量表達(dá)式（4），其誤差小于前者。因此，在界面處出現(xiàn)誤差增大現(xiàn)象。

2）大模量比、大載荷：模量比及載荷的增大導(dǎo)致位移增大。因此，程序的迭代時(shí)間越長(zhǎng)，誤差累積越大。

4 結(jié)語(yǔ)

1）PD方法在準(zhǔn)靜態(tài)模擬中存在表面效應(yīng)；除個(gè)別邊界點(diǎn)外，x位移相對(duì)誤差低于5%，與FEM解基本一致；y位移相對(duì)誤差低于2.8%，約為FEM解的0.76倍。

2）在y=0.005m處，PD程序所得3種載荷下x位移相對(duì)誤差在材料交界處出現(xiàn)波動(dòng)，大載荷下波動(dòng)更加明顯；3種載荷下，x位移相對(duì)誤差基本一致，均低于5%。

3）在x=0m處，PD程序所得3種載荷下y位移平均相對(duì)誤差低于6.08%。

4）PD程序所得位移結(jié)果在小模量比、小載荷下更準(zhǔn)確。

5）加密網(wǎng)格可以在一定程度上減小誤差。

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