經(jīng)歷抽象過程　發(fā)展推理能力

有人問我。為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？其實(shí)，簡單地說就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．

從數(shù)到式，是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要階段，學(xué)習(xí)代數(shù)式、整式的加減運(yùn)算，需要深刻領(lǐng)會(huì)整式形成的過程，在規(guī)律的把握中，體會(huì)整式恒等變形的內(nèi)在規(guī)律．

一、發(fā)展符號(hào)意識(shí)，提升抽象能力

實(shí)際問題中包含著一些數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)式子簡明地表達(dá)，例如：一個(gè)長方形的長和寬分別是a，b，這個(gè)長方形的周長L是多少？由長方形的周長公式，可得周長L=2（a+b），對于2（a+b）這個(gè)式子，顯然是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的，我們稱這樣的式子為代數(shù)式．

在解決一些數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題時(shí)，往往需要先把問題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，也就是要列代數(shù)式．而同一個(gè)代數(shù)式可以表示不同實(shí)際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系．例如，代數(shù)式100-2x可以表示哪些不同實(shí)際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系？我們可以這樣思考：如果x元是一件某商品的價(jià)格．那么式子100-2x表示用100元買2件該商品還剩的錢數(shù)：如果。表示每天讀書的頁數(shù)，那么式子100-2x可以表示1本100頁的書讀了2天后剩余的頁數(shù)．因此，我們要在現(xiàn)實(shí)情境中理解符號(hào)表示的意義，解釋代數(shù)式的具體含義．

二、解決實(shí)際問題，提升推理能為

我們來看這樣一個(gè)問題：用火柴棍擺成一排由三角形組成的圖形（如圖1所示）．如果圖形中擺出了n個(gè)三角形，那么需要多少根火柴棍？

下面是幾位同學(xué)的答案，我們一起來分析他們思考的過程．

A同學(xué)：如下頁圖2所示，整個(gè)圖案由上層、中間層和底層三部分組成，當(dāng)圖形中擺出了幾個(gè)三角形時(shí)，上層與底層的火柴棍的根數(shù)之和就是三角形的總個(gè)數(shù)n，而中間層的火柴棍的根數(shù)是三角形的總個(gè)數(shù)n加1．所以，共需要（n+n+1）根火柴棍．

B同學(xué)：如下頁圖2，擺出1個(gè)三角形，一共需要火柴棍1+2=3（根）；擺出2個(gè)三角形，一共需要火柴棍1+2×2=5（根）；擺出3個(gè)三角形，一共需要火柴棍1+2×3=7（根）……所以，如果擺出幾個(gè)三角形，一共需要（1+2n）根火柴棍．

C同學(xué)：如圖2，當(dāng)擺出1個(gè)三角形時(shí)，需要3根火柴棍；當(dāng)擺出2個(gè)三角形時(shí)，需要火柴棍3×2=6（根），但是，有一邊是重合的，所以，要拿走火柴棍2-1=1（根），也就是一共用了火柴棍3×2-（2-1）=5（根）；當(dāng)擺出3個(gè)三角形時(shí)，需要火柴棍3×3=9（根），但是，有兩邊是重合的，所以，要拿走火柴棍3-1=2（根），也就是一共用了火柴棍3×3-（3-1）=7（根）……當(dāng)擺出幾個(gè)三角形時(shí)，需要[3n-（n-1）]根火柴棍．

D同學(xué)：當(dāng)擺出1個(gè)三角形時(shí)，需要3根火柴棍；當(dāng)擺出2個(gè)三角形時(shí)，在3根的基礎(chǔ)上加上2根火柴棍，即3+2=5（根）；當(dāng)擺出3個(gè)三角形時(shí)，在3根的基礎(chǔ)上加上2×2根火柴棍，即3+2×2=7（根）……因此，當(dāng)擺出n個(gè)三角形時(shí)，需要[3+2（n-1）]根火柴棍．

同樣的問題，為什么會(huì)有不同的答案呢？誰的答案才是正確的呢？接下來我們進(jìn)行解釋說明．

考慮到字母n取值的任意性，我們來驗(yàn)證一下（參見表1）．

從表1中我們可以發(fā)現(xiàn)，無論n取什么值，四個(gè)整式的結(jié)果總是相同的，那么，四位同學(xué)的答案是否都正確呢？也就是說，四位同學(xué)所得的式子是否都相等呢？

這是我們的猜想！而且這個(gè)猜想是合理的（起碼就我們驗(yàn)證的數(shù)字來說，是對的）．可以發(fā)現(xiàn)，在四個(gè)式子中，1+2n是最簡單的，計(jì)算起來也最簡捷．

猜想1：n+n+1=2n+1．

思考過程：我們可以將這個(gè)多項(xiàng)式中相同的項(xiàng)“加”在一起，即n+n=2n，因而，n+n+1=2n+1是有道理的．

猜想2：3n-（n-1）=2n+1．

思考過程：如果這個(gè)等式成立，那么必然有n-（n-1）=1，也就是說，-（n-1）等于-n+1．換句話說，去掉括號(hào)前的負(fù)號(hào)和括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)的符號(hào)都要改變．

猜想3：2（n-1）+3=2n+1．

思考過程：如果這個(gè)等式成立，那么必然有2（n-1）=2n-2，也就是說，去掉括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要同時(shí)乘括號(hào)前的數(shù)．

通過解決上述問題，分析三個(gè)猜想，我們實(shí)際上“發(fā)現(xiàn)”了去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)法則——盡管這兩個(gè)法則是規(guī)定！在解決上面問題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，此規(guī)定是合理的，否則，就會(huì)出問題．

試一試

1．（2024年貴州）計(jì)算2a+3a的結(jié)果，正確的是（ ）．

A.5a B.6a

C.5a2 D.6a2

2．（2024年蘇州）若a=b+2，則（b-a）2=____.

參考答案：

1.A

2.4