基于移動正弦擬合的快速解包絡算法*

王選擇, 洪 潭, 胡曉暉, 翟中生, 王淞略

(1.湖北工業(yè)大學 機械工程學院,湖北 武漢 430068；2.湖北省現代制造質量工程重點實驗室,湖北 武漢 430068；3.武漢市康達電氣有限公司,湖北 武漢 430014)

0 引 言

調幅信號是指載波頻率固定，幅值隨被測對象狀態(tài)發(fā)生改變的信號，其包絡曲線實時反映被測對象的幅值變化。通常包絡曲線的獲取方法有硬件處理與軟件處理兩類方法，硬件處理一般采用二極管包絡檢波電路處理的方式，主要是運用二極管的單向導通性，構造絕對值處理電路來獲取調幅信號的絕對大小。這種方法適合信號較大的單邊帶調幅信號，受噪聲影響較大，且元件參數選擇不當，容易出現惰性失真和負峰切割失真，一般不應用于數字采樣處理的高頻載波的調幅信號之中[1,2]。軟件處理方法主要包括Hilbert幅值解調法和小波變換法，Hilbert幅 值解調法是通過Hilbert 變換獲取信號的幅值和相位，由于隨機噪聲的干擾，解調獲得的包絡輪廓較為粗糙[3]?；诰€性相位小波具有奇對稱實部與偶對稱虛部的性質，小波變換法[4,5]利用小波分解并重構一對幅值與頻率均相同的正交信號，再對調幅信號的幅值變化實現解調制，小波變換克服了Hilbert變換的不足，提高了包絡提取的精度，但需要根據不同的信號選擇相應的小波基函數，且不適合嵌入式系統(tǒng)。

正弦擬合的幅相位算法具有很高的精度，但包絡計算的逐段擬合耗時長，且要求系統(tǒng)存儲空間大，不適合高速實時處理。為此，本文以最小二乘線性正弦擬合算法[6,7]為基礎，提出了一種數字式移動正弦擬合快速求解包絡曲線

的方法。

具體思路如下：對直接AD采樣的數字調幅信號在逐段正弦移動擬合過程中，首先對以起始點數據段進行完整的正弦擬合，然后結合前向遞推思想，利用上一次擬合的中間矩陣參數，在不需要重新擬合的條件下，計算下一點開始的數據段擬合結果，并得到新的中間矩陣參數，直到獲取移動過程中每一段的擬合結果，最后根據擬合參數與調制信號的關系，設計適合的計算公式，準確求取調幅信號的包絡曲線。由于算法充分利用遞推思想，極大降低了計算量與包絡曲線求解時間，且具有正弦擬合算法抗干擾能力強的特點，同時算法靈活，不僅適合整周期，也適合非整周期采樣數據的處理。另外，算法適應性廣，對采樣信號是否帶直流偏置無要求。

1 線性正弦擬合算法

1.1 調幅信號的包絡解析與正弦擬合算法

調幅信號是頻率固定幅值隨時間變化的曲線，假設調幅信號的公式表達為

x(t)=u(t)cos(φ0+2πfct)+c

(1)

式中fc為載波頻率，u(t)為調制信號，代表被測對象的幅值，φ0為信號的初始相位，c為信號的直流偏置。調幅信號直接經過滿足采樣定理的A/D轉換后，得到等間隔的離散采樣信號

xi=Aicos(φ0+2πifc/fs)+ci

(2)

式中fs為采樣頻率，一般要求fs>10fc，i為采樣序列，Ai為調幅信號幅值。為了得到調幅信號的包絡曲線，需求得式(2)中每個采樣序列對應的正弦信號的幅值Ai，由于單個數據點不能得到信號幅值和相位，需要選取一定區(qū)間內的數據集進行正弦擬合。

根據正弦信號周期性的特點，對整周期采樣點數的擬合具有更高的精度，因此，包絡信號的提取一般選擇一個周期的采樣長度進行逐段擬合。事實上，若載波周期不是采樣周期的整數倍，為減小計算的復雜度且保證包絡信號的準確性，則盡量選取與載波周期理論點數最相近的整數點數。

1.2 線性最小二乘正弦擬合算法思想

考慮到信號u(t)的變化頻率遠遠低于載波頻率，調幅信號的幅值變化緩慢，可認為fc在決定周期Tc內幅值與直流偏置均為常數，故在一個較小的采樣時間段內，則式(2)可以寫成

xi=Acos(φ0+iδ)+c+εi

(3)

式中δ=2πfc/fs，為采樣相移量，εi為采樣信號的誤差。實際逐段擬合計算過程中，可假設每小段采樣區(qū)間內的數據i從0開始，即i=0,…,nT-1。為得到參數A，φ0，c的大小，按照最小二乘擬合的思想，滿足誤差平方和最小原則，令有

a=Acosφ0,b=-Asinφ0

(4)

則有線性化最小二乘擬合為

f(a,b,c)=∑(xi-acos (iδ)+bsin(iδ)-c)2

=min

(5)

因此，求解參數A，φ0，c轉變成求解最小二乘擬合值參數a，b，c的問題。為使最小二乘擬合誤差最小，滿足式(2)的條件為

(6)

將式(6)寫成矩陣形式，得到等式方程

(7)

令

(8)

則根據式(8)可以得到

(9)

求解出最小二乘擬合值參數a，b，c后，即可得到正弦信號幅值A和初始相位φ0。

一次正弦擬合只能得到調幅信號的一個包絡點，為了得到所有包絡點，形成一個包絡曲線，需要求解出包絡曲線上每一點對應的包絡幅值，即需要對調幅信號進行逐段正弦擬合，但這會導致運算量較大，極大地增加了包絡曲線的求解時間,因而，需要一種能夠進行快速擬合的算法。

2 移動正弦擬合快速算法

2.1 調幅信號的包絡解析與正弦擬合算法

從線性最小二乘正弦擬合算法的計算過程可以看出，為了得到采樣數據某一點的信號幅值，需要對以該點為中心的一段區(qū)間數據進行正弦擬合。且隨著被擬合數據點的移動，擬合數據區(qū)間也對應移動。移動正弦擬合的數據區(qū)間移動過程如圖1所示,當求解移動數據點T(m)，T(m+1)，T(m+2), …對應的正弦幅值時，需要分別對區(qū)間m，m+1，m+2,…內的數據進行正弦擬合。從圖中可以看出，在相鄰數據區(qū)間移動過程中，實際參與擬合的數據只是去掉首端值，尾端增加一個值，總數據量不變。移動擬合過程與移動平均[8]一樣，上一個數據擬合區(qū)間與下一個數據擬合區(qū)間存在大量重復數據點的處理。根據擬合算法的特點，可對重復點的數據進行適當的區(qū)分處理，實現移動正弦擬合的快速算法。為此，這里引入向前遞推的算法，來降低擬合計算量，提高移動正弦擬合的計算速度。

圖1 調幅信號移動正弦擬合區(qū)間

2.2 向前遞推算法與求解公式

假設當前移動擬合數據區(qū)間的數據組Xk=[xkxk+1…xk+nT-1]，則下一組為Xk+1=[xk+1xk+2…xk+nT]。根據式(9)可知，在區(qū)間擬合過程中，每一個區(qū)間都作為一組新的數據進行正弦擬合，而每組數據正弦擬合的關鍵在于中間矩陣B與Y的求解。由擬合參數的推導過程可以看出，參與計算的矩陣B僅與擬合數據量以及采樣相移量相關，因此在移動正弦擬合過程中，矩陣B與逆矩陣B-1是與采樣數據無關的常矩陣，可對其預先初始化。在實際移動擬合過程中，為得到區(qū)間長度為nT的擬合區(qū)間中間點的幅值與相位，式(8)中的矩陣B改造為如下形式

B=

其中,r=(nT-1)/2，并且由式(8)可知矩陣Y是隨著區(qū)間數據組的變化而發(fā)生改變的。假設數據組Xk對應的矩陣為Yk，數據組Xk+1對應的矩陣為Yk+1，那么分別有

應用三角函數公式的數學推導，可以發(fā)現Yk+1與Yk之間存在如下的遞推關系

(10)

顯然在Yk已知的條件下，此遞推公式通過預存cosδ，sinδ，cos((nT-1)δ)與sin((nT-1)δ)四個常量，僅需要少許的計算量即可求得Yk+1的值，極大地降低了矩陣Yk+1的計算工作量，從而大大降低了整體正弦移動擬合的計算工作量。在得到矩陣B-1與Yk的基礎上，利用式(9)即可以快速得到擬合值ak，bk，ck。

值得指出的是，由于正弦擬合需要一定的數據量，因此在移動正弦擬合算法同移動平均一樣，出現邊沿損失現象，所獲得的包絡曲線數據量比采樣數據少一個正弦擬合數據量nT。

2.3 遞推算法的運算復雜度分析

結合Yk遞推計算量與正弦擬合公式(9)，計算得到遞推法與直接擬合的運算量對比圖如圖2所示。

圖2 遞推法與直接擬合的運算量對比

圖2中橫縱坐標均為對數坐標顯示，沒有采用遞推算法的每一次正弦擬合，需要2nT+9次浮點乘法運算，3(nT-1)+6次加法運算；而采用遞推算法后僅要求15次乘法運算與14次加法運算，與區(qū)間數據量nT大小無關。從預存函數值空間來看，非遞推算法要求預存2nT個正余弦函數值，而遞推算法僅需4個函數值，所占內存空間少，易于單片機嵌入式系統(tǒng)的實現。由于非遞推擬合算法的運算復雜度正比于擬合數據量，遞推算法隨著nT的增加，速度優(yōu)勢更加明顯。假設1 000個采樣數據，不同周期采樣點的計算工作量比較。如每個周期達到100點以上的條件下，遞推移動正弦擬合運算相對于直接擬合算法乘法計算次數縮小1/15，加法次數縮小到1/20，這有利于高頻率采樣信號的處理，且總體計算量與采樣頻率無關。

3 包絡曲線的快速求解及實例

3.1 包絡曲線的求解方法

理論上,包絡曲線所求結果是調幅信號的幅值曲線。在得到正弦移動擬合結果ak，bk，ck后，可以按照如下公式(11)，直接計算幅值Ak

(11)

嵌入式系統(tǒng)中是通過迭代運算求取平方根，為了減小計算量，可以采用對擬合值直接求絕對值的方法來計算包絡曲線。根據公式(4)，可知正弦參數擬合值得絕對值滿足

在載波采樣周期nT內，幅值Ak近似滿足如下關系

(12)

因此，可直接通過求解擬合參數的絕對值，來求取包絡幅值曲線，將平方運算轉換成加法與乘法運算，可以顯著降低移動擬合后包絡曲線的計算量。

如圖3所示為某包絡信號正弦擬合參數擬合值ak與bk的絕對值及移動平均曲線圖。

圖3 擬合參數的絕對值及其移動平均結果

圖3中所顯示的是采樣信號第750～850個采樣點的處理結果，故結果中不包括移動擬合和移動平均所導致的邊沿效應。從圖中局部放大的絕對值移動平均曲線來看，兩參數的ak,bk絕對值移動平均存在較大的周期波動起伏，進一步觀察可以看出，兩者的波動大小正好相反，可以互相彌補，兩者的絕對值均值的移動平均更能反映實際的包絡曲線。故包絡幅值的計算公式修正如下

(13)

3.2 超聲測距解包絡實例

在超聲解調測距系統(tǒng)中，控制輸出激勵信號，返回的超聲波回波放大信號如圖4所示。

圖4 超聲波回波采集信號

其中超聲波發(fā)射探頭輸出頻率fc為40 kHz的方波激勵信號，回波放大信號直接采用STM32單片機內部的12位A/D轉換器，并設置為其最高采樣頻率6/7 MHz，即采樣相位間隔δ為7π/75，則一個信號周期內的采樣點數為21.43，采樣序列總長度為2 000。圖中的回波曲線不同于常規(guī)的回波曲線，原因在于系統(tǒng)的超聲發(fā)射采用了正反向反復激勵的輸出方式[9,10]。

在超聲回波移動正弦擬合過程中，首先選取21個采樣點作為固定擬合長度進行移動正弦擬合(非整周期擬合)并計算出常數矩陣B與B-1，再根據采樣信號獲得3個初始正弦擬合參數，運用遞推算法得到所有區(qū)間段的擬合參數值，最后根據式(13)得到移動正弦擬合過程中的第500～1 000數據點的擬合相位、擬合信號以及擬合誤差的如圖5所示.從圖5 (a)可以看出采樣信號的波谷對應的擬合相位為0，波峰對應的擬合相位為π (或-π)，從圖5(b)可以看出:原始信號與擬合信號基本重合，圖5 (c)顯示出擬合誤差較小且為白噪聲，與預期結果一致。

圖5 移動正弦擬合結果

快速移動正弦擬合求解后，對擬合求解參數ak，bk的絕對值和進行移動平均，利用包絡曲線的求解公式(13)就能夠快速計算出調幅信號的上包絡。圖6顯示了有效部分采樣點的原始信號及根據移動正弦擬合計算得到的包絡曲線圖。

圖6 超聲測距輸出信號解包絡

圖6中為了更加清晰顯示包絡曲線的求解效果，包絡曲線由包絡幅值Ak與直流偏置ck之和替代，可以看出移動正弦擬合能夠較為準確地獲取調幅信號的包絡曲線。

4 結 論

分析對比了直接正弦擬合與遞推正弦擬合求解包絡曲線的算法復雜度，表明該方法在高頻采樣中運算量與存儲

空間量都具有明顯的優(yōu)勢。提出利用擬合參數絕對值均值的移動平均方法代替幅值公式求解調幅信號的包絡線，進一步降低了計算量，且適宜嵌入式系統(tǒng)的算法設計。同時該算法適用于非整周期采樣擬合，應用于超聲波信號的包絡曲線解調實驗中，能快速有效獲取采樣信號的包絡曲線。