感悟基本思想，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

幾何的魅力之一在于圖形的對(duì)稱之美?！胺蛎酪舱撸舷?、內(nèi)外、小大、遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美?！薄秶?guó)語(yǔ)》中的這句名言，所強(qiáng)調(diào)的就是對(duì)稱美?！拜S對(duì)稱圖形”是“全等三角形”“軸對(duì)稱”（小學(xué)所學(xué)）的發(fā)展和延續(xù)，也是后續(xù)進(jìn)一步研究中心對(duì)稱的基礎(chǔ)。

整體感悟，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

本章的內(nèi)容包括軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案，線段、角的軸對(duì)稱性以及等腰三角形的軸對(duì)稱性，運(yùn)用性質(zhì)作圖等。通過對(duì)本章知識(shí)之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行歸納，我們可以得到一幅條理清晰、重點(diǎn)突出、關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S導(dǎo)圖（如圖1）。

同學(xué)們，本章學(xué)習(xí)的基本過程是：概念及其基本性質(zhì)→特例及其基本性質(zhì)→數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用→在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用（欣賞、設(shè)計(jì)）。數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著一定的邏輯關(guān)系，這種關(guān)系體現(xiàn)了知識(shí)從哪里來(lái)、怎樣形成、到哪里去。我們只有明確了知識(shí)的來(lái)龍去脈，方能從整體上真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

“軸對(duì)稱”的核心概念

當(dāng)一個(gè)平面圖形沿著直線l折疊后，如果直線l兩邊的圖形能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫作軸對(duì)稱圖形，而這條直線則被稱為對(duì)稱軸，直線l兩邊相互疊合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫對(duì)稱點(diǎn)。值得注意的是，對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)點(diǎn)是兩個(gè)關(guān)鍵詞，由此可以派生出一系列對(duì)應(yīng)幾何元素，如對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)圖形等。這些元素有助于我們探究軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)。

我們知道，確定軸對(duì)稱變換的要素是對(duì)稱軸。我們以此為“基準(zhǔn)”，將對(duì)應(yīng)元素與變換的要素聯(lián)系起來(lái)，探究其中的不變量和不變關(guān)系，這就是研究軸對(duì)稱基本性質(zhì)的一般方法。在研究軸對(duì)稱性質(zhì)時(shí)，同學(xué)們要“有邏輯地思考”，可以按照“對(duì)應(yīng)點(diǎn)→對(duì)應(yīng)線段→對(duì)應(yīng)角→對(duì)應(yīng)圖形”的層次展開對(duì)軸對(duì)稱性質(zhì)的研究。

例如，如圖2，點(diǎn)P1、P2位于直線l的兩側(cè)，所以線段P1P2與直線l必相交，設(shè)交點(diǎn)為O。若平面沿直線l折疊后，點(diǎn)P1與點(diǎn)P2重合，則P1O與P2O重合，故P1O=P2O；這時(shí)，以O(shè)為頂點(diǎn)、l為鄰邊的兩個(gè)鄰補(bǔ)角也重合，所以直線l⊥P1P2，于是得到軸對(duì)稱的基本性質(zhì)：平面內(nèi)，如果點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對(duì)稱，那么線段P1P2被對(duì)稱軸l垂直平分。

類比這樣的探究方法，如果是兩個(gè)圖形關(guān)于直線l對(duì)稱，它們又有怎樣的關(guān)系呢？同學(xué)們可以結(jié)合圖3，自主研究，并寫下你的發(fā)現(xiàn)。

推理論證，提升能力

在應(yīng)用知識(shí)的過程中，我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)規(guī)律的揭示，解題策略的優(yōu)化，在本章利用圖形探索和發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。

例 如圖4，已知△ABC為等腰三角形。證明：等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合（三線合一）。

方法1：作AD平分∠BAC，則∠BAD=∠CAD。

在△ABD和△ACD中，

[AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，]

∴△ABD≌△ACD（SAS）。

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°。

∴AD是△ABC底邊上的高線、中線以及頂角平分線。

方法2：取BC中點(diǎn)D，連接AD。通過“SSS”可證△ABD≌△ACD，從而得到AD⊥BC，AD平分∠BAC。

方法3：作AD⊥BC，通過“HL”可證Rt△ABD≌Rt△ACD，從而得到AD平分∠BAC，BD=CD。

方法4（用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)證明）：在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC的平分線AD將△ABD翻折，∴∠BAD=∠CAD?！郃B落在射線AC上?！逜B=AC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，從而△ABD與△ACD重合，從而得到AD⊥BC，BD=CD。

同學(xué)們，如果將物體繞著某個(gè)中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原物體重合，這又是什么對(duì)稱呢？我們又該如何研究呢？