基于APOS理論與幾何畫板環(huán)境的數(shù)學概念教學設(shè)計

摘要：文章以導數(shù)概念教學為例，以APOS理論為依據(jù)，借助幾何畫板，分4個階段對導數(shù)概念進行教學設(shè)計.通過實踐，對比傳統(tǒng)教學模式，該方法不僅能提高學生的原有認知水平，還能讓他們對概念的理解達到一個更高的水平.

關(guān)鍵詞：APOS理論；幾何畫板；導數(shù)

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）27-0002-04

隨著教育改革的深入，高中數(shù)學概念教學的有效性日益受到關(guān)注.傳統(tǒng)的概念教學方式往往只注重機械化記憶，而忽視學生對概念認知的遞進過程.APOS理論作為一種新型教學理論，強調(diào)學生在概念學習中的心理認知過程，為概念教學提供了新的視角.APOS理論主張學生在概念學習過程中，需經(jīng)歷四個階段的心理認知過程，包括操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme）.這四個階段層層遞進，有助于學生深入理解和掌握概念.同時，信息技術(shù)的快速發(fā)展為數(shù)學概念教學提供了更多的可能性.幾何畫板作為一種信息化教學工具，具有直觀、動態(tài)的特點，能夠幫助學生更好地理解數(shù)學概念.因此，本研究旨在結(jié)合APOS理論和幾何畫板，探討高中導數(shù)概念教學的有效方法，希望能在一定程度上提高教學效果以及激發(fā)學生對數(shù)學概念的學習興趣.

1理論基礎(chǔ)

APOS理論是美國數(shù)學家杜賓斯基在皮亞杰“自反抽象”理論的基礎(chǔ)上提煉而成，該理論認為，學生不能直接學習到數(shù)學概念的本質(zhì)，需要通過心智結(jié)構(gòu)將所學的數(shù)學概念產(chǎn)生意義.杜賓斯基發(fā)現(xiàn)，以APOS理論為指導的教學方法還能有效地提高學生的發(fā)現(xiàn)能力和分析能力［1］.這一建構(gòu)過程主要包括以下4個階段.

1.1操作（Action）階段

操作階段是學生建構(gòu)數(shù)學概念的起點，即通過“操作”從外界給予一種刺激，學生可以親身體驗和感悟數(shù)學概念的直觀背景，這就要求教師能給學生提供一個符合現(xiàn)有認知水平的思維背景，使學生在獲得嚴格的定義之前，先對新的數(shù)學概念能有初步的感性認識.以導數(shù)概念教學為例，我們可以借助幾何畫板軟件生成數(shù)學對象的動態(tài)圖象，根據(jù)課程內(nèi)容進程的需要進行不同程度的圖形變換，感悟“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系，為下一階段的教學奠定基礎(chǔ).

1.2過程（Process）階段

在經(jīng)歷了前一階段的連續(xù)操作和直觀感知之后，學生便會在頭腦中對活動進行心理操作，并將其壓縮內(nèi)化，抽象出新概念的本質(zhì)特征.由于省去一些復雜的操作，學生才能快速地完成對過程的逆轉(zhuǎn)和多種過程的組合，形成邏輯化的數(shù)學思維.在此階段，教師需要提出一些新的問題，讓學生進行更深入的數(shù)學思考.幾何畫板是解決這些問題的最佳輔助工具，利用其動態(tài)變化過程，反復改變約束條件，化抽象為具體，實現(xiàn)學生思維從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，掌握概念的精髓.

1.3對象（Object）階段

對象階段是用自己的語言邏輯對抽象出的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號，使其成為一個完整的數(shù)學對象.隨著學習的深入，學生在頭腦中將會不斷地豐富和完善數(shù)學概念，呈現(xiàn)出靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，更容易從整體上把握概念的本質(zhì).此時，學生可以清楚地指出數(shù)學概念的各種性質(zhì)，還可以借助幾何畫板靈活的動態(tài)性和強大的計算功能，實現(xiàn)數(shù)學對象的各項運算.

1.4圖式（Scheme）階段

圖式階段是一個不斷深入學習的過程，需要學生將新學習的知識和原有知識聯(lián)系起來，通過同化和順應(yīng)建立新的平衡，最后將知識融入自己已有的認知框架中，使知識之間產(chǎn)生新的、有意義的聯(lián)系，從而借助新獲得的概念解決一些相關(guān)的數(shù)學問題.在這種長期的建構(gòu)過程中，可以進一步提高學生的思維和感知能力，并對新概念的加工和處理進入更高的層次.在幾何畫板環(huán)境下，上述四階段關(guān)系如圖1所示.

幾何畫板是由美國數(shù)學教育研究員Nicholas Jackiw設(shè)計而成的，它是一款允許用戶通過點、線、面以及各種三維圖形的操作來滿足教師的教學需求，同時它還被廣泛應(yīng)用于平面幾何、代數(shù)、統(tǒng)計學、物理等學科的動態(tài)課堂教學活動中.

APOS理論只是描述學生可能具有的思維能力，但學生頭腦中“真正”產(chǎn)生了什么樣的效果不是教師能主觀決定的，APOS理論分析的主要目的就是指出可能的教學策略和方法，以供有需要的教師作為參考、借鑒.這里是以高中導數(shù)概念教學為例，基于APOS理論的指導，依托幾何畫板數(shù)學教學軟件探討概念教學的全過程.

2導數(shù)概念的教學設(shè)計

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對“導數(shù)及其應(yīng)用”的定位，要求學生不僅要學習導數(shù)的概念、基本運算，更要體會導數(shù)的內(nèi)涵和性質(zhì)，感悟極限的思想.這樣才能從宏觀上把握導數(shù)的概念，感受導數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用，體會導數(shù)內(nèi)容設(shè)置的真正意義.

2.1創(chuàng)設(shè)情境，開展活動——操作階段

引例（人民教育出版社高中B版教科書數(shù)學選修2-2，第一章第一節(jié)第6頁）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：h=-4.9t2+6.5t+10.試探究運動員在t=2 s時的瞬時速度.

這個階段的高中生在學習導數(shù)概念之前，已經(jīng)在物理學科中掌握了有關(guān)速度、加速度、平均速度以及通過平均速度計算瞬時速度的知識.教科書對于導數(shù)幾何意義的解釋，是通過計算割線斜率等于兩點間的平均變化率.學生借助幾何畫板可以快速地制作出函數(shù)h（t）的變化圖象，并準確地計算出平均速度和斜率的值，同時還可以比較兩組數(shù)據(jù)的變化，觀察割線的運動軌跡，從“數(shù)”和“形”兩個角度去理解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系.

如圖2、圖3，點P是函數(shù)圖象上的一動點，它表示運動員在跳水過程中任意時刻的位置；點Q表示運動員在第二秒時距離水平面高度3.4米的一個定點，直線m是過點P和點Q的一條割線.

在這一學習活動中，學生可以任意改變參數(shù)△t的值，使點P移動到點Q的上方或下方，隨著△t的變化，點 P的坐標也隨之改變.但經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，無論參數(shù)△t如何變化、點P怎么移動，只要動點P不與定點Q重合，幾何畫板計算的兩個值（平均速度和割線斜率）始終相等.

依據(jù)APOS理論，在該階段教師需要為學生創(chuàng)設(shè)一個真實的生活情境，并利用幾何畫板的繪圖功能生成該函數(shù)的動態(tài)圖象.通過改變參數(shù)△t的值，學生進一步研究點P的位置變化和坐標值，在多組參數(shù)△t的對比之下，進而去證明“平均速度和割線斜率是始終保持一致的”.這樣重復的操作，不僅讓學生對函數(shù)概念有一個直觀的印象，還能為順利進入APOS理論的過程階段打下基礎(chǔ).

2.2自主探究，描述概念——過程階段

根據(jù)APOS理論，學生需要在過程階段對外顯的數(shù)學活動做進一步的反思.在幾何畫板的環(huán)境中，學生已經(jīng)開始熟悉利用參數(shù)△t的動態(tài)變化，對函數(shù)圖象進行觀察、操作、分析、總結(jié)等過程，讓學生親身體驗從平均速度到瞬時速度的過渡，從而加深對導數(shù)概念本質(zhì)的領(lǐng)悟和理解.

2.3辨析概念，明晰對象——對象階段

在這個階段，學生雖然在頭腦中對導數(shù)概念有了一定的建構(gòu)，但還沒有形成透徹的理解.教師可以繼續(xù)利用一些物理學或生活中的案例對學生進行跨學科指導，幫助學生從不同角度來理清物體的運動軌跡和數(shù)學割線，以及近似切線的動態(tài)變化過程，學生在體驗不同類型的實例時，會對導數(shù)概念更加印象深刻.即歸納出導數(shù)的定義

借助幾何畫板，可以很容易地繪制出任意函數(shù)及其導函數(shù)的圖象，并且還能以動態(tài)的方式呈現(xiàn).圖6是以對數(shù)函數(shù)u（x）=lnx和三角函數(shù)v（x）=sinx為例，繪制它們乘積導函數(shù)（uv）′的圖象，只需在幾何畫板界面選中函數(shù)u（x）和v（x），操作“定義導函數(shù)”的指令，即可快速地顯示其圖象和解析式.此外，還可以利用幾何畫板的自定義工具繼續(xù)驗證函數(shù)的求導法則，通過操作幾何畫板工具欄中的繪制新函數(shù)的命令，進行呈現(xiàn)函數(shù)u（x）和v（x）的和、差、積、商的導函數(shù)及其圖象，并讓學生逐一觀察，從而在視覺上進一步去理解導數(shù)的四則運算法則.

依據(jù)APOS理論，完成上述幾何畫板的復雜操作后，學生對不同函數(shù)圖象進行了分析比較，并親自驗證了導數(shù)四則運算法則的全過程.在這個過程中，學生已經(jīng)將導數(shù)看作一個 “實體”，即對象.

2.4強化應(yīng)用，概念聯(lián)結(jié)——圖式階段

在該階段，學生需要構(gòu)建一個關(guān)于導數(shù)概念的綜合圖式，從而去解決相關(guān)的現(xiàn)實問題.在幾何畫板環(huán)境下，可以直接對已知函數(shù)進行求導，并在繪圖區(qū)呈現(xiàn)其函數(shù)圖象，進而認識函數(shù)的一些其他性質(zhì).

APOS理論認為四個階段是循序漸進的、不可逾越的，每個階段都有其存在的必要性.從上述的活動過程中可以認為，幾何畫板能夠讓學生獨立地發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念與模塊知識之間千絲萬縷的聯(lián)系，明白每一個知識都不是獨立地存在，而是需要與其他知識相互支撐.實踐證明，APOS理論與幾何畫板相結(jié)合，可以更好地化抽象為具體、化靜為動，使高中生學習復雜的抽象概念時，不會形成 “恐懼”的心理反應(yīng)，而是能夠從直觀中獲得對概念的簡單認知.這樣不僅可以提高課堂效率，也能使學生在學習概念知識的過程中少走一些彎路.

3結(jié)束語

研究表明，APOS理論同樣適用于初等階段的數(shù)學內(nèi)容，尤其是在幾何畫板等多種信息技術(shù)的輔助下，既能解決概念教學過程中的難點，又能提高學生的數(shù)學學習能力，達到傳統(tǒng)教學無法企及的高度.

參考文獻：

［1］ 濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解［J］.數(shù)學教育學報，2007（02）：48-50.

［責任編輯：李璟］