基于模糊控制的柔性耦合梁壓電主動抑振研究

摘" 要： 彎曲振動是影響柔性梁工作性能和穩(wěn)定性的重要因素，而壓電主動控制是實現(xiàn)柔性梁抑振的途徑之一.為了提高壓電主動控制系統(tǒng)的抑振效果，利用LabVIEW平臺設(shè)計了基于模糊控制的柔性耦合梁壓電主動抑振系統(tǒng).根據(jù)耦合梁動力學(xué)理論，建立了壓電柔性耦合梁的動力學(xué)模型，求解了柔性梁的耦合固有頻率并分析其模態(tài)特性.根據(jù)模態(tài)振型，為了實現(xiàn)最佳抑振效果，將MFC壓電片設(shè)置在振幅最大位置處，并以此設(shè)計壓電振動控制系統(tǒng).此外，利用LabVIEW平臺和NI數(shù)據(jù)采集卡搭建了振動控制測試系統(tǒng)，對不同激勵下柔性梁振動的抑振效果進(jìn)行測試和比較.結(jié)果表明：當(dāng)柔性梁的振動頻率低于一階固有頻率時，梁末端處的振動位移最大.將MFC壓電片設(shè)置在柔性梁末端，在連續(xù)激勵振動下，通過模糊控制可以使柔性梁的振動幅值減小35%，且模糊控制的減振效果優(yōu)于PID控制.

關(guān)鍵詞： 耦合振動；柔性梁；模糊控制；壓電抑振；LabVIEW

中圖分類號：TH113.1""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A""""" 文章編號：1673-4807（2024）01-049-06

DOI：10.20061/j.issn.1673-4807.2024.01.008

收稿日期： 2022-04-29""" 修回日期： 2021-04-29

基金項目： 國家自然科學(xué)基金項目（51905228），江蘇省高校“青藍(lán)工程”資助項目（蘇教師函［2022］29號）

作者簡介： 李沖（1988—），男，副教授，研究方向為壓電驅(qū)動與控制、微機電系統(tǒng)、機械動力學(xué)等.E-mail：lichong@just.edu.cn

引文格式： 李沖， 沈亮，方記文，等.基于模糊控制的柔性耦合梁壓電主動抑振研究［J］.江蘇科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2024，38（1）：49-54.DOI：10.20061/j.issn.1673-4807.2024.01.008.

Study on piezoelectric active vibration control of piezoelectricflexible coupled beams based on fuzzy control

LI Chong， SHEN Liang， FANG Jiwen， ZHONG Wei

（School of Mechanical Engineering， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang" 212100，China）

Abstract：Bending vibration is an important factor affecting the performance and stability of flexible beams， and piezoelectric active control is one of the ways to achieve vibration suppression of flexible beams. In order to improve the vibration suppression effect of piezoelectric active control systems， a piezoelectric active vibration control system of a flexible coupled beam based on fuzzy control was designed using LabVIEW platform. According to the dynamic theory of coupled beams， the dynamic model of a piezoelectric coupled flexible beam was established， the coupling natural frequency of the flexible beam was solved， and its modal characteristics were analyzed. According to the modal shape， in order to achieve the best vibration suppression effect， the MFC piezoelectric plate is set at the position of the maximum amplitude， and the piezoelectric vibration control system is designed accordingly. Besides， the vibration control test system was built by LabVIEW platform and NI data acquisition card， and the vibration suppression effects of flexible beams under different excitation were tested and compared. The results show that when the vibration frequency of the flexible beam is lower than the first-order natural frequency， the vibration displacement is the largest at the end of the beam. When an MFC piezoelectric plate is set at the end of flexible beam， the vibration amplitude of the flexible beam can be reduced by 35% by fuzzy control under continuous excitation， and the vibration reduction effect of fuzzy control is better than that of PID control.

Key words：coupled vibration， flexible beam， fuzzy control， piezoelectric vibration control， LabVIEW

由于壓電智能元件具有良好的可埋入性、重量輕、頻響范圍寬，且同時具有正、逆壓電效應(yīng)等特點，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的減振降噪領(lǐng)域.利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，可以將壓電元件作為作動器，進(jìn)行主動振動控制.

壓電主動控制技術(shù)是振動控制中的一個重要方向，現(xiàn)代控制理論的應(yīng)用對壓電主動抑振技術(shù)發(fā)展起到巨大推動作用.文獻(xiàn)［1］利用壓電致動器對船殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了主動振動控制.文獻(xiàn)［2］將壓電主動控制應(yīng)用于硬盤驅(qū)動器振動噪聲的主動控制，采用遺傳算法來確定壓電致動器最優(yōu)粘貼位置，結(jié)果顯示壓電致動器能夠有效減弱振動噪聲.文獻(xiàn)［3］分析和測試了壓電致動器對機翼后邊緣擺動的主動控制.NASA格倫研究中心研究人員將壓電主動控制技術(shù)應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)葉片抑振［4］.近年來國內(nèi)對于壓電主動控制在薄壁結(jié)構(gòu)抑振領(lǐng)域的研究與日俱增.文獻(xiàn)［5］研究了大迎角下飛機尾翼抖振的壓電主動控制，驗證了壓電主動控制在大迎角下尾翼抖振控制的可行性.文獻(xiàn)［6］將壓電材料制成的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器以及最優(yōu)輸出反饋控制策略應(yīng)用于柔性航天器在軌振動主動控制，數(shù)值仿真顯示該種方法能夠有效控制擾動引起的振動.文獻(xiàn)［7］將壓電陶瓷應(yīng)用于轎車頂棚主動抑振，實驗結(jié)果顯示，基于壓電陶瓷的轎車頂棚振動主動控制系統(tǒng)能夠有效的控制轎車頂棚的振動.文獻(xiàn)［8］提出了將壓電智能材料作為傳感器和作動器，通過機電耦合抑制風(fēng)機葉片的振動，研究表明該種方法能夠使系統(tǒng)振幅減小20%.基于壓電纖維復(fù)合材料.文獻(xiàn)［9］對氣動彈性抖振進(jìn)行了振動控制，對MFC驅(qū)動器采用載荷比擬方法建模，利用速度負(fù)反饋算法設(shè)計控制律，研究結(jié)果為實際抖振主動控制提供了依據(jù).文獻(xiàn)［10］利用壓電纖維復(fù)合材料對旋轉(zhuǎn)葉片進(jìn)行了主動控制，揭示了系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)定性的影響規(guī)律.此外，針對風(fēng)機葉片的揮舞振動，文獻(xiàn)［11］將風(fēng)機葉片等效為懸臂梁，通過模糊PID控制對懸臂梁進(jìn)行了振動抑制，且模糊PID比普通PID具有較好的抑振效果.

針對薄壁機構(gòu)的振動，壓電主動控制已經(jīng)取得了眾多研究成果，如何更好地提高振動控制效果以及實現(xiàn)控制系統(tǒng)簡單可靠是壓電主動控制需要不斷探索的方向.因此，文中根據(jù)耦合梁動力學(xué)理論，建立了壓電柔性耦合梁的動力學(xué)模型，分析了柔性梁的振動特性.利用LabVIEW平臺設(shè)計了基于模糊控制的壓電柔性耦合梁壓電主動振動控制系統(tǒng).搭建了實驗測試系統(tǒng)，對不同激勵下柔性梁振動的抑振效果進(jìn)行測試和比較.

1" 壓電柔性耦合梁動力學(xué)模型

壓電柔性耦合梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1，利用表1的耦合梁進(jìn)行動力學(xué)特性分析.

壓電柔性耦合梁動力學(xué)模型如圖1，MFC壓電片分布于柔性梁末端，由于l1段和l2段在其長度范圍內(nèi)均屬于恒定剛度和截面梁，因此，可將兩段分別建立梁模型，通過邊界條件建立其耦合關(guān)系.

flexible coupled beam

圖1中，x1、x2以及y1、y2為兩段梁橫縱坐標(biāo)，f1、f2以及FS1、FS2分別為兩段梁的剪力和分布載荷，M1和M2為兩段的彎矩.根據(jù)歐拉-伯努利梁模型，可建立壓電柔性耦合梁動力學(xué)方程為

E1I14y1（x1，t）x41+ρS12y1（x1，t）x21=f1（x1，t）（E1I1+c33Ip）4y2（x2，t）x42+""" （ρ1S1+ρpSp）2y2（x2，t）x22=f2（x2，t）（1）

式中：E1為柔性梁的彈性模量；c33為壓電片的彈性模量；I1和Ip為l1和l2段的截面二次矩；ρ1和ρp為柔性梁和MFC壓電片的密度；S1和Sp為柔性梁和MFC壓電片的截面積.

當(dāng)l1段梁和l2段梁的模態(tài)函數(shù)分別為1（x1）和2（x2）時，由式（1）可得

（4）1（x1）－4ρ1S1E1I1ω21（x1）=0（4）2（x1）－4ρ1S1+ρpSpE1I1+c33Ipω22（x2）=0（2）

模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式為

1i（x1）=a1cos（β1x1）+a2sin（β1x1）+

a3cosh（β1x1）+a4sinh（β1x1）2i（x2）=b1cos（β2x2）+b2sin（β2x2）+

b3cosh（β2x2）+b4sinh（β2x2）（3）

式中：Ai和Bi（i=1，2，3，4）為積分常數(shù)；β1和β2為系數(shù)，β1=4ρ1S1E1I1ω2、β2=4ρ1S1+ρpSpE1I1+c33Ipω2.

通過邊界條件可對式（2）進(jìn)行求解，首先，l1段梁左側(cè)為固定端，梁的撓度和轉(zhuǎn)角都為0，同時，l1段梁右端為自由端，梁的彎矩和剪力均為0，此外，兩段梁為連續(xù)梁，接觸處撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力均相等，由此可得如下邊界條件：

1i（0）=0′1i（0）=0″2i（l2）=02i（l2）=01i（l1）=2i（0）′1i（l1）=′2i（0）″1i（l1）=″2i（0）1i（l1）=2i（0）（4）

由式（4）可得，模態(tài)函數(shù)的系數(shù)表達(dá)式分別為

a3=－a1，a4=－a2

b1=12a1（1+χ2）cos（β1l1）－（1－χ2）cosh（β1l1）

+12a2（1+χ2）sin（β1l1）－（1－χ2）sinh（β1l1）

b2=－12a1χ（1+χ2）sin（β1l1）+（1－χ2）sinh（β1l1）

+12a2χ（1+χ2）cos（β1l1）－（1－χ2）cosh（β1l1）

b3=12a1（1－χ2）cos（β1l1）－（1+χ2）cosh（β1l1）

+12a2（1－χ2）sin（β1l1）－（1+χ2）sinh（β1l1）

b4=－12a1χ（1－χ2）sin（β1l1）+（1+χ2）sinh（β1l1）

+12a2χ（1－χ2）cos（β1l1）－（1+χ2）cosh（β1l1）（5）

式中：χ為系數(shù)，χ=β1/β2.

將模態(tài)函數(shù)系統(tǒng)的表達(dá)式代入式（2）中，可求得系統(tǒng)各階固有頻率.

2" 壓電主動振動控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1" 基于PID的主動振動控制

基于PID的主動振動控制的算法采用數(shù)字PID控制，如圖2.

圖2中，r（k）為平衡處位移，y（k）為懸臂梁振動測量點的實際位移，e（k）為實際與平衡處之間的誤差值，u（k）為PID控制器的輸出值，且有

e（k）=r（k）－y（k）（6）

u（k）=Kpe（k）+TTi∑kj=0e（j）+Tde（k）－e（k－1）T（7）

式中：Kp是比例系數(shù)，Ti是積分時間，Td是微分時間，T是采樣時間.

在PID控制系統(tǒng)中，增大Kp可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，有利于減小靜差，但Kp過大會使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)，甚至發(fā)生振蕩，增加響應(yīng)時間；增大Ti，積分變?nèi)?，有利于減小超調(diào)，但同時會延長穩(wěn)定時間；增大Td可以允許加大比例控制，但Td過大或過小時，系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間仍會很大.

由于采樣時間T是常數(shù)，故式（7）也可以寫為

u（k）=Kpe（k）+Ki∑ki=0e（i）+Kde（k）－e（k－1）（8）

2.2" 基于模糊控制的主動振動控制

針對柔性梁模型特點，設(shè)計了雙輸入單輸出（DISO）的模糊控制器，其基本原理如圖3.圖3中r為系統(tǒng)設(shè)定值；e和ec分別為誤差和誤差的變化率；E和 EC分別是反映系統(tǒng)誤差和誤差變化率的模糊集合；U為模糊控制器的模糊輸出；u為去模糊化后精確輸出，y為系統(tǒng)反饋.

（1） 模糊化處理

在文中設(shè)計的雙輸入單輸出（DISO）的模糊控制器中，控制器的輸入為激光位移傳感器采集的振動電壓與平衡位置的誤差e和誤差變化率ec，控制器輸出u為MFC壓電片輸出電壓.根據(jù)懸臂梁系統(tǒng)振動幅值的范圍，選取輸入量誤差e、ec和輸出量u所對應(yīng)的模糊量E、EC和U的模糊子集論域均為［-3，3］，量化因子Ke、Kec和比例因子Ku按不同激振方式設(shè)置合理參數(shù).選取采用七級模糊集合，表2為模糊集合中語言變量的具體定義.

文中輸入量誤差e和誤差變化率ec采用高斯型隸屬度函數(shù)，輸出量u采用三角形隸屬度函數(shù).輸入和輸出隸屬度函數(shù)如圖4，5.

（2） 模糊控制規(guī)則

對于柔性梁系統(tǒng)，激光位移傳感器與MFC壓電片對面布置，MFC壓電片采用收縮型，所以當(dāng)梁有正向變形，激光位移傳感器采集到正向電壓，此時應(yīng)該向MFC壓電片施加正電壓，MFC壓電片收縮帶動懸臂梁產(chǎn)生反向變形.同理，當(dāng)懸臂梁負(fù)向變形時，應(yīng)該向MFC壓電片施加負(fù)電壓.且梁的形變越大時，施加的控制電壓越大.采用Mamdani模糊推理方法，模糊規(guī)則如下式：

If （e is NL） and （ec is NL）， then （u is NL）

……

If （e is PL） and （ec is PL） ， then （u is PL）

設(shè)計了以矩陣表的描述的7×7=49條規(guī)則，如表3.

（3） 去模糊化

去模糊化方法選擇重心法，表達(dá)式如下：

u*=∑ni=1u*iμimax（u）∑ni=1μimax（u）（9）

式中：u*i為第i個模糊集合與坐標(biāo)軸圍成面積的平分線對應(yīng)值，uimax（u）為該集合的隸屬度.

3" 仿真與實驗

3.1" 柔性梁振動特性分析

利用表1中的參數(shù)值，通過式（2）～（5）可計算出柔性梁系統(tǒng)的耦合固有頻率和繪制模態(tài)振型，表4為系統(tǒng)耦合固有頻率，圖6為柔性梁的模態(tài)振型.由表4和圖6可知：

（1） 柔性梁一階固有頻率值為24.5 Hz，其對應(yīng)的振型為梁彎曲振動，沒有出現(xiàn)峰值，梁末端位置處的位移最大.

（2） 在二階模態(tài)振型中，振動峰值開始出現(xiàn)，且隨著階數(shù)的增加，振動峰值數(shù)量逐漸增加.前三階模態(tài)振型中，梁末端振動位移與振動峰值相同，而在四～六階模態(tài)振型中，梁末端振動位移小于振動峰值.

（3） 由振型曲線可推斷，當(dāng)柔性梁的振動頻率低于一階固有頻率時，梁末端處的振動位移最大，因此，對柔性梁進(jìn)行低頻振動控制時，應(yīng)當(dāng)將MFC壓電片布置在柔性梁末端位置處.

3.2" 柔性梁主動抑振實驗

實驗系統(tǒng)如圖7，實驗中，使用激光位移傳感器檢測懸臂梁末端距平衡位置的振動位移大小，然后轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的電壓經(jīng)NI USB 6002數(shù)據(jù)采集卡傳入計算機中，計算機應(yīng)用數(shù)字PID控制算法對電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計算出對應(yīng)的控制電壓，再控制數(shù)據(jù)采集卡輸出此電壓，經(jīng)過壓電驅(qū)動器放大后作用在MFC致動器上，使MFC致動器產(chǎn)生相應(yīng)的形變來抑制懸臂梁的振動.本實驗所有位移大小均使用對應(yīng)的電壓幅值大小來表示.

利用LabVIEW軟件將圖2和3的PID和模糊控制原理編寫懸臂梁主動振動控制程序，程序集信號采集、數(shù)據(jù)存儲、數(shù)據(jù)實時顯示、數(shù)據(jù)處理、控制信號輸出等功能于一體，操作界面如圖8.

首先進(jìn)行瞬態(tài)擾動下柔性懸臂梁振動控制實驗，在本實驗中，在懸臂梁端部系一根細(xì)線，通過拉

動細(xì)線并固定，給懸臂梁端部一個初始位移，使其偏移平衡位置6 mm，剪斷細(xì)線后，使梁端部無控振動；在主動控制系統(tǒng)中，合理設(shè)置控制系統(tǒng)各運行參數(shù)，設(shè)置采樣模式為連續(xù)采樣，采樣速率為1 000，每通道采樣數(shù)為5，循環(huán)時間為5 ms，使其獲得良好的運行效果.其中PID控制中，設(shè)定Kp=0.1，Ti=1 s，Td=0.005 s；在模糊控制中，設(shè)定量化因子Ke=2，Kec=0.2，輸出通道比例因子Ku=0.6.壓電控制器輸出增益固定為100倍.再次重復(fù)上述步驟，使梁端部有控振動，得到無控制、PID控制和模糊控制狀態(tài)下的梁端部振動響應(yīng)曲線以及PID控制和模糊控制狀態(tài)下的MFC壓電片致動器加載電壓，如圖9.

由圖9可知，給定初始位移后，無控時，梁端部的振幅在自身阻尼的作用下緩慢衰減，在5.2 s后徹底停止振動；施加PID控制和模糊控制后，梁端部的振動在1 s內(nèi)均完全停止振動；施加模糊控制后在每個振動周期內(nèi)的振幅均小于施加PID控制后的振幅，其抑振效果優(yōu)于PID控制.

同時，對連續(xù)信號激勵下柔性懸臂梁抑振效果進(jìn)行了研究.采用激振儀對懸臂梁端部進(jìn)行激勵，同時激光傳感器對圖7中梁末端位置進(jìn)行信號采集.手動設(shè)置激振設(shè)備的振動信號的頻率和振幅，得到多組振動響應(yīng)曲線，以激振設(shè)備產(chǎn)生頻率10 Hz，幅值4 mm的振動信號為例，在PID控制中，設(shè)定比例Kp=9，Ti =2 s，Td =0.01 s；在模糊控制中，設(shè)定量化因子Ke=15，Kec=0.15，輸出通道比例因子Ku=0.68.壓電控制器輸出增益固定為100倍.得到持續(xù)激勵下，無控制、PID控制和模糊控制狀態(tài)下的懸臂梁的振動響應(yīng)曲線以及PID控制和模糊控制狀態(tài)下的MFC致動器加載電壓，如圖10.

由圖10可知，施加PID控制后，懸臂梁的振幅減小了30%左右.施加模糊控制后，懸臂梁的振幅被消減了35%左右.通過不同控制系統(tǒng)下壓電致動器的振動響應(yīng)比較可知，模糊控制穩(wěn)定性弱于PID控制的穩(wěn)定.

此外，施加控制后正負(fù)兩方向的振幅衰減不一致，這是因為MFC壓電致動器粘貼在懸臂梁的一面，壓電致動器以收縮形變?yōu)橹?，帶動懸臂梁單向產(chǎn)生形變?yōu)橹?，所以?dǎo)致懸臂梁正負(fù)向振動抑制效果不一致.

4" 結(jié)論

文中建立了壓電柔性耦合梁的動力學(xué)模型，分析了耦合梁的模態(tài)特性，利用LabVIEW平臺設(shè)計了基于模糊控制的壓電柔性耦合梁壓電主動振動控制系統(tǒng).搭建了實驗測試系統(tǒng)，對不同激勵下柔性梁的抑振效果進(jìn)行了測試和比較.結(jié)果表明：

（1） 當(dāng)柔性梁的振動頻率低于一階固有頻率時，梁末端處的振動位移最大.

（2） 在柔性梁連續(xù)激勵振動下，利用模糊控制可以使柔性梁的振動幅值減小35%.

（3） 模糊控制的減振效果優(yōu)于PID控制，而PID控制的穩(wěn)定性更好.

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（責(zé)任編輯：顧琳）