動態(tài)立體幾何問題中的“動中尋定”

在空間幾何體中，由于點、線、面位置的不確定引起的距離、角度、面積、體積的變化問題，我們稱為動態(tài)問題．這類問題在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，能有效考查學(xué)生的知識綜合應(yīng)用能力、推理論證以及空間想象能力．解決此類問題的一種重要策略是從動量中尋找不變量，即動中尋定，其中主要涉及尋找定點、定線、定面或定體，下面舉例分析．

１ 定點

動態(tài)立體幾何問題常見的題型有求角度的取值范圍、距離的最值等，這類問題往往與點的運動有關(guān)，只要我們能夠根據(jù)題目條件中所給的幾何體的相關(guān)性質(zhì)，找到對應(yīng)的定點或臨界點，即可解決問題．

例１ 在正方體ABCDＧA１B１C１D１ 中，點P 在A１C 上運動（包含端點），則直線D１P 與AD１ 所成角的取值范圍是____．

解析 如圖１ 所示，連接AB１ 交A１B 于點M ，由正方體的性質(zhì)可知AB１⊥A１B，AB１⊥A１D１，所以AM ⊥ 平面A１BCD１，點M 為點A 在平面A１BCD１內(nèi)的投影．連接D１M 交A１C于點N ，所以當點P 與點N 重合時，D１P 與AD１ 所成角（即∠AD１M ）最?。赗t △AD１M 中，sin∠AD１M ＝AM／AD１＝１／２，所以∠AD１M ＝π／６，即D１P與AD１ 所成角的最小值為π／６．

當點P 向點N 的兩端移動時，直線D１Pe5hbuFB8+HXLhHmpCtzdUg== 與AD１所成角逐漸變大，并在端點取得最大值．當點P 與點C 重合時，直線D１P 與AD１ 所成角為π／３．當點P 與點A１ 重合時，直線D１P 與AD１ 所成角為π／４．

綜上，直線D１P 與AD１ 所成角的取值范圍是[π／６，π／３]．

點評 求解本題的關(guān)鍵是尋找定點，即點A 在平面A１BCD１ 內(nèi)的投影，再結(jié)合直線與其在平面內(nèi)投影所成角最小的原理，即可得到所求角的最小值，進一步通過尋找臨界位置點，得到所求角的最大值．

２ 定線

長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等都是比較規(guī)則的幾何體，這些幾何體中的點、線、面大多具有平行或垂直關(guān)系，解題中利用這些關(guān)系往往能快速找到解題的切入點．

例２ 如圖２所示，在棱長為２ 的正方體ABCDＧA１B１C１D１ 中，點E 是棱CD的中點，點F 是底面ABCD內(nèi)一點（不包括邊界），現(xiàn)給出如下３個論斷：

３個論斷：

①A１F⊥BE;

②A１F＝３;

③S△ADF ＝２S△ABF ．

以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，可得到的正確的命題是____．

解析 選擇① A１F ⊥BE作為條件．由正方體的性質(zhì)可知AA１ ⊥BE，又A１F ⊥BE，所以BE ⊥ 平面A１AF，則BE⊥AF．如圖３所示，取BC 的中點M ，由正方形的性質(zhì)可知BE⊥AM ，所以點F 在AM 上，但AF 的長度不確定，故不能得出論斷②．

過點F 作FH 垂直AD 于點H ，F(xiàn)N 垂直AB 于點N ．在Rt△AMB 中，tan∠MAB ＝BM／AB ＝１／２．在Rt△AFN 中，tan∠FAN ＝tan∠MAB ＝１／２，即FN／AN ＝１／２．又AN ＝HF，所以FN／HF ＝１／２，S△ADF ＝１／２ADFH ，S△ABF ＝１／２ABFN ，且AD ＝AB，所以S△ADF ＝２S△ABF ，即得出論斷③．

類似地，也可由③得出①．

綜上，本題的答案為若A１F ⊥BE，則S△ADF ＝２S△ABF ;若S△ADF ＝２S△ABF ，則A１F⊥BE．

點評 本題中F 為正方形ABCD 內(nèi)的動點，A１F是動線，若A１F 與定線BE 垂直，則BE 垂直A１F 所在的平面，進而可得BE ⊥AF，所以點F在與BE 垂直的直線上，找到這條定線即可找到解題的切入點．由正方形的性質(zhì)找到與BE 垂直的直線AM ，從而確定了點F 的位置，使問題迎刃而解．

３ 定面

若一條動線與一個定面平行，則該直線在與已知平面平行的平面上運動．若一條動線與一條定線垂直，則動線在與定線垂直的平面上運動，只要找到相應(yīng)的定面即可解決問題．

例３ 如圖４所示，已知正方體ABCDＧA１B１C１D１的棱長為２，E 是棱D１C１ 上一點（不與端點重合），點M在正方體內(nèi)部或正方體的表面上．若EM ∥平面A１BC１，則動點M 的軌跡所形成的區(qū)域面積的最大值為（ ）．

A．９／２ B．２根號下３ C．３根號下３ D．４根號下 ２

解析 如圖５所示，在平面DCC１D１ 內(nèi)過點E作EF∥A１B 交C１C 于點F;在平面BCC１B１ 內(nèi)過點F 作FG ∥BC１ 交BC 于點G;在平面ABCD 內(nèi)過點G 作HG∥A１C１ 交AB 于點H ;在平面ABB１A１ 內(nèi)過點H 作HI∥A１B 交A１A 于點I;在平面ADD１A１ 內(nèi)過點I 作IJ∥BC１ 交A１D１于點J，連接JE．

由空間基本事實：兩條平行線確定一個平面，可知E，F(xiàn)，G，H ，I，J 六點共面，所以平面EFGHIJ∥平面A１BC１，故M 為六邊形EFGHIJ 的內(nèi)部及邊界上的點．結(jié)合正方體的性質(zhì)可知六邊形EFGHIJ 的周長為定值，故當其為正六邊形時面積最大，此時正六邊形的邊長為根號下２，進而可求得其面積為３根號下３，故選C．

點評 在本題中，點M 為動點，故EM 為動線，且EM 與定面A１BC１ 平行，所以EM 在與平面A１BC１ 平行的平面內(nèi)，因此構(gòu)造出這個定面是解題的關(guān)鍵．

４ 定體

空間中到一個定點的距離為定值的點的軌跡是球．如果題目條件中出現(xiàn)類似的定值，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的幾何體來解決問題．

例４ 在棱長為３的正方體ABCDＧA１B１C１D１中，M 是棱DD１ 上的動點，N 是平面ABCD 內(nèi)的動點，且MN ＝２．設(shè)線段MN 的中點為P ，則點P 的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為（ ）．

A．１ B．π／６ C．π／４ D．π／３

解析 如圖６ 所示，連接DN ，DP ，由正方體的性質(zhì)可知MD ⊥DN ，所以△MDN 為直角三角形．因為P 為斜邊MN 的中點，所以DP ＝１／２MN ＝１，即點P 到定點D 的距離為定值，所以點P 的軌跡是以點D 為球心、１為半徑的球．正方體的表面截球所得幾何體的體積為１／８V球＝１／８×４π／３×１３＝π／６，故選B．

點評 求解本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)動點P 到定點D 的距離為定值，由空間球的定義可知點P 在以D 為球心的球面上，從而找到定體

綜上，處理空間動態(tài)問題，要弄清問題的本質(zhì)，明確動的原因，尋找確定關(guān)系．除本文所述的“動中尋定”策略外，我們在解題時還可以引入變量、構(gòu)造目標函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來處理．

（完）