當(dāng)包含遇上排除：陸小豆的數(shù)學(xué)奇旅

10月1日 星期二

今天我和爸爸媽媽來到了美麗的南京。我們計劃游覽著名的“金陵十八景”。南京是一個歷史悠久的城市，有許多名勝古跡。聽說“金陵十八景”每一處都很美麗，我迫不及待地想要開始這次旅行。

媽媽是個旅游達(dá)人，她的手機(jī)相冊里收藏著許多金陵十八景的照片，她自豪地說已經(jīng)征服了十二景。而爸爸，雖然工作繁忙，但也曾多次因公事造訪南京，但具體去過幾景，他卻記不清了。我們的旅游地圖上“金陵十八景”都被打上了勾，說明十八景每一處都去過了，但是有五處畫了兩個勾，說明兩人都去過了。

我問爸爸，他到底去過幾景，他卻笑著說：“小豆啊，你不是數(shù)學(xué)高手嗎？你自己算算看?！?/p>

這下子，我傻眼了，這怎么算？

正當(dāng)我抓耳撓腮之際，學(xué)霸精靈突然出現(xiàn)在我的腦海里，它就像一個智慧的小燈泡，照亮了我的思緒?！靶《?，別忘了，這里有個數(shù)學(xué)問題叫作容斥問題，也叫‘包含與排除’，它能幫你解決這個謎題?！睂W(xué)霸精靈溫柔地提醒我。

“包含與排除？”我重復(fù)了一遍，腦海中迅速回想起學(xué)霸精靈曾經(jīng)教我的知識。

學(xué)霸精靈提醒道：“可以利用圖形幫助思考。”

“A是媽媽去過的景點(diǎn)，B是爸爸去過的景點(diǎn)，A∩B為爸爸媽媽都去過的景點(diǎn)。

“‘包含與排除’是一種數(shù)學(xué)方法，用來計算兩個集合的元素總數(shù)。比如在這里，你可以把媽媽去過的景點(diǎn)看作一個集合，爸爸去過的景點(diǎn)看作另一個集合。我們要計算爸爸去過的景點(diǎn)數(shù)，可以用這個公式：

“爸爸去過的景點(diǎn)數(shù)＝總景點(diǎn)數(shù)－媽媽去過的景點(diǎn)數(shù)＋他們一起去過的景點(diǎn)數(shù)。

“具體來說就是：爸爸去過的景點(diǎn)數(shù)＝18－12＋5。”

我拿起筆，寫下了這個公式，開始計算：

18－12＋5＝11

“原來爸爸去過11處景點(diǎn)！”我興奮地叫了起來。

我興奮地把這個結(jié)果告訴了爸爸，他驚喜地笑了：“看來我的小豆不僅是數(shù)學(xué)高手，也是個偵探高手啊！”全家人都被逗笑了，而我，則在心里默默感謝學(xué)霸精靈，因?yàn)樗粌H幫我解決了問題，更讓我在游玩中體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的樂趣。

今天的南京之行，不僅是一次文化之旅，更是一次數(shù)學(xué)與智慧的探險。我學(xué)會了用數(shù)學(xué)的眼光去看世界，也更加珍惜與家人共度的時光。明天，我們將繼續(xù)我們的金陵十八景之旅，而我，將會帶著滿滿的自信和好奇心，迎接新的挑戰(zhàn)。

陸小豆

在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量之間的邏輯關(guān)系。

難度：

在一群小朋友中，有12人看過動畫片《汪汪隊立大功》，有21人看過動畫片《哪吒之魔童降世》，并且有8人兩部動畫片都看過。請問：至少看過其中一部的小朋友有多少人？

25人。

方法一：畫文氏圖：

圓A表示看過《汪汪隊立大功》的人，圓B表示看過《哪吒之魔童降世》的人，這樣②是兩個都看過的人，有8人。

有12人看過《汪汪隊立大功》，①②共12人；有21人看過《哪吒之魔童降世》，②③共21人；

只看過《哪吒之魔童降世》的人是③，它有21－8＝13人。

因此，①②③加起來共有12＋13＝25人。

方法二：根據(jù)容斥原理，得12＋21－8＝25人。

難度：

在一個由30人組成的合唱隊中，每個人都愛喝紅茶、綠茶、花茶中的一種或者幾種。其中有10個人愛喝紅茶，12個人不愛喝紅茶卻愛喝綠茶。請問：只愛喝花茶的有多少人？

8人。

畫文氏圖：

要求只愛喝花茶的有多少人，也就是求⑦有多少人。

不愛喝紅茶的人由⑤⑥⑦組成，因?yàn)橛?0個人愛喝紅茶，所以⑤⑥⑦共20人。

不愛喝紅茶但愛喝綠茶的人是⑤⑥，一共12人，這樣便可直接求出⑦有8人，因此只愛喝花茶的有8人。

難度：

唐僧西天取經(jīng)共經(jīng)歷了81難，其中單獨(dú)渡過了3難，與孫悟空一起渡過了77難，與豬八戒一起渡過了65難，與沙和尚一起渡過了62難，同時與孫悟空和豬八戒一起渡過了64難，同時與孫悟空和沙和尚一起渡過了61難，同時與豬八戒和沙和尚一起渡過了60難，請問：師徒四人共同渡過的有多少難？

59難。

至少有一個徒弟參與的難有81－3＝78個，根據(jù)容斥原理有：

78＝77＋65＋62－64－61－60＋四人共同渡過的難。

因此師徒四人共同渡過的有78－19＝59難。

難度：

五年級一班有22人參加語文競賽，32人參加數(shù)學(xué)競賽，27人參加英語競賽，其中同時參加語文競賽和數(shù)學(xué)競賽的有12人，同時參加語文競賽和英語競賽的有14人，同時參加數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的有15人。請問：五年級一班參加競賽的總?cè)藬?shù)最少是多少？

44人。

根據(jù)容斥原理：

參加競賽的人數(shù)＝22＋32＋27－12－14－15＋三科都參加的人數(shù)＝40＋三科都參加的人數(shù)。

所以問題轉(zhuǎn)化為求至少有多少人三科都參加。畫文氏圖：

對參加語文競賽的人來說，還參加其他競賽的人數(shù)是12＋14－④，它顯然不能多于22人，所以④至少要有4人。

如果參加三科競賽的人數(shù)是4的話，有：

此時參加競賽的人數(shù)最少，為44人。

難度：

一根1.8米長的木棍，從左端開始每隔2厘米劃一個刻度，每隔3厘米劃一個刻度，每隔5厘米劃一個刻度，每隔7厘米劃一個刻度，如果按刻度把木棍截斷，一共可以截成多少段小木棍？

139段。

此題可轉(zhuǎn)化成求在1～180中，有多少個數(shù)是2，3，5或7的倍數(shù)。

其中2的倍數(shù)有90個，3的倍數(shù)有60個，5的倍數(shù)有36個，7的倍數(shù)有25個。

同時是2，3倍數(shù)的有30個，同時是2，5倍數(shù)的有18個，同時是2，7倍數(shù)的有12個，同時是3，5倍數(shù)的有12個，同時是3，7倍數(shù)的有8個，同時是5，7倍數(shù)的有5個。

同時是2，3，5倍數(shù)的有6個，同時是2，3，7倍數(shù)的有4個，同時是2，5，7倍數(shù)的有2個，同時是3，5，7倍數(shù)的有1個。

同時是2，3，5，7倍數(shù)的有0個。

根據(jù)容斥原理，一共可截成（90+60+36+25）－（30+18+12+12+8+5）+（6+4+2+1）－0＝139段。

“包含與排除”的應(yīng)用

“包含與排除”是一種基本的數(shù)學(xué)原理，它們真的很重要，不信你看！

拍照識物：神奇的視覺魔法

當(dāng)你用手機(jī)拍照識物的時候，手機(jī)就像一個掃描儀，可以將照片中的圖像轉(zhuǎn)化成數(shù)字信息。然后，人工智能技術(shù)就會利用這些數(shù)字信息，與數(shù)據(jù)庫中的大量圖像進(jìn)行匹配。在這個過程中，人工智能會先將所有可能出現(xiàn)的物品“包含”在匹配范圍內(nèi)，然后根據(jù)圖像特征逐一進(jìn)行“排除”，最終找到與照片中物品最相似的圖像，從而識別出物品的種類。

自動駕駛：無人車背后的聰明大腦

自動駕駛汽車的傳感器會實(shí)時采集周圍環(huán)境的信息，包括道路、車輛、行人等。然后，自動駕駛系統(tǒng)的智能決策系統(tǒng)會利用這些信息進(jìn)行分析，做出行駛規(guī)劃。在這個過程中，智能決策系統(tǒng)會先將所有可能的行駛路徑“包含”在規(guī)劃范圍內(nèi)，然后根據(jù)交通規(guī)則、安全因素等進(jìn)行“排除”，最終找到最安全、合理的行駛路徑。

語音識別：聲音中的密碼

當(dāng)你用語音助手控制智能設(shè)備時，語音助手會先將你的語音轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號，然后利用語音識別技術(shù)進(jìn)行分析。在這個過程中，語音識別技術(shù)會先將所有可能出現(xiàn)的詞語“包含”在匹配范圍內(nèi)，然后根據(jù)語音特征逐一進(jìn)行“排除”，最終找到與你的語音最相似的詞語，從而理解你的語音指令。