基于最大Lyapunov指數(shù)的行星齒輪振動可靠性靈敏度分析

摘要：混沌運動是行星齒輪傳動過程中一種常見的運動狀態(tài)，這種運動狀態(tài)對齒輪的可靠性和使用壽命有著消極的影響。因此，將齒輪的混沌運動定義為系統(tǒng)的一種失效形式，為齒輪可靠性分析提供了新思路。首先，以行星齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型。然后，將激勵頻率、剛度波動系數(shù)、阻尼系數(shù)、溫度作為不確定隨機因素，以最大李雅普諾夫指數(shù)（LLE）作為可靠性指標構(gòu)建極限狀態(tài)方程。最后，采用Monte Carlo數(shù)值模擬（MCS）的方法求解系統(tǒng)可靠度，并進一步分析了隨機變量均值、標準差對可靠性的敏感程度，為齒輪振動可靠性設(shè)計和優(yōu)化提供了指導建議。

關(guān)鍵詞：行星齒輪傳動系統(tǒng);動力學;最大李雅普諾夫指數(shù);可靠性;靈敏度

中圖分類號：TH132 文獻標志碼：A 文章編號：1671-0797（2024）19-0028-04

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.19.007

0 引言

行星齒輪傳動系統(tǒng)因傳動效率高、傳動比大、傳動平穩(wěn)以及緊湊的結(jié)構(gòu)特性，被廣泛應(yīng)用于直升飛機主減速器。然而，傳動時非線性因素不可避免，這使得傳動過程中的動態(tài)響應(yīng)變得復雜多變。振動已經(jīng)成為導致高速齒輪傳動發(fā)生破壞失效的一種主要形式，因此，基于齒輪動力學的振動可靠性分析也越發(fā)重要。

在工程實際中，由于制造、加工、裝配等誤差、磨損、潤滑、工作環(huán)境等因素變化，齒輪傳動系統(tǒng)中充滿諸多不確定性因素，這些因素嚴重影響了齒輪傳動系統(tǒng)的運動特性和可靠性。因此，國內(nèi)外學者進行了大量研究，孫志禮等人[1]以振動周期內(nèi)隨機振幅超限為失效準則，基于超越法將動力學與可靠性聯(lián)系起來，定義了隨機參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動響應(yīng)可靠度。Nejad等人[2]基于ISO齒輪設(shè)計規(guī)范提出了一種長期疲勞損傷評估方法，該方法采用荷載持續(xù)時間分布法和兩種動態(tài)模型確定風電傳動系統(tǒng)齒輪的可靠性和失效壽命概率。陳川[3]在研究風電齒輪箱傳動系統(tǒng)的可靠性模型時，運用條件概率思想，將激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率關(guān)聯(lián)起來構(gòu)建可靠性模型，計算了各零部件的振動可靠性，進而建立了串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型，并進一步求解了風電齒輪箱傳動系統(tǒng)的振動可靠性。Wang等人[4]建立了單級直齒輪副區(qū)間參數(shù)動力學模型，研究了嚙合剛度、輸入轉(zhuǎn)矩、傳動誤差和齒隙等隨機參數(shù)對齒輪傳動系統(tǒng)振動速度區(qū)間和傳動可靠性的影響。

上述齒輪可靠性分析中，系統(tǒng)的運動狀態(tài)鮮被考慮在內(nèi)。在行星齒輪傳動過程中，由于各種非線性因素的存在，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)復雜多變。尤其是復雜的混沌運動，不僅會降低動力傳遞時的穩(wěn)定性，還會加劇齒輪的磨損，這將導致系統(tǒng)可靠性和使用壽命的降低，甚至引發(fā)工程事故。消除或避免齒輪傳動時的混沌運動區(qū)間，降低振動噪聲，提高傳動系統(tǒng)平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命，一直是齒輪動力學分析的主要目的[5]。LLE作為衡量動力學特征的一個重要指標，能有效識別系統(tǒng)的運動狀態(tài)，這為本文所提出的齒輪振動可靠性模型提供了理論基礎(chǔ)。本文綜合考慮了熱效應(yīng)、齒側(cè)HtjhQZ3SqwFQ/yyJuniPRQ==間隙、時變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合傳動誤差等因素，建立行星齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學模型。充分考慮齒輪傳動系統(tǒng)的運動狀態(tài)，將系統(tǒng)的混沌運動定義為失效形式，通過LLE構(gòu)建行星齒輪振動可靠性模型，將激勵頻率、溫度、時變嚙合剛度、嚙合阻尼視為隨機因素，采用MCS法計算行星齒輪傳動系統(tǒng)的振動可靠度，并進一步分析隨機變量均值和標準差對可靠性的敏感程度，為齒輪振動可靠性設(shè)計和優(yōu)化提供指導建議。

1 行星齒輪非線性動力學模型

1.1 運動微分方程

如圖1所示，行星系統(tǒng)由一個太陽輪s、行星輪pn（n=1，2，3，…，N）、內(nèi)齒圈r、行星架c組成。令i=spn，rpn，spn和rpn分別表示太陽輪和行星輪、內(nèi)齒圈和行星輪之間的相互關(guān)系，θs、θpn、θr、θc分別為相應(yīng)部件的扭轉(zhuǎn)位移。

時變嚙合剛度ki（t）和靜態(tài)傳遞誤差ei（t）可由一階諧波Fourier級數(shù)表示：

ki（t）=kmi[1+κisin（ωet+φi）]，

ei（t）=Eisin（ωet+?i）（1）

式中：kmi為平均嚙合剛度;κi為剛度波動系數(shù);ωe為嚙合頻率;φi為嚙合相位差;Ei為嚙合誤差幅值;?i為初始嚙合誤差相位。

齒輪的嚙合阻尼比可表示為：

ci=2ξi（2）

式中：ξi為阻尼系數(shù);令q=p，g表示主動齒輪和從動齒輪，Mq為等效質(zhì)量。

采用集中質(zhì)量建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)動力學模型，系統(tǒng)動力學微分方程為：

Ic

+mpnrc 2

c-

（Fspncos α′ spn）rc，

-

（Frpncos α′ rpn）rc=-Tout，

Ipn

pn+Fspnrbpn-Frpnrbpn=0，

Ir

r+

Frpnrbr=0，

Is

s+

Fspnrbs=Tin（3）

式中：Tin為輸入扭矩;Tout為輸出扭矩;Is、Ipn、Ir、Ic分別為太陽輪、第n個行星輪、齒圈以及行星架的轉(zhuǎn)動慣量;rc為行星架半徑;rbs、rbpn、rbr分別為太陽輪、第n個行星輪、齒圈的基圓半徑;mpn為行星輪的質(zhì)量;α′ i為熱變形后的壓力角;Fi為動態(tài)嚙合力，F(xiàn)i=ki（t）f（xi，bi）+

Ci f（i，bi）。

f（xi，bi）為齒輪副的相對位移函數(shù)，可表示為：

fi（xi，bi）=xi-bi， xi>bi，

0， |xi|≤bi，

xi+bi， xi<-bi（4）

式中：bi為半齒側(cè)間隙。

由于熱效應(yīng)對齒輪的運動特性有著顯著影響，因此有必要將溫度的影響考慮在內(nèi)[6]?？紤]熱效應(yīng)半齒側(cè)間隙可表示為[7]：

bi=b0-Δbi/2（5）

Δbi=ΔTγ（1+ΔTγ）m[π-（inv α′ i-inv αi）（zp+zg）]+

[mΔTγ（zp+zg）sin αi]/2（6）

式中：b0為固定半齒側(cè)間隙;Δbi為由溫度引起的間隙;ΔT為齒輪溫升;γ為齒輪的線性膨脹系數(shù);m為齒輪的模數(shù);αi為壓力角;α′ i為熱變形后的壓力角;zq為齒輪的齒數(shù)。

xspn和xrpn分別為太陽輪和內(nèi)齒圈與第i個行星輪作用線上的相對位移：

xspn=rbsθs+rbpnθpn-rcθccos α′ spn+espn（t），

xrpn=rbrθr-rcθccos α′ rpn-rbpnθpn+erpn（t）（7）

式中：espn（t）為太陽輪和行星輪之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù);erpn（t）為行星輪和內(nèi)齒圈之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù)。

為解決各激勵參數(shù)之間數(shù)量級相差過大的問題，需對行星齒輪動力學微分方程進行無量綱化處理。引入無量綱時間變量τ和位移標尺bc對動力學模型無量綱化，τ=ωnt，t為時間;固有頻率ωn=，其中，kmspn為太陽輪與行星輪之間的平均嚙合剛度，Ms和Mpn分別為太陽輪和行星輪等效質(zhì)量。無量綱激勵頻率Ω=ωe/ωn，無量綱齒側(cè)間隙bi=bi/bc，無量綱相對位移xi=xi/bc，無量綱速度xi=xi/bcωn，無量綱加速度xi=xi/bcω2 n，無量綱綜合傳遞誤差ei=ei/bc。無量綱化處理后的動力學方程可參考文獻[8]。

1.2 動力學分析

最大李雅普諾夫指數(shù)（LLE）是衡量動力學特征的一個重要指標，能有效識別系統(tǒng)的運動狀態(tài)[9]。LLE識別系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法為：當LLE>0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);反之，系統(tǒng)則處于周期或擬周期運動狀態(tài)。以行星齒輪傳動系統(tǒng)隨ΔT變化的運動特性為例，取系統(tǒng)參數(shù)如下：激勵頻率Ω=1，太陽輪和行星輪齒側(cè)間隙bspn=4 μm，行星輪和內(nèi)齒圈的齒側(cè)間隙brpn=4 .5μm，阻尼系數(shù)ξi=0.1，綜合傳遞誤差幅值Ei=3 μm，剛度波動系數(shù)κi=0.25。圖2為系統(tǒng)隨ΔT變化的分岔圖和LLE圖。當ΔT處于[0 ℃，39.5 ℃）區(qū)間時，系統(tǒng)以混沌運動狀態(tài)為主，并伴隨著短暫的周期運動，此區(qū)間的LLE曲線整體大于零并出現(xiàn)小部分區(qū)間小于零。當ΔT在[39.5 ℃，100 ℃]時，系統(tǒng)在多處發(fā)生逆倍化分岔，由7周期運動→4周期運動→2周期運動→1周期運動，在此區(qū)間內(nèi)LLE的值小于零?？梢?，LLE可以很好地反映出系統(tǒng)在不同參數(shù)下的運動狀態(tài)，這為本文所提出的振動可靠性模型提供了理論依據(jù)。

2 行星齒輪振動可靠性靈敏度分析

2.1 可靠度定義與靈敏度分析方法

在以往的研究中，Jan N. Fuhg等人研究了結(jié)合彈塑性摩擦力模型Duffing型振子的行為，提出將LLE作為非線性模型的可靠性指標，求解系統(tǒng)可靠性[10]。LLE作為非線性動力學的全局分岔分析方法之一，廣泛應(yīng)用于齒輪動力學分析[11]，可作為行星齒輪振動可靠性分析的評價指標。本文采用劉夢軍等人提出的方法求解系統(tǒng)的LLE[12]，根據(jù)LLE識別系統(tǒng)是否處于混沌運動的判斷方法，系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)可定義為：

Z（x）=-LEE（x）>0， 安全，

-LEE（x）≤0， 失效（8）

式中：LEE（x）表示輸入隨機變量x時對應(yīng)的LLE值。

采用Monte Carlo方法近似計算失效概率：

Pf=IF[Z（x）]（9）

式中：NMC為總樣本;IF（·）為失效域指數(shù)函數(shù)，IF（·）=1表示行星齒輪系統(tǒng)振動失效，IF（·）=0表示行星齒輪系統(tǒng)可靠。

通常表示為：

IF[Z（x）]=1， Z（x）≤0，

0， Z（x）>0（10）

對于統(tǒng)計獨立的隨機變量，可靠性靈敏度表示為失效概率Pf對基本隨機變量xi的分布參數(shù)θ （k）（包含均值μ和標準差σ）的偏導[13]：

=dx=E

（11）

式中：Xi為第i個隨機變量;θ （k）為分布參數(shù)，k表示分布參數(shù)的個數(shù);fX（x）為隨機變量xi的概率密度函數(shù);E（·）為期望算子。

可靠性靈敏度的估計值?f/?θ （k）為：

=

（12）

式中：N為總樣本數(shù);xj為第j個樣本;IF（xj）為極限狀態(tài)函數(shù)。

無量綱處理后的均值μ和標準差σ的靈敏度可表示為：

Sμ=×=IF（xi）×（13）

Sσ=×=×（14）

2.2 可靠性靈敏度分析

本文以某型直升機主減速器的行星齒輪系統(tǒng)為研究對象，行星齒輪個數(shù)為3，系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

行星齒輪長時間工作將導致溫度的升高，當溫度升高時，齒側(cè)間隙也會隨之減小，也從側(cè)面反映了間隙對系統(tǒng)振動特性的影響，但在對齒輪可靠性分析當中卻很少考慮此因素。因此，本文將激勵頻率Ω、剛度波動系數(shù)κi、阻尼系數(shù)ξi、溫度ΔT視為隨機參數(shù)，且符合正態(tài)分布，采用經(jīng)驗法選取變異系數(shù)，均值和標準差如表2所示。給定齒側(cè)間隙bsp=4 μm，brp=4.5 μm，綜合傳遞誤差幅值Ei=3 μm。

本文設(shè)計變量有4個，總樣本NMC=8×104，采用MCS對系統(tǒng)可靠性求解，所求得的失效概率為Pf=7.125×

10-3。由圖3可得，這4個隨機變量的均值對系統(tǒng)的可靠性有著積極的影響，這說明隨著隨機變量均值的增加，系統(tǒng)的可靠性也在增加，其中ΔT的影響程度最大，ξ次之，隨后是κ和Ω。而隨機變量的標準差均對系統(tǒng)的可靠性有著消極的影響，隨著隨機變量標準差的增大，系統(tǒng)可靠性會降低，且各隨機變量標準差的影響程度先后排序與均值相同。綜上分析，建議在齒輪振動可靠性設(shè)計中重點關(guān)注阻尼系數(shù)和溫度以及與溫度相關(guān)的齒側(cè)間隙，嚴格控制其精度。

3 結(jié)論

1）本文基于行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型，將混沌運動視為系統(tǒng)的失效形式，以LLE作為可靠性指標構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù)，為行星齒輪振動可靠性分析提供了一種新的方法。

2）溫度和阻尼系數(shù)的均值和標準差對系統(tǒng)的可靠性影響程度較大，在進行行星齒輪系統(tǒng)振動可靠性設(shè)計和優(yōu)化時應(yīng)重點考慮溫度（溫度與齒側(cè)間隙的關(guān)系）和阻尼系數(shù)對系統(tǒng)可靠性的影響，嚴格控制其精度。

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收稿日期：2024-05-27

作者簡介：崔燦（1999—），男，山東濟寧人，碩士，研究方向：齒輪動力學及可靠性。