豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)極值問題分析

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考物理的?？碱}型．這類問題通常涉及速度、加速度、向心力、彈力、重力等多個(gè)物理量的關(guān)系，還涉及臨界狀態(tài)的分析．因此，深入理解并掌握豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題，對(duì)于提高物理學(xué)科核心素養(yǎng)和考試成績(jī)具有重要意義．

１ 常見類型及深度解析

１.１ 繩模型

繩模型是豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中最常見的模型之一．在最高點(diǎn)，由于繩子只能提供拉力，不能提供支持力，因此存在速度的最小值．當(dāng)速度小于這個(gè)最小值時(shí)，物體將在達(dá)到最高點(diǎn)前做斜拋運(yùn)動(dòng)．在最低點(diǎn)，繩子承受的拉力隨速度的增大而增大．

在最高點(diǎn)，物體受到重力和繩子拉力的共同作用，這兩個(gè)力的合力提供向心力．當(dāng)繩子拉力為零時(shí)，重力完全提供向心力，此時(shí)速度達(dá)到最小值．在最低點(diǎn)，由于速度較大，繩子需要提供的拉力也較大，但繩子本身具有一定的彈性限度，因此在實(shí)際情況下，速度過大可能導(dǎo)致繩子斷裂．

１.２ 桿模型

桿模型與繩模型類似，但在最高點(diǎn)時(shí)，桿既可以提供拉力也可以提供支持力．因此，在最高點(diǎn)速度最小值可以為０．在最低點(diǎn)，桿承受的力隨速度的增大而增大，但同樣沒有理論上的最大值．

桿模型在最高點(diǎn)的受力情況比繩模型復(fù)雜．當(dāng)速度較小時(shí)，桿提供支持力;當(dāng)速度較大時(shí)，桿提供拉力．這兩種情況下，重力和桿的作用力共同提供向心力．因此，在最高點(diǎn)存在兩個(gè)臨界速度，分別對(duì)應(yīng)最小速度和最大速度．在最低點(diǎn)，由于速度較大，桿需要提供的力也較大，同樣受到材料強(qiáng)度等實(shí)際因素的限制．

１.３ 軌道模型

軌道模型通常指的是固定在地面上的圓形軌道．在軌道內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)，物體受到重力和軌道的支持力作用．為了保證物體不脫離軌道，軌道的支持力必須大于等于零，因此存在速度的最小值．在最低點(diǎn)，軌道承受的壓力隨速度的增大而增大，沒有理論上的最大值．

軌道模型在最高點(diǎn)的受力情況與繩模型類似，但軌道的支持力始終指向圓心．因此，在最高點(diǎn)只存在一個(gè)臨界速度，即最小速度．當(dāng)速度小于這個(gè)值時(shí)，物體將脫離軌道做斜拋運(yùn)動(dòng)．在最低點(diǎn)，由于速度較大，軌道需要承受較大的壓力．在實(shí)際應(yīng)用中，軌道的設(shè)計(jì)需要考慮材料的抗壓強(qiáng)度和穩(wěn)定性等因素．

通過以上總結(jié)我們知道，在高中階段，研究豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)極值問題通常只研究?jī)蓚€(gè)特殊位置———最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．但請(qǐng)注意：以上總結(jié)都是理想狀態(tài)，在具體問題中，到達(dá)圓周的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)研究對(duì)象的速度并非一定是最大值和最小值．因此，對(duì)于這種相對(duì)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，我們需要對(duì)受力有深刻的認(rèn)知和準(zhǔn)確的分析．

２ 實(shí)例賞析

例１ 如圖１所示，質(zhì)量為M 的人站在一臺(tái)秤上，可認(rèn)為臺(tái)秤的示數(shù)即人對(duì)秤盤的壓力;人手中緊握一根長(zhǎng)為R 的細(xì)線，一個(gè)質(zhì)量為m 的小球系在細(xì)線的另一端，小球可繞人手在豎直平面內(nèi)做順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)．若小球恰好能通過圓軌道最高點(diǎn)b，另知點(diǎn)a、c 是圓軌道水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）．

A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，小球的速度為零

B．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b 時(shí)，人對(duì)秤盤的壓力最小，大小為Mg

C．小球在a、b、c 三個(gè)位置時(shí)，人對(duì)秤盤的壓力相同

D．小球從c 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中人對(duì)秤盤的壓力減小

解析

本題屬于繩模型，根據(jù)題意小球“恰好能通過圓軌道最高點(diǎn)b”可知，小球在最高點(diǎn)存在最小速度，分析受力可知在最高點(diǎn)小球的向心力由自身重力提供．小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，以人和小球?yàn)檎w進(jìn)行受力分析．

因?yàn)樾∏蚯『媚芡ㄟ^圓軌道最高點(diǎn)，可知在最高點(diǎn)時(shí)細(xì)繩上的拉力為０，此時(shí)小球重力提供向心力，有mg＝mv２b／R ，解得vb＝根號(hào)下gR ，故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤．

在小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)上面分析可知此時(shí)細(xì)繩上的拉力為０，因此此時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)為Mg;而在小球從點(diǎn)a 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b 的過程中，細(xì)繩上有拉力，受力分析可知臺(tái)秤示數(shù)應(yīng)小于Mg，所以在小球到達(dá)最高點(diǎn)b 時(shí)，臺(tái)秤上的示數(shù)并非最小值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．

小球在位置a 和c 時(shí)，細(xì)繩的拉力提供向心力，但由于拉力處于水平方向，對(duì)人受力分析可知，豎直方向有FN＝Mg，所以選項(xiàng)C正確．

小球在從點(diǎn)c 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，細(xì)繩上的拉力逐漸增大，且拉力與豎直方向的夾角逐漸減小，以人為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析可知細(xì)繩對(duì)人的拉力在豎直方向上的分力逐漸增大，因此臺(tái)秤的示數(shù)也在不斷增大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

例２ 如圖２所示，在水平地面上放置一個(gè)質(zhì)量為M ＝４kg的三角形支架，在支架上部裝有一個(gè)水平轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)．現(xiàn)有一個(gè)輕桿安裝在轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一個(gè)質(zhì)量m ＝１kg的小球，小球與轉(zhuǎn)軸間距離為５cm．電機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)軸可帶動(dòng)輕桿和小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速恒為n 時(shí)，小球通過最高點(diǎn)時(shí)對(duì)輕桿的壓力為２N，重力加速度g ?。保癿··s－２，則（ ）．

A．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)需要的向心力為１２N

B．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，支架對(duì)地面的壓力為４２N

C．圖示中輕桿恰好達(dá)到水平位置，此時(shí)地面受到的摩擦力為８N，方向水平向右

D．若題中的桿是輕繩，以同樣的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，小球無(wú)法通過圖示的最高點(diǎn)

解析

在最高點(diǎn)，小球的向心力由自身重力和桿的支持力提供．小球運(yùn)動(dòng)到圖示水平位置時(shí)，向心力由桿的拉力提供;桿換成細(xì)繩后，能通過最高點(diǎn)且速度最小時(shí)的向心力由小球的自身重力提供．知道了以上信息，由牛頓第二定律列式即可求出小球的線速度、繩或桿上的拉力等．

由題意和牛頓第三定律可知，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的支持力FN＝２N，在最高點(diǎn)小球所需向心力由自身的重力和桿對(duì)其的支持力提供，受力分析可知F＝mg－FN＝１０N－２N＝８N，故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤．

小球在最高點(diǎn)，桿受到小球的壓力為２N，可知支架對(duì)地面的壓力為F壓＝Mg＋FN＝４０N＋２N＝４２N，選項(xiàng)B正確．

輕桿達(dá)到圖示的水平位置時(shí)，設(shè)桿對(duì)小球的拉力為FT，有FT＝mv２／r ＝F＝８N，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)U的拉力F′T ＝FT＝８N．以支架為研究對(duì)象，由平衡條件可得地面對(duì)支架的摩擦力Ff＝F′T ＝８N，方向水平向左，根據(jù)牛頓第三定律，可知地面受到的摩擦力為８N，方向水平向右，選項(xiàng)C正確．

由前面分析可知，小球在最高點(diǎn)時(shí)有F＝mg－FT＝mv２／r ＝８N，解得在最高點(diǎn)時(shí)小球的速度v＝根號(hào)下０.４ m·s－１．

換成輕繩后，設(shè)小球能達(dá)到最高點(diǎn)的最小速度為vmin，此時(shí)小球所需向心力由小球自身重力提供，有mg＝mv２min／r ，解得vmin＝根號(hào)下０.５ m·s－１＞根號(hào)下０.４ m·s－１，所以換成輕繩后，小球以同樣的轉(zhuǎn)速無(wú)法達(dá)到最高點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確．

通過以上分析不難看出，解答物體在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的極值問題只需抓住向心力的來源這一關(guān)鍵，然后運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)規(guī)律就能準(zhǔn)確解答．

（完）