基于改進EKF算法的鋰離子電池SOC在線估計

摘 要：鋰離子電池因其能量密度高、自放電率低、污染小等優(yōu)勢，已經(jīng)在儲能電站領域得到廣泛應用。針對鋰離子電池各項狀態(tài)預測，首先搭建二階RC等效電路模型，然后采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法（FFRLS）對模型參數(shù)進行辨識，提出一種基于自適應擴展卡爾曼濾波（AEKF）算法的SOC-SOH聯(lián)合估計方法。在不同電池工況下進行對比驗證，結果表明，與擴展卡爾曼濾波（EKF）和無跡卡爾曼濾波（UKF）相比，所提方法預測SOC和SOH的精確度和計算效率均有所提高，具有一定的實用價值。

關鍵詞：鋰離子電池; 二階RC模型; 參數(shù)辨識; SOH估計; SOC估計; AEKF算法

中圖分類號：TM912 文獻標志碼：A 文章編號：2095-8188（2024）06-0049-10

DOI：10.16628/j.cnki.2095-8188.2024.06.008

Online State of Charge Estimation of Lithium-ion Battery Based on Improved Extended Kalman Filter Algorithm

CUI Xiaodan， WU Jialong， DENG Kui， WANG Yanpin， FENG Jiaqi， LI Yajie

（NARI Technology Co.，Ltd.， Nanjing 211106， China）

Abstract：Lithium-ion batteries have been widely used in the field of energy storage power stations due to their high energy density， low self-discharge rate and low pollution. To solve the accurate prediction of various states of lithium-ion batteries， a second-order RC equivalent circuit model is first built， and then the parameters of the model are identified by using the forgetting factor recursive least squares （FFRLS） method. A joint SOC-SOH estimation method based on adaptive extended Kalman filtering （AEKF） algorithm is proposed， and the method is compared and verified under different battery conditions. Experimental results show that compared with the extended Kalman filter （EKF） and the unscented Kalman filter （UKF）， the proposed method can improve the accuracy and computational efficiency of SOC and SOH prediction， and has certain practical value.

Key words：lithium battery; second-order RC model; parameter identification; SOH estimation; SOC estimation; AEKF algorithm

0 引 言

當今社會，隨著可再生能源的不斷開發(fā)和應用，鋰離子電池因其能量密度高、環(huán)保無污染、單體電壓大、使用壽命長等優(yōu)點^［1］，在儲能電站、電動汽車、便攜式電子設備以及可再生能源存儲系統(tǒng)中都得到了廣泛的應用。隨著鋰離子電池應用領域的迅速擴展，其對電池管理系統(tǒng)（BMS）的要求也日益增高。BMS在儲能電站運行中起著至關重要的作用，其不僅能夠對電池組中各電池單元的溫度、電流、電壓等關鍵參數(shù)進行實時監(jiān)控，而且可以通過收集和分析這些電池參數(shù)來預測電池組的荷電狀態(tài)（SOC）、健康狀態(tài)（SOH）、剩余使用壽命（RUL）等^［2-4］。此外，BMS還能監(jiān)測儲能電站電池運行中可能出現(xiàn)的各種異常狀況（如過充、過放、電池溫度過高等），并及時發(fā)布安全預警，通過及時的故障診斷防止電池損傷，降低安全風險。SOC的精準估計作為BMS中重要的一環(huán)，在儲能電站中發(fā)揮著關鍵的作用^［5］。通過準確預測SOC，可以更好地管理電池的充放電過程，確保電池在最佳效率下運行，不僅可以提高能量的轉換效率，而且有助于平衡電網(wǎng)負荷，提高電網(wǎng)的穩(wěn)定性和電能供應的可靠性^［6-7］。

但在實際情況下，鋰離子電池SOC的預測精確度受到環(huán)境溫度、運行工況等多種因素的影響，而通過對鋰離子電池的建模以及SOC估計的研究，可以有效提高鋰離子電池的使用壽命。SOC的估計方法主要有開路電壓（OCV）法、安時積分法、神經(jīng)網(wǎng)絡（NN）算法、卡爾曼濾波（KF）算法等。其中，KF算法及其衍生算法是目前使用較多的方法，文獻［8］建立了電池的PNGV等效電路模型，運用擴展卡爾曼濾波（EKF）方法估計鋰離子電池的SOC值，結果表明最大誤差僅為2.78%，提高了電池SOC的估計精度。文獻［9］提出一種基于無跡卡爾曼濾波（UKF）算法的SOC估計方法，該方法考慮了放電倍率和溫度對SOC的影響，實驗結果表明該方法能提供準確的SOC估計，平均誤差不超過4%，計算效率高，適用于嵌入式系統(tǒng)。文獻［10］在利用粒子群算法改進模型初始值后，采用二階EKF算法預測電池SOC值，并通過2組不同的數(shù)據(jù)集來驗證其普適性。實驗結果顯示，在多種工況條件下，該方法的平均絕對誤差均維持在1%以下，證明了該方法的有效性。文獻［11］利用自適應擴展卡爾曼濾波（AEKF）算法對電池SOC進行預估，實驗結果表明估計結果能夠快速收斂，且精度在1.5%～2.0%，驗證了該方法的精確度和適應度。

但上述方法未能涉及電池SOH變化對SOC預測精度的影響，而電池SOH不僅能直接反映電池的衰老程度，也能決定儲能設備是否需要更換電池，若考慮該因素則能進一步提高預測的精確度。基于此，本文提出一種基于AEKF算法的SOC-SOH聯(lián)合估計方法，并通過對比實驗驗證了該方法能夠精確地預測電池的SOC和SOH，具有良好的魯棒性。

1 鋰離子電池模型搭建

由于鋰離子電池特殊的遲滯特性和電壓回彈特性，選擇的模型既不能過于復雜，又要能夠準確方便地辨識參數(shù)，同時考慮到單體模型在串聯(lián)使用時的計算量較大，本文選擇采用二階RC等效電路模型作為等效電路模型。二階RC等效電路模型如圖1所示。在Thevenin模型的基礎上，通過串聯(lián)額外的一個阻容并聯(lián)回路，進一步細化模型模擬濃差極化和電化學極化的行為。該模型不僅可以捕捉鋰離子電池在充/放電過程中的非線性行為，而且能準確地表征電池極化反應的動態(tài)特性。相較于其他模型，其計算量適中，仿真精度較高，更接近電池真實特性，且考慮了自放電和過充放電的影響^［12-14］。

根據(jù)基爾霍夫定律，可得二階RC電路電流和電壓的數(shù)學方程為

對式（2）進行拉氏變換后可得：

根據(jù)式（3），可建立連續(xù)狀態(tài)下基于二階RC模型的鋰離子電池的離散化狀態(tài)空間方程為

式中：t——采樣周期中兩點的時間間隔;

ζ——放電效率，即放電至截止電壓時，所放的電量與電池總容量的比值;

ω（k）——k時刻均值為0的過程噪聲;

v（k）——k時刻均值為0的觀測噪聲。

系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞矩陣Ak、輸入矩陣Bk、輸出矩陣Ck、直接傳遞矩陣Dk分別為

鋰離子電池的狀態(tài)空間表達式可以表示為

2 鋰離子電池在線參數(shù)辨識

在估計電池各項狀態(tài)之前，需要先識別模型的參數(shù)，進而將辨識出的參數(shù)代入狀態(tài)方程中進行進一步的計算。在線參數(shù)辨識能夠實時估計電池的內部參數(shù)，其基本原理是將統(tǒng)一的u（t）作為輸入，將輸入待辨識系統(tǒng)中產(chǎn)生的輸出y（t）與測量噪聲v（t）進行疊加后形成觀測輸出Z（t），再將Z（t）與系統(tǒng)模型中產(chǎn)生的模型輸出Z^（t）進行對比，得到測量誤差Z～（t），將其導入辨識算法并通過產(chǎn)生的參數(shù)估計向量θ^（t）對誤差進行修正。在線參數(shù)辨識原理圖如圖2所示。

2.1 開路電壓參數(shù)辨識

電池開路電壓（OCV）是指當電池既不放電也不充電，未加外電路且保持長時間擱置時，電池兩端的電壓。研究表明，雖然鋰離子電池內部反應較為復雜，但其OCV值和電池SOC之間有著特殊的數(shù)學關系，并且不同放電階段的SOC具有不同的OCV值，且特定的SOC具有唯一對應的OCV值，因此準確擬合OCV和SOC的關系曲線也是參數(shù)辨識中十分重要的一環(huán)^［15-17］，其實驗詳細步驟如下。

（1） 通過恒定電流給鋰離子電池充電直到電池達到額定電壓，充電完成后斷電將電池靜置一段時間，使電池處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時可測得電池在SOC值為1時的OCV值。

（2） 靜置一段時間后，在額定環(huán)境（保證實驗環(huán)境溫度、濕度等環(huán)境因素一致）下對鋰離子電池使用額定小倍率電流進行放電，當電池的SOC值從1下降到0.9時對電池停止放電，并將鋰離子電池靜置一段時間后測得此時電池OCV，可求得SOC值為0.9時的電池電壓。

（3） 重復步驟2對電池進行間斷放電，求得鋰離子電池SOC值為0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2和0.1時的電池電壓。

（4） 使用MATLAB的多項式擬合工具對收集到的SOC-OCV數(shù)據(jù)進行處理，并選擇七階多項式進行曲線擬合以確保準確性。SOC和OCV相對應數(shù)據(jù)如表1所示。SOC-OCV關系擬合曲線如圖3所示，相應的曲線方程為U_ocv=-43.73R_SOC⁷+166.5R_SOC⁶-247.42R_SOC⁵+178.2R_SOC⁴-60.78R_SOC³+6.439R_SOC²+1.509R_SOC+3.413。

2.2 極化電阻、電容參數(shù)辨識

遞推最小二乘法（RLS）是目前較為常用的在線參數(shù)辨識方法，通常用于動態(tài)系統(tǒng)中估算模型的參數(shù)，該方法減少了大量數(shù)據(jù)集的計算，能夠隨著數(shù)據(jù)的流入實時更新參數(shù)估計值。但在電池實際運行過程中，需要面臨更多復雜的工況，因此本文在RLS的基礎上，提出一種帶遺忘因子的遞推最小二乘法（FFRLS）進行參數(shù)辨識，其基本原理是在系統(tǒng)輸出向量和觀測數(shù)據(jù)矩陣加入遺忘因子λ作為系數(shù)，該方法可以通過指數(shù)加權合理分配新舊數(shù)據(jù)的比例，在加快收斂速度的同時能修正最終獲得的識別結果，因此能獲得更為精確的辨識參數(shù)。

首先，令

式中：φ

（t）——待測數(shù)據(jù)矩陣;

θ——所測參數(shù)矩陣。

其中，φ

（t）和θ

分別為

FFRLS的參數(shù)辨識過程可表示為

式中：K

（k）——增益矩陣;

P（k）——協(xié)方差矩陣;

e（k）——誤差;

y——輸出變量;

I——單位矩陣。

將式（3）寫成傳遞函數(shù)形式為

利用雙線性變換法則由s平面映射到z平面，令

將其聯(lián)立可得：

結合式（15）和式（17）可得最終形式為

根據(jù)式（18）便能得出電池模型參數(shù)的具體數(shù)值。模型辨識結果如表2所示。

3 鋰離子電池SOC估算方法研究

3.1 卡爾曼濾波算法

KF算法的核心是一組基于描述估計對象動態(tài)過程狀態(tài)空間表達式的遞歸公式。濾波器以估計對象的控制輸入和觀測值為輸入，實現(xiàn)估計對象動態(tài)過程狀態(tài)變量和觀測輸出最小誤差方差意義上的最優(yōu)估計^［18］。在考慮輸入噪聲和測量噪聲時，標準KF算法在離散系統(tǒng)狀態(tài)空間下的表達式為

式中：x（k+1）、x（k）——動態(tài)系統(tǒng)在k+1及k時刻的狀態(tài)轉移矩陣和輸入矩陣;

w（k）、v（k）——控制輸入和系統(tǒng)輸出中的噪聲干擾。

KF算法形式上可分為2個過程：先驗估計和后驗估計。先驗估計根據(jù)直到k-1時刻的系統(tǒng)信息估計第k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，即得到x^（kk－1）;后驗估計根據(jù)直到k時刻的系統(tǒng)信息估計第k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，即得到x^（kk）。濾波算法在估計系統(tǒng)狀態(tài)變量時，會同時計算估計結果的誤差協(xié)方差，以表征估計結果的準確程度，并用于下一次校正計算。實際使用時，一般是預測步和校正步交替進行，依次遞推得到所有時刻的系統(tǒng)狀態(tài)估計值。

3.2 擴展卡爾曼濾波算法

傳統(tǒng)KF算法的狀態(tài)方程和觀測方程都是線性方程，因此是一種線性系統(tǒng)濾波方法，不適用于非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計。然而，實際中真正嚴格的線性系統(tǒng)幾乎不存在，如果將非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計加入標準KF中，即可得到一種考慮更為全面的算法——EKF算法。

EKF算法基本思想是利用泰勒公式，將非線性方程進行一階泰勒展開實現(xiàn)局部線性化，將非線性系統(tǒng)近似成一個實時變化的線性系統(tǒng)，進而在每一個展開點使用標準KF進行狀態(tài)估計^［19］。在考慮測量和輸入噪聲時，EKF算法在離散系統(tǒng)狀態(tài)空間下的表達式為

式中：f［x（k），u（k）］——狀態(tài)方程的一般形式;

h［x（k），u（k）］——觀測方程的一般形式。

EKF算法和標準KF算法流程基本相同，只是計算狀態(tài)估計值誤差協(xié)方差及卡爾曼增益時，采用非線性系統(tǒng)在運行點處的一階導數(shù)代替線性系統(tǒng)對應的系統(tǒng)矩陣。EKF算法流程如圖4所示。

3.3 自適應擴展卡爾曼濾波算法

EKF算法的狀態(tài)方程和觀測方程的噪聲協(xié)方差需要人工校準，而校準依據(jù)主要取決于使用經(jīng)驗和實驗過程。當實驗場景發(fā)生變化時，噪聲也會發(fā)生變化，從而影響EKF算法的估計精度。針對這一問題，提出AEKF算法^［20］，該算法在EKF算法的基礎上引入了創(chuàng)新矩陣I_M，并固定了窗口的變化范圍，其算法流程如下。

（1） 創(chuàng)新矩陣的更新。AEKF的創(chuàng)新矩陣由電壓估計值和電壓測量值相減得到。其計算表達式為

式中：Y_k——估計值;

x^^－_k——系統(tǒng)狀態(tài)變量的先驗估計值;

u_k——控制變量;

h（x^^－_k，u_k）——電壓測量值。

（2） 更新自適應噪聲協(xié)方差。利用窗口變量，可以計算出自適應噪聲協(xié)方差矩陣，表達式為

式中：M——窗口變量。

（3） 更新狀態(tài)估計協(xié)方差矩陣和系統(tǒng)噪聲協(xié)方差，表達式為

式中：Q_k－1——k-1時刻的觀測噪聲協(xié)方差矩陣;

C_k——測量矩陣。

（4） 更新卡爾曼增益。表達式為

（5） 更新觀測噪聲協(xié)方差。通過式（23）計算得到的H_k值對觀測噪聲協(xié)方差進行自適應估計，計算公式為

（6） 更新誤差協(xié)方差。表達式為

式中：x^⁺_k——系統(tǒng)狀態(tài)變量的修正;

P⁺_k——誤差協(xié)方差矩陣的修正。

由上述過程可知，相較于EKF算法，AEKF算法的優(yōu)點是能夠根據(jù)測量過程中的實際性能自適應調整過程和噪聲協(xié)方差矩陣，從而自適應地調整參數(shù)，意味著該算法能夠更好地適應系統(tǒng)動態(tài)的變化，改善濾波性能，因此將AEKF算法用于預測電池狀態(tài)會有更高的精確度和穩(wěn)定性。

3.4 基于SOC與SOH的聯(lián)合在線估計

在經(jīng)過多次充放電循環(huán)后，鋰離子電池內阻會逐漸增大，間接導致容量降低，如果不及時解決，將會影響電池估計的準確度。有研究表明，在SOC估計時考慮與SOH相關聯(lián)的變量，可以進一步提高SOC預測的準確性和可靠性。因此，本文將歐姆內阻、極化電阻、極化電容以及內阻等參數(shù)導入影響SOC的變量中，再利用AEKF算法實時更新各變量的狀態(tài)，并在循環(huán)中進行相互迭代，循環(huán)過程能夠更進一步地提高預測的精確度^［21］。SOH的定義為

式中：C_n——當前時刻的可用容量;

C_c——出廠時的額定容量。

為了提高電池SOC預測的準確性，在實驗過程中將電池的內阻R₀和SOC作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。將通過SOH估計濾波器計算出的直流內阻值輸入SOC估計濾波器中，以更新之前的內阻測量值，在此情況下，所測得的電池內阻實質上反映了電池SOH的實際容量，在測得電池外部電壓和電流的同時，采用FFRLS算法實時更新極化電阻和極化電容的數(shù)值，從而推導出該時刻的電池SOC值。該方法能夠通過自適應擴展卡爾曼濾波器不斷迭代估算SOC與R₀，直到得到最符合結果的預測值，通過這種計算模式，能夠進一步提高系統(tǒng)預測SOC和SOH的準確度。SOC-SOH聯(lián)合在線估計流程如圖5所示。

4 實驗結果與分析

實驗采用型號為LFP48H4G6的磷酸鐵鋰電池，其能在較為安全的條件下完整地實現(xiàn)電池的充放電過程，并有效記錄數(shù)據(jù)。磷酸鐵鋰電池參數(shù)表如表3所示。

實驗通過恒流（CC）輸入和電壓電流循環(huán)測試工況驗證所提出方法的精確度。實驗在一個周期內通過隨機采用區(qū)間［-60，80］A的不同電流對電池進行充放電，直到電池的R_SOC=0結束。循環(huán)測試工況下端電壓測試曲線如圖6所示;循環(huán)測試工況下輸入電流測試曲線如圖7所示。

選取EKF、UKF與AEKF進行對比，并選取數(shù)據(jù)的均方根誤差（RMSE）與計算時間對本研究提出的基于AEKF算法的聯(lián)合在線估計進行驗證。RMSE能體現(xiàn)算法估算SOC的精確程度，并以最大誤差來體現(xiàn)該算法的有效性，適用于一些特殊場合，其計算公式為

CC工況下SOC預測對比如圖8所示;CC工況下SOC預測誤差對比如圖9所示;CC工況下SOH預測對比如圖10所示;CC工況下SOH預測誤差對比如圖11所示;CC工況下3種算法RMSE以及計算時間比較如表4所示。

由表4可知，在CC工況下，與EKF算法和UKF算法相比，使用AEKF算法進行SOC-SOH聯(lián)合估計的效果較好，估計誤差更小，SOC預測精度分別提高了15.23%、14.61%，計算時間分別減少了0.16 s、0.06 s，SOH預測精度分別提高了10.95%、8.38%，計算時間分別減少了0.19 s、0.05 s。循環(huán)測試工況下SOC預測對比如圖12所示;循環(huán)測試工況下SOC預測誤差對比如圖13所示;循環(huán)測試工況下SOH預測對比如圖14所示;循環(huán)測試工況下SOH預測誤差對比如圖15所示;循環(huán)測試工況下3種算法RMSE以及計算時間比較如表5所示。

由表5可知，在循環(huán)測試工況下，相較于EKF算法和UKF算法，使用AEKF算法進行SOC預測的精度分別提高了17.49%、15.46%，計算時間分別減少了0.09 s、0.12 s;SOH預測精度分別提高了25.89%、13.34%，計算時間分別減少了0.15 s、0.04 s。與EKF和UKF算法相比，本文提出的算法具有明顯的優(yōu)勢。

5 結 語

為了更方便準確地估計鋰離子電池的SOC和SOH，本文在建立二階RC等效電路模型的基礎上，首先通過FFRLS算法對模型參數(shù)進行辨識，再提出了一種基于AEKF算法的SOC-SOH聯(lián)合在線估計框架，將辨識結果導入后通過實驗與EKF算法、UKF算法進行對比。

結果表明，與EKF和UKF算法相比，新算法恒流輸入時，SOC預測精度分別提高了15.23%、14.61%，計算時間分別減少了0.16 s、0.06 s，SOH預測精度分別提高了10.95%、8.38%，計算時間分別減少了0.19 s、0.05 s。在循環(huán)測試工況下，新算法對SOC預測精度分別提高了17.49%、15.46%，計算時間分別減少了0.09 s、0.12 s;SOH預測精度分別提高了25.89%、13.34%，計算時間分別減少了0.15 s、0.04 s。實驗達到了預期，并證明了該算法是一種精確度高且具有良好魯棒性的算法，對儲能電站電池運行效率的提高和電池使用壽命的延長起到了一定的指導作用。

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收稿日期：20240409