漫話三角形

一、三角形是最基本的多邊形

由若干條線段依次首尾相接，并且相接的兩條線段不在同一直線上，這樣圍成的封閉圖形叫作多邊形.圖1中的三個(gè)圖形都由z，b，c，d，e這5條線段組成，其中（1）（2）都不是多邊形，只有（3）符合多邊形的定義，漫話三角形

由n（n≥3）條線段組成的多邊形，叫作n邊形.由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫作三角形，三角形是邊數(shù)最少的多邊形，因此是形狀最簡單的多邊形.當(dāng)n≥4時(shí)，n邊形都可以分解為若干個(gè)三角形，如圖2.這就是說，多邊形的問題可以轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決.因此，三角形可以看作最基本的多邊形，研究三角形是認(rèn)識(shí)多邊形的第一步.

三角形有三條邊和三個(gè)角，它們是三角形的6個(gè)基本元素.下面重點(diǎn)討論三角形的邊和角.

二、三角形的邊

組成三角形的三條線段，叫作三角形的邊，它們分別在三條不同的直線上，連接每兩條邊的點(diǎn)，叫作三角形的頂點(diǎn)，圖3中的三角形通常按它的頂點(diǎn)順序記作△ABC.線段AB.BC.CA是它的三條邊，通常也按各邊所對(duì)的頂點(diǎn)分別把它們記作c，a，b.

任選三根小木棍首尾相接一定能搭成三角形嗎？觀察圖3.連接點(diǎn)曰和點(diǎn)C的連線有線段BC和折線BAC.因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以折線BAC比線段BC長，即AB+A C>BC，也即c+6>a.由此可知，三角形的任意兩邊之和大于第三邊.這是三角形三邊之間的基本數(shù)量關(guān)系，如果三根小木棍中任意兩根合起來都比另一根長，則它們首尾相接能搭成三角形：否則不能.

設(shè)a，b，c是三角形的三邊，則a

三角形的三邊長可以各不相等，也可以有相等的邊，三邊長都不相等的三角形，叫作不等邊三角形.有相等的邊的三角形，叫作等腰三角形，其中相等的邊叫作腰.等腰三角形中還有更特殊的一種，即三邊都相等的三角形，它叫作等邊三角形，

一個(gè)多邊形的形狀和大小是由它的各個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置決定的.一旦這些頂點(diǎn)相互之間的位置確定了，多邊形就隨之確定了.已知三角形的三邊長，則三個(gè)頂點(diǎn)的相對(duì)位置就確定了，因此三角形就確定了.做試驗(yàn)：用三根木條釘成一個(gè)三角形后，扭動(dòng)木條，可以發(fā)現(xiàn)不能改變?nèi)切蔚男螤詈痛笮?這就是三角形特有的穩(wěn)定性，人們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中經(jīng)常利用這個(gè)性質(zhì)，然而，對(duì)于四邊形、五邊形等多邊形，如果僅僅已知它們各邊的長度，則并不能確定這些多邊形的形狀和大小.做試驗(yàn)：用四根木條釘成一個(gè)四邊形后，扭動(dòng)木條，可以發(fā)現(xiàn)雖然各邊長度不變，但能改變四邊形的形狀和大小.在多邊形中，只有三角形可以由各邊長確定圖形的形狀和大小，

三、三角形的角

多邊形相鄰兩邊所夾的角叫作多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.三角形有三個(gè)角，三角形的三條邊確定后，三角形的三個(gè)角隨之確定，反過來，三角形的三個(gè)角確定后，三角形的三邊長并不能確定.例如，請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)分別畫出三個(gè)角都等于60°的三角形，畫出的三角形雖然形狀相同但很可能大小不等，從這個(gè)意義上說，三角形的邊對(duì)圖形整體的影響要大于角.

小學(xué)時(shí)大家已經(jīng)通過度量角度和折紙等實(shí)驗(yàn)方法，看到“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”，但是，這些實(shí)驗(yàn)都是針對(duì)具體的三角形進(jìn)行的.對(duì)實(shí)驗(yàn)過的三角形成立的結(jié)論，對(duì)所有三角形都成立嗎？因此，我們必須找到一種不依賴于具體的三角形，而適合一般的三角形的非實(shí)驗(yàn)的研究方法，這就是邏輯推理.實(shí)驗(yàn)方法只是驗(yàn)證，由它只能對(duì)有限的特殊對(duì)象作出判斷；邏輯推理方法是證明，由它得出的是適合整體的、一般的對(duì)象的結(jié)論，在數(shù)學(xué)中，邏輯推理是占重要地位的方法，

對(duì)任意三角形，要證明“三個(gè)內(nèi)角的和等于1800'’，很容易想到，如果能推導(dǎo)出這三個(gè)角合起來恰好等于一個(gè)平角，那么結(jié)論就成立了.如圖4，△ABC中，∠1，∠2，∠3三個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)是分離的，怎樣把它們搬到一起呢？大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的知識(shí)，知道“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等”等結(jié)論，由此很可能會(huì)想到利用平行線來“搬角”，圖4所示的兩種證法就是這樣想出來的，圖中的虛線是為完成證明所添加的輔助線，它使要證的三個(gè)角嚴(yán)絲合縫地拼在一起，成為一個(gè)平角，從而證明了三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.圖4中的△ABC可代表任何一個(gè)三角形，這種推理不依賴于對(duì)具體三角形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而對(duì)所有三角形都適合.因此，經(jīng)推理所得的結(jié)論具有普遍性，它被稱為三角形內(nèi)角和定理.

如圖5，n邊形可分解為n，-2個(gè)三角形，于是由三角形內(nèi)角和等于1800，可推出n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）.180°.這個(gè)結(jié)論是建立在三角形內(nèi)角和定理上的一個(gè)推論.由此也可以看出，研究三角形是研究多邊形的基礎(chǔ)，

三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.如圖6，∠ABD是△ABC在頂點(diǎn)B處的一個(gè)外角.三角形的內(nèi)角與和它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角.在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角，如圖6中的α和β，

在△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，它們的和叫作△ABC的外角和.△ABC的外角和等于（180°∠A）+（180°-∠B）+（180°一∠C）=540°-（∠A+∠B+∠C）=540°-1800=3600°.

我們還可以用另一種方法考慮三角形的外角和.如圖7（1），假設(shè)一個(gè)人開始站在點(diǎn)A處，面向點(diǎn)B，他沿AB邊走到點(diǎn)B，又沿BC邊走到點(diǎn)C，再沿CA邊走到點(diǎn)A，并且轉(zhuǎn)身面向點(diǎn)B.在此過程中，他在點(diǎn)A，B，C處各轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，這三個(gè)角度正好等于三角形的三個(gè)外角.他走了一周最后仍是站在點(diǎn)A面向點(diǎn)B，恢復(fù)到開始時(shí)的站法，從轉(zhuǎn)動(dòng)角度看，相當(dāng)于他轉(zhuǎn)了一個(gè)周角.如圖7（2），將三次轉(zhuǎn)動(dòng)的角移到同一頂點(diǎn)O的位置，更容易看出所轉(zhuǎn)各角之和等于周角，即360°.

由三角形內(nèi)角和定理可知，三角形中至多有一個(gè)鈍角或直角.三角形可以按角分為三類：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，可以看出，這是以三角形中最大角的種類為標(biāo)準(zhǔn)劃分的.每個(gè)三角形都屬于這三類之一.而且只屬于其中一類.這說明這樣的分類滿足“不重不漏”的科學(xué)分類要求.

不同類型的三角形除具有三角形共有的性質(zhì)外，還有各自的特性，例如，銳角三角形各邊上的高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形各邊上的高交于三角形的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形各邊上的高所在的直線交于三角形外一點(diǎn).

一些有關(guān)三角形的問題，需要對(duì)不同類型的三角形分類討論.

例 △ABC中，∠A=50°，兩條高BD與CE所在的直線相交于點(diǎn)P，求∠BPC.

解：（1）如果△ABC是銳角三角形，那么點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部.如圖8.易求得∠BPC=130°.

（2）如果△ABC是直角三角形，因?yàn)椤螦 =50°，所以∠B或∠C是直角，不妨設(shè)∠C是直角.如圖9，此時(shí)∠BPC不存在.

（3）如果△ABC是鈍角三角形，那么點(diǎn)P在△ABC外部，如圖10.易求得∠BPC=500.

綜上，∠BPC為130°或50°.