微積分建模與Origin軟件模擬在中學(xué)物理試題命制中的研究

摘" 要：本文通過微積分建模和Origin軟件模擬對中學(xué)物理試題情境的合理性進行了研究，包括判斷題干信息是否恰當(dāng)以及探討理想化處理的前提條件。將以微積分建模與Origin軟件模擬為代表的數(shù)學(xué)物理方法運用在試題命制中，能夠提升試題的科學(xué)性、答案的引導(dǎo)性與情境的合理性。

關(guān)鍵詞：微積分；模型建立；Origin；計算機模擬；數(shù)學(xué)物理方法

基金項目：本文系南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項目“AI技術(shù)用于初中物理實驗教學(xué)的實踐研究”（課題編號：L/2022/018）的階段性研究成果。

物理學(xué)習(xí)是一個由淺入深、由特殊到一般的攀登過程。由于中學(xué)生的知識儲備、理解能力、邏輯思維仍處在成長階段，教師在試題命制時就需要以學(xué)生的認知水平為依據(jù)。［1］在實際過程中，參數(shù)的不當(dāng)設(shè)置會導(dǎo)致物理意義丟失，理想情境下得到的答案可能會和生活實際存在一定偏差……這些問題都會潛移默化地誤導(dǎo)學(xué)生的認知。［2］為解決該問題，教師應(yīng)掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方法以還原真實情境。在本文中，筆者以未浸沒球體浮力的計算、空氣阻力對運動的影響兩個問題為例，運用微積分建模并輔以O(shè)rigin軟件模擬展開討論。

1" 對一道浮力圖像題的分析與思考

1.1" 原題情境呈現(xiàn)

如圖甲所示，水平面上有個質(zhì)量為2.5 kg、底面積為0.25 m2的正方體水槽，水槽內(nèi)有一個實心球。逐漸往水槽內(nèi)加水，球?qū)λ鄣撞康膲毫與水深h的關(guān)系如圖乙所示，水深h＝7 cm時，球剛好有一半體積浸入水中（不考慮水槽厚度，水的密度ρ水＝1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg）。

1.2" 題目分析

當(dāng)水槽中水的深度h＝0cm時，球?qū)λ鄣撞康膲毫η『玫扔谇虻闹亓?，有F|h＝0＝G＝12.92 N，即球的質(zhì)量m球＝1.292 kg。

根據(jù)題意，當(dāng)水深h1＝7 cm時，球有一半體積浸入水中。由于球?qū)λ廴杂袎毫?，說明此時球與容器底部直接接觸。由題可知球的半徑r＝7 cm，體積與密度分別為

V球＝43πr3≈1.437×10－3 m3；①

ρ球＝m球V球＝1.292 kg1.437×10－3 m3≈0.9×103 kg/m3。②

由ρ球＜ρ水可知，球最終會處于漂浮狀態(tài)。末狀態(tài)確定后，根據(jù)二力平衡F?。紾，將數(shù)據(jù)代入，解得漂浮時排開水的體積為

V排＝1.292×10－3 m3。③

V排是實心球在水下的體積，它對應(yīng)的深度h2又是多少？從圖乙可知，h2＝10 cm，但這是問題的真相嗎？筆者嘗試用微積分計算此時球浸沒在水中的實際深度。

以球心O為原點建立空間直角坐標系，在距球心h處作一半徑為l、厚度為dh的圓柱體（見圖1），其幾何關(guān)系滿足

h2＋l2＝r2（－r≤

h≤h0），④

其中r為球的半徑，h0為球心O到水面的距離。

∫h0－r

作為體積元的圓柱體滿足

dV＝πl(wèi)2·dh。⑤

下面對dV從－r～h0進行定積分，可得球在水面下的體積

V＝∫h0－rdV＝∫h0－rπl(wèi)2·dh＝∫h0－rπ（r2－h(huán)2）·dh＝πr2h0＋23πr3－13πh30。⑥

將r＝7 cm、V＝V排＝1.292×10－3 m3＝1292 cm3代入⑥式，得到關(guān)于h0的一元三次方程

1.047 h30－153.86 h0＋574＝0（π取3.14）。⑦

這樣的方程不易求出根的解析表達式，可以借助Origin軟件進行模擬。

1.3" 模擬與分析

首先在［－7，7］的區(qū)間內(nèi)繪制關(guān)于h0的一元三次函數(shù)（見圖2），即

f（h0）＝1.047h30－153.86h0＋574。⑧

作出y＝0（直線），二者相交于h0＝4.25 cm處，說明h0＝4.25 cm是該一元三次方程在［－7，7］區(qū)間內(nèi)的解（見圖2）。

由此得出結(jié)論：球心O到水面的距離為4.25 cm，即球浸沒在水中的實際深度為

h＝r＋h0＝7 cm＋4.25 cm＝11.25 cm。⑨

由于11.25 cm＞10 cm，即當(dāng)球正好漂浮時，其浸沒在水中的深度超過了水槽中水的深度，這顯然是矛盾的，因此教師有必要對題目進行修改。從簡潔性出發(fā)，上述原題圖乙中F-h圖像中的兩個特殊點（0 cm，12.92 N）和（7 cm，5.74 N）用于計算球的質(zhì)量、體積與密度，并進一步分析球的受力情況與運動狀態(tài)，將最后一個特殊點對應(yīng)的h＝10 cm改為h＝11.25 cm無疑是最合適的。

2" 空氣阻力理想化處理的條件探討

當(dāng)研究力對物體運動狀態(tài)的影響時，題目中無論是對物體進行受力分析還是求解速度或路程的變化，往往都不考慮空氣阻力。但這一理想化處理是對任何情境都適用，還是需要滿足某些前提條件呢？為了解決該問題，本文首先假設(shè)物體所受的空氣阻力fA與速度平方v2成正比，并且物體以初速度v0分別在光滑水平面和動摩擦因數(shù)為μ的粗糙水平面上運動。筆者運用微分方程推導(dǎo)出相應(yīng)的表達式、借助Origin軟件模擬，最終得出結(jié)論。

2.1" 光滑水平面

將空氣阻力fA＝－kv2代入牛頓第二定律，并化為微分方程形式，即

mdvdt＝－kv2，B10

將初始條件t＝0時v1＝v0，代入并求解，可獲得任意時刻速度

v1＝mv0kv0t＋m，B11

再對時間進行積分，并代入初始條件t＝0時s1＝0，可得路程

s1＝mklnkv0t＋mm。B12

2.2" 粗糙水平面

根據(jù)牛頓第二定律有相應(yīng)的微分方程

mdvdt＝－μmg－kv2，B13

將初始條件t＝0時v2＝v0代入，解得

v2＝μmgktan－μgkmt＋arctankμmgv0，B14

對時間積分并將初始條件t＝0時s2＝0代入，可得

s2＝mklncosμgkmt＋kμmgv0sinμgkmt。B15

2.3" 模擬與分析

當(dāng)物體僅受空氣阻力時，根據(jù)B12式可知其總路程是發(fā)散的，所以本文選擇v-t圖像進行研究。為了讓結(jié)果更具有實際意義，筆者分別模擬了空氣阻力系數(shù)k＝0.3的條件下，質(zhì)量為0.1 kg、1 kg、10 kg且初速度分別為0.1 m/s、1 m/s、5 m/s的物體的運動情況，根據(jù)模擬結(jié)果（見圖3），可以得出如下結(jié)論：①對于質(zhì)量相同的物體，初速度越大，速度的衰減越明顯；②對于初速度相同的物體，質(zhì)量越小，速度的衰減也越明顯。

模擬的物理意義在于，無論是實驗室教學(xué)還是試題編寫，如果想將某一段運動近似看作勻速直線運動，可以讓質(zhì)量較大的物體以較小的初速度運動，這樣可以使得在較短的時間內(nèi)的結(jié)果更理想化；或者讓質(zhì)量大的物體以較大的初速度運動，一段時間后也可近似為勻速直線運動。

當(dāng)物體同時受摩擦力與空氣阻力時，可以直接研究其運動路程與初速度的關(guān)系。筆者依然選擇質(zhì)量為0.1 kg、1 kg和10 kg的物體作為研究對象，動摩擦因數(shù)μ＝0.3，空氣阻力系數(shù)k＝0.3，重力加速度g取10 m/s2。本文分別模擬了不考慮空氣阻力和考慮空氣阻力時

運動路程s與初速度

v0的關(guān)系（見圖4）。

由圖可知：①當(dāng)初速度小于2 m/s時，多條曲線重合度較高，說明此時物體的運動可近似視作只受摩擦力作用的勻變速直線運動；②當(dāng)初速度大于5 m/s時，不考慮空氣阻力的曲線與其他三條曲線間出現(xiàn)明顯的差值，且物體質(zhì)量越小、差值越大，說明此時空氣阻力對物體運動的影響不可忽略，且對質(zhì)量較小物體的影響更明顯。［3］

模擬的物理意義在于，無論是“探究阻力對物體運動的影響”，還是對勻變速直線運動的研究，由于研究對象的質(zhì)量不會很大，這就要求初速度一定要小，這樣才可以有效減小空氣阻力的影響，進而觀察到較為理想的現(xiàn)象。

3" 結(jié)語

研究物理問題時，教師除了要關(guān)注題目內(nèi)部核心考點的滲透性與參考答案的引導(dǎo)性以外，還要關(guān)注題目本身情境設(shè)置的物理性與科學(xué)性。這就需要教師掌握以科學(xué)建模和軟件模擬為代表的一類數(shù)學(xué)物理方法，并將其運用到實際中，使試題變得更加嚴謹，從而在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生嚴謹務(wù)實的科學(xué)思維。

參考文獻

［1］胡道成.問渠那得清如許" 為有源頭活水來——談編寫物理原創(chuàng)試題的一些取材途徑及關(guān)鍵問題［J］.教學(xué)考試，2018（13）：71-74．

［2］任少鐸.2021年中考物理試題中的幾種典型錯誤分析［J］.物理通報，2022（11）：137-139，161．

［3］王振鑫，蘇文斌，時彥朋.探究空氣阻力對球體斜拋運動的影響［J］.科技風(fēng)，2023（8）：163-165．