注重一境多用，指向初高銜接

摘 要：函數(shù)是中學數(shù)學的主干內(nèi)容，在學生學習完初中階段的函數(shù)內(nèi)容后，有必要安排一次“回顧與展望”。因此，設(shè)計和實施《函數(shù)大觀》一課，選編“用繩子圍矩形”的經(jīng)典問題情境，“一境多用”，變式追問，帶領(lǐng)學生梳理已學函數(shù)知識，感悟函數(shù)學習路徑；精選數(shù)學史話，開展數(shù)學欣賞，同時從中抽象出新的函數(shù)問題，引導(dǎo)學生展望后續(xù)函數(shù)學習內(nèi)容，激發(fā)學生繼續(xù)學習函數(shù)的興趣，促進初高中銜接的方法積累與思維提升。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；“用繩子圍矩形”；一境多用；數(shù)學欣賞；初高銜接

2023年10月中旬，江蘇省初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動在西安交通大學蘇州附屬初級中學舉行，筆者有幸在活動中執(zhí)教了一節(jié)九年級公開課：《函數(shù)大觀》。函數(shù)是中學數(shù)學的主干內(nèi)容，在學生學習完初中階段的函數(shù)內(nèi)容（包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的內(nèi)容）后，有必要安排一次“回顧與展望”。因此，這節(jié)課不是單純的復(fù)習課，而是以函數(shù)為主題回顧初中階段已學的函數(shù)內(nèi)容，并展望后續(xù)要學的函數(shù)內(nèi)容。其教學目標為：（1） 在以函數(shù)視角解決“用繩子圍矩形”問題的過程中，對初中所學的函數(shù)內(nèi)容形成知識結(jié)構(gòu)、感悟?qū)W習路徑；（2） 回顧函數(shù)學習的過程，感受數(shù)學思想，如模型思想、變量思想、數(shù)形結(jié)合等，初步體會函數(shù)“大觀”的含義；（3） 結(jié)合開普勒第三定律、懸鏈線方程、對勾函數(shù)等陌生的函數(shù)問題，展望后續(xù)函數(shù)內(nèi)容的學習方向，激發(fā)學習興趣。下面先給出這節(jié)課的教學設(shè)計，再進一步解讀相應(yīng)的教學立意，供同行研討。

一、 《函數(shù)大觀》教學設(shè)計與立意解讀

（一） 建立一次函數(shù)、反比例函數(shù)模型，解決“用繩子圍矩形”問題，形成知識結(jié)構(gòu)

問題 如圖1，計劃利用長為12米的繩子圍一個矩形圍欄，其中一邊是墻（長度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長度為x米，與墻垂直的一邊長為y米，y是x的函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)學生對照有關(guān)概念，確認y是x的函數(shù)，且是一次函數(shù)。

追問 （1） 求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）若圍成矩形的長和寬相等，求此時矩形的面積。

預(yù)設(shè)學生順利解答。

變式1 如圖2，計劃利用繩子圍一個面積為18 平方米的矩形圍欄，其中一邊是墻（長度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長度為x米，與墻垂直的一邊長為y米，y是x的函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)學生發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，且是反比例函數(shù)。

追問 （1） 求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;（2） 若圍成矩形的長和寬相等，求使用繩子的長度。

建議學生結(jié)合函數(shù)圖像加以分析。

［設(shè)計意圖：借助“用繩子圍矩形”問題的變式與追問，引導(dǎo)學生回顧函數(shù)概念、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的概念。在解決實際問題時，引導(dǎo)學生建立函數(shù)模型，并結(jié)合函數(shù)圖像直觀分析。］

（二） 建立二次函數(shù)模型，解決“用繩子圍矩形”問題，感悟?qū)W習路徑

變式2 如圖3，計劃利用長為12 米的繩子圍一個矩形圍欄，其中一邊是墻（長度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平行的邊的長度為x米，圍成矩形的面積y平方米，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式。

預(yù)設(shè)學生得出二次函數(shù)表達式y(tǒng)＝-1/2x2＋6x（注意引導(dǎo)學生整理為一般式）。

任務(wù) 以二次函數(shù)y＝-1/2x2＋6x為例，分類梳理二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

學生小組合作回顧梳理二次函數(shù)的學習路徑，再派小組代表匯報梳理成果。教師點評學生的梳理成果，課件漸次呈現(xiàn)二次函數(shù)的學習路徑（包括圖像特征、函數(shù)性質(zhì)、與二次方程的關(guān)系、解決實際問題等方面），然后引導(dǎo)學生回到變式2，求出圍成矩形面積的最大值。

［設(shè)計意圖：借助“用繩子圍矩形”問題的進一步變式與追問，引導(dǎo)學生全面回顧梳理函數(shù)的學習路徑，促進學生感悟函數(shù)學習過程中體現(xiàn)的模型思想、變量思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想。］

（三） 通過數(shù)學史話開展數(shù)學欣賞，展望變量規(guī)律

【數(shù)學欣賞1】結(jié)合PPT，展示開普勒研究第三定律的相關(guān)史話，簡介開普勒第三定律，并出示下頁表1。

考慮到學情特點，將R3/T2=1變形為T=R3，進而組織學生研究函數(shù)T=R3

的圖像和性質(zhì)，課件漸次呈現(xiàn)圖4。

【數(shù)學欣賞2】結(jié)合PPT，介紹懸鏈線方程的相關(guān)史話，并出示圖5。

變式3 如圖6，計劃利用繩子圍一個面積為18 平方米的矩形圍欄，其中一邊是墻（長度大于6米）。設(shè)矩形圍欄與墻平

行的邊的長度為x米，使用繩子的長度為y米，分析繩長y與x之間的函數(shù)表達式，并借助函數(shù)的學習經(jīng)驗初步分析變量之間的規(guī)律。

學生得出函數(shù)表達式y(tǒng)＝x＋36/x后，教師引導(dǎo)學生結(jié)合函數(shù)的研究路徑，展望變量之間的關(guān)系，初步梳理出函數(shù)的圖像和性質(zhì)，課件漸次呈現(xiàn)圖7。

［設(shè)計意圖：借助開普勒第三定律、懸鏈線方程、對勾函數(shù)等有挑戰(zhàn)性的問題情境，引領(lǐng)學生利用已有函數(shù)學習經(jīng)驗，展望后續(xù)函數(shù)學習方向，并開展數(shù)學欣賞，激發(fā)學習興趣。］

（四） 課堂小結(jié)，完善結(jié)構(gòu)化板書

教師提問：本節(jié)課我們回顧了哪些初中階段學過的函數(shù)？還展望了哪些新的函數(shù)？你對哪類函數(shù)問題留下了較深的印象？學生小組交流小結(jié)，然后選派小組代表發(fā)言。發(fā)言學生可

以上臺對照板書小結(jié)，如本課回顧了幾種初中階段常見的函數(shù)，函數(shù)學習的知識結(jié)構(gòu)、研究路徑等。教師對板書內(nèi)容進行優(yōu)化完善，補全“關(guān)聯(lián)線”或“備注箭頭”等，最終形成如圖8所示的結(jié)構(gòu)化板書。最后建議學生課后對本課所學內(nèi)容進行整理，對尚未解決的問題進一步探究。

二、 教學立意的進一步闡釋

（一） 注重一境多用，驅(qū)動學習進程

李善良教授曾就“問題情境設(shè)計”提醒教師：“應(yīng)著眼于學生思維的發(fā)展這個核心進行，關(guān)注學生從情境中自主、主動地提出問題，并在不斷解決問題的過程中完成對數(shù)學的學習?！辈⑻貏e提出：“要注重一境多用，讓學生形成整體的認識，防止出現(xiàn)一個內(nèi)容一個情境、情境遍地開花的現(xiàn)象?！保?］本節(jié)課，我們選編了“用繩子圍矩形”的經(jīng)典問題情境，并開展“一境多用”，避免了“情境遍地開花的現(xiàn)象”。特別是，圍繞該問題情境進行變式與追問，利用初始問題和變式1得出具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)，促進學生回顧初中階段所學的函數(shù)概念以及一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)；借助變式2得出具體的二次函數(shù)，組織學生圍繞該二次函數(shù)梳理出函數(shù)的學習路徑；課堂的最后，讓學生回到開課的問題情境，通過變式3拓展得到對勾函數(shù)。這樣使得全課前后圍繞一個問題情境漸次展開、層層遞進，有效驅(qū)動學習進程?？梢园l(fā)現(xiàn)，整節(jié)課通過“問題串”的設(shè)計與應(yīng)用，“引導(dǎo)學生更深入地思考，并超出具體知識和技能的學習上升到更高的層面”［2］。

（二） 開展數(shù)學欣賞，指向初高銜接

我國著名數(shù)學教育家張奠宙先生早在2010年就提出要在數(shù)學教學中進行數(shù)學欣賞的觀點，他指出：“數(shù)學欣賞，古已有之，中外皆然。數(shù)學美的論述多多，如和諧美、簡約美、對稱美等。不過，在日常數(shù)學課堂教學中怎樣進行數(shù)學欣賞，似乎還是未開墾的處女地，值得研究?！保?］十多年過去了，在中學數(shù)學教學中切實開展的數(shù)學欣賞研究，仍然沒有太大的進展（似乎只有任念兵老師發(fā)表過一系列文章）。本節(jié)課，我們?nèi)谌肓藬?shù)學欣賞的教學活動，通過精選開普勒第三定律、懸鏈線方程等數(shù)學史話，在開展數(shù)學欣賞的同時，提取、抽象出這些問題中的函數(shù)知識，讓學生在愉快的審美體驗中發(fā)現(xiàn)和理解函數(shù)內(nèi)容，激發(fā)學生繼續(xù)學習函數(shù)的興趣。這樣的教學便指向了初高中數(shù)學的銜接。

實際上，本節(jié)課指向初高銜接的做法還不止于此。課題“函數(shù)大觀”的立意源自李尚志教授的《數(shù)學大觀》一書，李教授在該書的前言中寫道：“課程命名為‘數(shù)學大觀’，是希望從總體上讓學生對數(shù)學的思想方法有所體會，而不是傳授具體的數(shù)學知識和算法?！保?］本節(jié)課，我們在前面的回顧梳理環(huán)節(jié)，重視學生對函數(shù)研究方法的感悟和積累；在后續(xù)的“數(shù)學欣賞”活動中，抽象出一些陌生的函數(shù)問題時，學生就能夠“即時調(diào)用”函數(shù)研究經(jīng)驗，順利地猜想出一些新函數(shù)的大致圖像和性質(zhì)。此外，上文中表1和圖4、圖7、圖8等的教學預(yù)設(shè)和漸次呈現(xiàn)，也對研究函數(shù)問題的路徑做了一種較好的示范，即讓研究路徑有序展開，包括知識或方法的結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)。也即，作為對初中階段函數(shù)內(nèi)容的回顧與展望，本節(jié)課不但從知識層面上進行了回顧梳理，更重要的是從研究方法、數(shù)學思維的層面開展了銜接教學。

參考文獻：

［1］李善良．高中數(shù)學課程改革：探索與實踐［M］．南京：江蘇教育出版社，2012：84．

［2］鄭毓信．從“問題解決”到“問題引領(lǐng)的數(shù)學教學”——國際視野下的中國數(shù)學教育（1）［J］．中學數(shù)學月刊，2024（1）：1-4+9．

［3］張奠宙．談?wù)n堂教學中如何進行數(shù)學欣賞［J］．中學數(shù)學月刊，2010（10）：1-2+8.

［4］李尚志．數(shù)學大觀［M］．北京：高等教育出版社，2015：前言1.

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃特色項目研究所專項課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下‘三學’立人的實踐研究”（編號：TSXM/2021/06）的階段性研究成果。文中課例《函數(shù)大觀》，從課題策劃、試教打磨到成文解讀等環(huán)節(jié)都得到了江蘇省教育科學研究院初中數(shù)學教研員徐德同老師的關(guān)心、支持與指導(dǎo)，特此致謝！