基于動(dòng)態(tài)雙種群的黏菌和花粉混合算法

摘 要：針對(duì)單一啟發(fā)式算法易受自身原理導(dǎo)致的全局和局部搜索不平衡的問(wèn)題，提出了一種基于動(dòng)態(tài)雙種群的黏菌和花粉混合算法HASMFP。首先，通過(guò)種群個(gè)體和當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體之間的距離，將種群動(dòng)態(tài)劃分為黏菌子種群和花粉子種群分別進(jìn)行搜索，以更有效地平衡算法的探索能力和開(kāi)發(fā)能力；其次，對(duì)全局搜索融入相似度與適應(yīng)度的綜合排序感知機(jī)制來(lái)提高黏菌子種群的多樣性，以幫助黏菌算法跳出局部最優(yōu)；最后，在標(biāo)準(zhǔn)花粉算法的全局搜索中加入動(dòng)態(tài)權(quán)重和恒定收縮系數(shù)，并對(duì)局部搜索設(shè)計(jì)了精英引導(dǎo)項(xiàng)來(lái)提高算法的收斂速度和搜索精度。選用CEC2017測(cè)試集中的12個(gè)函數(shù)作為實(shí)驗(yàn)測(cè)試集，將HASMFP與ISMA、DTSMA、HLFPA、SCFPA和tMFPA五種改進(jìn)算法進(jìn)行性能測(cè)試對(duì)比。還對(duì)HASMFP的各個(gè)改進(jìn)策略進(jìn)行消融實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明在綜合改進(jìn)策略的共同作用下，HASMFP的優(yōu)化性能排名第一?；趯?shí)驗(yàn)結(jié)果的Friedman檢驗(yàn)表明，HASMFP能夠獲取最優(yōu)的性能。

關(guān)鍵詞：混合算法； 黏菌算法； 花粉算法； 動(dòng)態(tài)雙種群； 綜合排序感知； 精英引導(dǎo)項(xiàng)； 動(dòng)態(tài)權(quán)重

中圖分類號(hào)：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-3695（2024）07-019-2052-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.11.0564

Slime mould and flower pollination hybrid algorithmbased on dynamic dual population

Abstract：Aiming at overcoming drawbacks of imbalance between the global and local search ability of a single heuristic algorithm， this paper proposed a slime mould and flower pollination hybrid algorithm based on dynamic dual population， named HASMFP. Firstly， HASMFP adopted a grouping mechanism that took the distance between individual inside population and the current optimal individual into consideration to dynamically divide whole population into slime mold subpopulation and pollen subpopulation to balance the exploration and development capabilities of the algorithm more effectively. Secondly， HASMFP used a ranking mechanism based on similarity and fitness to improve diversity of slime mold population， and further increased the probability to jump out of local optimal. Finally， HASMFP also adopted a dynamic weights and constant shrin-kage coefficients with an elite guidance terms to further enhance the local and global search ability of standard flower pollination algorithm at the same time. It used 12 test functions from CEC2017 test suit as the testbed to evaluate the performance of HASMFP with other 5 algorithms： ISMA， DTSMA， HLFPA， SCFPA， and tMFPA. It conducted ablation experiments to eva-luate the effectiveness of all improvement strategies applied in HASMFP. Experimental result shows that HASMFP can rank first under the combination of all improvement strategies. The result of Friedman test based on experimental data illustrates that HASMFP can achieve the supreme performance among all evaluated algorithms.

Key words：hybrid algorithm; slime mould algorithm; flower pollination algorithm; dynamic dual population; similarity and fitness ranking; elite guidance term; dynamic weight

0 引言

很多實(shí)際的工程優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為求解給定的單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值問(wèn)題。隨著此類工程優(yōu)化問(wèn)題的規(guī)模和維度越來(lái)越大，變量和約束越來(lái)越多，使傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法難以解決此類問(wèn)題。受自然界生物的啟發(fā)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了很多新穎且高效的智能優(yōu)化算法（也稱為啟發(fā)式算法），如黏菌算法（slime mould algorithm，SMA）［1］、花粉算法（flower pollination algorithm，F(xiàn)PA）［2］等。智能優(yōu)化算法因其性能高效、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)調(diào)度［3］、無(wú)人機(jī)路徑規(guī)劃［4］、圖像分割［5］等領(lǐng)域，并取得了良好效果。

單一的啟發(fā)式算法由于自身機(jī)制或原理的限制，導(dǎo)致探索與開(kāi)發(fā)之間的不平衡，易出現(xiàn)求解質(zhì)量較差、陷入局部最優(yōu)等弊端。目前已有研究［6，7］發(fā)現(xiàn)，可以將具有不同優(yōu)勢(shì)的兩種智能優(yōu)化算法按照特定規(guī)則有機(jī)地結(jié)合在一起，可以把算法的性能提升到一個(gè)新高度。其中，采用high-level與Teamwork相結(jié)合的HTH（high-level teamwork hybrid）混合方式［8］是一種常用的將兩種不同的智能優(yōu)化算法進(jìn)行混合的方法。HTH混合是指將兩種不同的算法分別獨(dú)自運(yùn)行，各算法的內(nèi)部運(yùn)作互不影響，即每個(gè)協(xié)作算法在各自的解空間中進(jìn)行尋優(yōu)，被混合的算法更好地發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，可以使混合算法獲得比被混合的算法更優(yōu)的尋優(yōu)能力。

目前，對(duì)于混合優(yōu)化算法的研究越來(lái)越受重視，已有眾多的混合算法被提出并在多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用。Abdel-Basset等人［9］提出了一種將差分進(jìn)化算法（DE）與改進(jìn)FPA算法相結(jié)合的混合算法MFPA。MFPA采用基于概率隨機(jī)地從多個(gè)更新規(guī)則選擇一個(gè)規(guī)則的機(jī)制對(duì)FPA的局部授粉進(jìn)行改進(jìn)并融合差分進(jìn)化算法，從而更好地提高了花粉種群的多樣性。Wang等人［10］提出一種基于共生機(jī)制的蝴蝶算法（BOA）與FPA算法的混合算法MBFPA。MBFPA采用的共生生物搜索機(jī)制在共生階段具有很強(qiáng)的開(kāi)發(fā)能力并引入了共生相位，有效地提高了算法的尋優(yōu)能力。MBFPA也利用自適應(yīng)切換概率來(lái)平衡算法的探索與開(kāi)發(fā)。吳文斌等人［11］提出了基于遺傳算法（GA）的混合花粉算法HGFPA。HGFPA在算法初期使用混沌序列進(jìn)行初始化，并在較優(yōu)位置引入遺傳算法的改進(jìn)交叉和變異策略，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明HGFPA的收斂速度與精度都得到大幅提升。Chen等人［12］將SMA與算術(shù)優(yōu)化算法（AOA）進(jìn)行混合得到一種高性能的混合優(yōu)化算法。該混合算法利用SMA具有較強(qiáng)的全局搜索能力和AOA具有較好的收斂能力的特點(diǎn)獲取更好的搜索能力，并被應(yīng)用于汽車耐撞性設(shè)計(jì)問(wèn)題中，結(jié)果表明該算法的結(jié)合與改進(jìn)是有效的。Samantaray等人［13］提出了一種基于SMA與粒子群算法（PSO）的混合算法，并使用該算法基于ANFIS模型對(duì)洪流進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，混合算法可以在訓(xùn)練中獲取最佳的性能。

因?yàn)镠TH混合方式具有易混合不同算法并能充分發(fā)揮被混合算法各自的尋優(yōu)能力，并且各算法可以在搜索機(jī)制上進(jìn)行互補(bǔ)增強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，所以本文基于HTH混合方式提出了一種基于動(dòng)態(tài)雙種群的黏菌和花粉混合算法（slime mould and flower pollination hybrid algorithm based on dynamic dual population， HASMFP）。HASMFP主要考慮了需要選擇何種算法進(jìn)行混合。因?yàn)榛旌纤惴ǖ母灸康氖歉纳扑惴ㄔ谔剿髋c開(kāi)發(fā)之間的平衡性，所以需要選擇搜索機(jī)制能夠互補(bǔ)的優(yōu)化算法。SMA模仿黏菌覓食過(guò)程。黏菌在覓食時(shí)產(chǎn)生扇形細(xì)胞質(zhì)振蕩與收縮特性，形成一個(gè)大的靜脈網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行覓食。SMA使用權(quán)重系數(shù)與其他參數(shù)共同影響?zhàn)ぞ袷幨湛s的幅度和頻率，振蕩收縮隨迭代的進(jìn)行逐漸變?nèi)酢５捌诖蠓鹊恼袷幨湛s行為使SMA具有強(qiáng)大的全局探索能力［14，15］。FPA通過(guò)萊維飛行和最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)進(jìn)行探索。萊維飛行的特性使花粉大概率處于步長(zhǎng)較小的狀態(tài)［16］，導(dǎo)致算法的探索范圍偏小，而當(dāng)萊維飛行出現(xiàn)大步長(zhǎng)時(shí)，最優(yōu)個(gè)體的引導(dǎo)作用會(huì)對(duì)大步長(zhǎng)飛行產(chǎn)生阻力，導(dǎo)致FPA更多地偏向局部搜索［17］。從上述分析可以看出，F(xiàn)PA恰好可以彌補(bǔ)SMA迭代后期開(kāi)發(fā)能力較弱的缺陷，所以為了揚(yáng)長(zhǎng)避短，HASMFP選用SMA與FPA構(gòu)造HTH方式的混合算法。HTH混合方式需要將種群劃分為兩個(gè)獨(dú)立的子種群，即每個(gè)被混合的算法都擁有自己的獨(dú)立子種群。如果采用固定的子種群，即子種群被劃分后保持不變，則容易出現(xiàn)種群多樣性差或收斂能力弱等問(wèn)題，HASMFP利用動(dòng)態(tài)雙種群機(jī)制來(lái)改善上述問(wèn)題。HASMFP還分別對(duì)SMA和FPA進(jìn)行了改進(jìn)，以進(jìn)一步加強(qiáng)SMA的全局搜索能力和FPA的局部搜索能力。HASMFP的主要改進(jìn)工作如下：

a）通過(guò)種群中的個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體之間的距離將種群動(dòng)態(tài)劃分為黏菌子種群和花粉子種群，黏菌子種群側(cè)重于全局探索，花粉子種群進(jìn)行深度開(kāi)發(fā)，兩個(gè)子種群的算法相輔相成，使探索與開(kāi)發(fā)更加平衡。

b）利用相似度與適應(yīng)度的綜合排序感知機(jī)制生成選擇概率，選擇概率隨機(jī)選擇黏菌個(gè)體替代原SMA的全局搜索規(guī)則中的當(dāng)前最佳個(gè)體，以提高SMA的種群多樣性。

c）在異花授粉階段加入控制萊維飛行的動(dòng)態(tài)權(quán)值并融入恒定收縮系數(shù)，使改進(jìn)后的FPA具備更高的整體開(kāi)發(fā)性能，且在自花授粉階段添加精英引導(dǎo)項(xiàng)來(lái)提高FPA的收斂速度與精度。

1 FPA與SMA簡(jiǎn)介

1.1 FPA

FPA是模擬自然界花朵授粉過(guò)程的一種元啟發(fā)式算法。授粉是將花粉從一朵花轉(zhuǎn)移到另一朵花的過(guò)程，可以是生物或非生物的。將生物授粉視為全局授粉，通過(guò)動(dòng)物傳播花粉，可在大范圍內(nèi)進(jìn)行傳播；將非生物的自花授粉視為局部授粉，不需要傳粉媒介，但傳播的范圍有限?；ǘ涞氖诜圻^(guò)程可以總結(jié)為以下四條規(guī)律：

a）生物的異花授粉對(duì)應(yīng)算法的探索階段，全局搜索通過(guò)生物充當(dāng)載體，遵循萊維飛行規(guī)律。

b）非生物的自花授粉對(duì)應(yīng)算法的開(kāi)發(fā)階段，局部搜索是種類植物不同花朵之間通過(guò)風(fēng)實(shí)現(xiàn)傳粉。

c）繁衍概率即為花的恒常性，繁衍概率的取值大小與兩朵花的相似性成正比。

d）利用轉(zhuǎn)換概率p∈［0，1］控制全局和局部授粉的轉(zhuǎn)換。

基于上述規(guī)律轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)公式進(jìn)行描述，假定每株植物都只開(kāi)一朵花且只產(chǎn)生一個(gè)花粉配子，使用全局授粉和局部授粉的概念進(jìn)行花朵個(gè)體的進(jìn)化。

若轉(zhuǎn)換概率rand<p，rand是［0，1］的隨機(jī)數(shù)，則進(jìn)行全局授粉，花粉的位置更新如式（1）所示。

Xt+1i=Xti+L（Xbest-Xti）（1）

其中：Xt+1i、Xti分別表示第t+1、t次迭代的解；Xbest是當(dāng)前種群中的最優(yōu)解；L為步長(zhǎng)，服從萊維分布，L的計(jì)算如式（2）所示。

其中：Γ（λ）是標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)，λ=1.5。

若轉(zhuǎn)換概率rand > p，花朵進(jìn)行局部授粉，此時(shí)位置更新如式（3）所示。

Xt+1i=Xti+ε（Xtj-Xtk）（3）

其中：Xtj、Xtk是從種群內(nèi)部隨機(jī)選擇異于Xti的解，為了確保局部搜索具有更好的開(kāi)發(fā)性，繁殖概率ε對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)，是［0，1］的隨機(jī)數(shù)，該參數(shù)的生成符合均勻分布規(guī)則。

1.2 SMA

SMA是模擬黏菌個(gè)體的振蕩捕食行為的一種元啟發(fā)式算法。自然界中的黏菌根據(jù)空氣中食物氣味的濃度來(lái)接近食物。黏菌靜脈接觸的食物濃度越高，其振蕩越強(qiáng)，黏菌的靜脈寬度也會(huì)增大，該區(qū)域也會(huì)吸引更多的黏菌前往；相反，食物濃度較低時(shí)，黏菌個(gè)體則會(huì)探索其他區(qū)域。黏菌接近食物的數(shù)學(xué)公式如式（4）所示。

其中：r是［0，1］的隨機(jī)數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；Xb（t）為當(dāng)前獲得的最佳位置；XA（t）和XB（t）分別為黏菌種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)個(gè)體的位置；X（t）表示當(dāng)前位置；W為黏菌適應(yīng)度權(quán)重；vb與vc為控制參數(shù)，且vb∈［-a，a］， vc從1線性減小到0，參數(shù)a和控制變量p的公式如式（5）（6）所示。

a=arctan h（-（t/tmax）+1）（5）

p=tan h|S（i）-DF| i∈1，2，3，…，N（6）

其中：tmax是最大迭代次數(shù)；S（i）是當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度值；DF為迭代中的最佳適應(yīng)度值，適應(yīng)度權(quán)重W的公式如式（7）所示。

其中：Sindex是適應(yīng)度值的排序；r為［0，1］的隨機(jī)值；Fb和Fω分別為當(dāng)前迭代過(guò)程中獲得的最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值；S（i）表示當(dāng)前個(gè)體的適應(yīng)度值，i=M表示種群中適應(yīng)度值排在前一半的個(gè)體，i=N表示剩余的個(gè)體。

盡管黏菌找到了更好的食物來(lái)源，它們?nèi)匀粫?huì)分離一些黏菌個(gè)體去探索其他領(lǐng)域，試圖尋找到更高質(zhì)量的食物來(lái)源，所以黏菌種群的更新位置數(shù)學(xué)公式如式（9）所示。

其中：rand為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；Ub和Lb分別為搜索區(qū)域的上下界；z表示切換概率決定黏菌是圍繞當(dāng)前最佳個(gè)體搜索還是探索其他食物源，其他變量同式（4）。

2 基于動(dòng)態(tài)雙種群的黏菌和花粉混合算法

為改善單一啟發(fā)式算法受自身原理的限制出現(xiàn)的探索與開(kāi)發(fā)不平衡的問(wèn)題，本文HASMFP混合算法將種群動(dòng)態(tài)劃分為黏菌子種群和花粉子種群，兩個(gè)子種群分別使用SMA和FPA獨(dú)立進(jìn)行搜索，其中SMA側(cè)重于全局搜索而FPA側(cè)重局部搜索。此外，HASMFP還分別對(duì)SMA和FPA進(jìn)行了改進(jìn)，以進(jìn)一步提升SMA的全局搜索能力和FPA的局部搜索能力。

2.1 動(dòng)態(tài)雙種群

針對(duì)啟發(fā)式算法中使用單一種群出現(xiàn)的種群多樣性較差、收斂效率較低等問(wèn)題［18］，已有很多學(xué)者采用多種群來(lái)改善單一種群所出現(xiàn)的問(wèn)題，如卜冠南等人［19］提出了一種對(duì)螞蟻算法的蟻群進(jìn)行分組，以及隨迭代分組數(shù)減少的策略。Deng等人［20］將種群分為兩個(gè)亞群，每個(gè)亞群的大小根據(jù)平均適應(yīng)度值動(dòng)態(tài)調(diào)整，增強(qiáng)了算法搜索能力。多種群策略通常將種群劃分為2個(gè)或者更多的子群，且各子群在同一搜索空間的不同區(qū)域分別進(jìn)行探索與開(kāi)發(fā)，能夠顯著增強(qiáng)算法的搜索性能。由沒(méi)有免費(fèi)的午餐定理［21］可知，任何算法在一類問(wèn)題上的性能提升都會(huì)被在另一類問(wèn)題上的性能抵消，所以采用多種群策略的算法同樣存在上述問(wèn)題，即算法的全局探索能力得到增強(qiáng)時(shí)，會(huì)損失一定的局部開(kāi)發(fā)能力。HASMFP采用動(dòng)態(tài)雙種群策略，兩個(gè)子種群分別使用SMA和FPA進(jìn)行搜索，其中SMA具有更強(qiáng)的全局搜索能力，F(xiàn)PA則具有更強(qiáng)的局部搜索性能。動(dòng)態(tài)雙種群依據(jù)算法迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整兩個(gè)子種群的個(gè)體數(shù)量，對(duì)算法整體的探索與開(kāi)發(fā)進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠胶狻?/p>

文獻(xiàn)［22］發(fā)現(xiàn)，處于小范圍且有優(yōu)質(zhì)解進(jìn)行搜索引導(dǎo)的環(huán)境更適合啟發(fā)式算法種群的局部開(kāi)發(fā)?；趯⒎N群劃分為兩個(gè)子種群并分別使用SMA在黏菌子種群側(cè)重全局搜索和采用FPA在花粉子種群側(cè)重局部搜索的設(shè)計(jì)思想，HASMFP先計(jì)算種群中的所有個(gè)體Xti與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體Xtbest之間的歐氏距離，如式（10）所示。

其中：Lti表示第t次迭代中第i個(gè)個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的距離；D表示維度。再按距離進(jìn)行由小到大的排序并依據(jù)排序結(jié)果將種群劃分為花粉和黏菌子種群。即將距離升序排列靠前的個(gè)體劃入花粉子種群，其余個(gè)體被劃分為黏菌子種群，并將黏菌子種群的當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體替換為Xtbest，即兩個(gè)子種群共享最優(yōu)位置。如圖1所示，按上述方法進(jìn)行種群的劃分可以使花粉子種群囊括當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體以及最優(yōu)個(gè)體附近的個(gè)體，從而使FPA基于花粉子種群進(jìn)行高效的局部搜索。同時(shí)黏菌子種群中的個(gè)體距離當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體較遠(yuǎn)且更為分散，在提升黏菌種群多樣性的同時(shí)，還可發(fā)揮SMA善于全局搜索的優(yōu)勢(shì)并降低算法陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。

因?yàn)樗惴☉?yīng)該在迭代前期側(cè)重全局搜索以加快收斂速度并在迭代后期側(cè)重局部搜索以提高收斂精度，所以HASMFP采用了一種動(dòng)態(tài)種群劃分機(jī)制，其中動(dòng)態(tài)雙種群的數(shù)量變化分別如式（11）（12）所示。

其中：NSMA是黏菌子種群個(gè)體數(shù)量，且向下取整；NFPA是花粉子種群個(gè)體數(shù)量；N是劃分前的種群規(guī)模；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為算法的最大迭代次數(shù)。當(dāng)種群規(guī)模為50時(shí)，黏菌子種群的個(gè)體數(shù)變化為如圖2所示的遞減曲線。即在算法的迭代前期，確保黏菌子種群包含更多的個(gè)體，使HASMFP側(cè)重于依靠SMA使用大種群進(jìn)行廣泛的全局探索。到了迭代后期，黏菌子種群的個(gè)體數(shù)量降低，而花粉子種群包含更多的個(gè)體，可以使算法在最優(yōu)個(gè)體附近進(jìn)行更為細(xì)致的局部搜索，以提高整體的精度，同時(shí)黏菌種群仍然包含小數(shù)量的個(gè)體，從而保證算法仍然具有跳出局部最優(yōu)的能力。

2.2 改進(jìn)的SMA

基于上述動(dòng)態(tài)雙種群策略，本文將改進(jìn)的SMA用于黏菌子群，并側(cè)重于全局搜索。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)SMA的位置更新式（9），當(dāng)r<p時(shí)，黏菌個(gè)體的全局搜索規(guī)則取決于當(dāng)前最佳個(gè)體的位置和其他兩個(gè)隨機(jī)選擇的個(gè)體位置，使黏菌圍繞在最佳位置附近搜索。黏菌在探索未知食物來(lái)源時(shí)，基于vb和vc的協(xié)同作用來(lái)更新其位置，vb的振蕩效應(yīng)增加了全局勘探的可能性，vc是一個(gè)從1到0線性遞減的參數(shù)，搜索機(jī)制弱且單一。隨著迭代次數(shù)的增加，黏菌逐漸向最佳個(gè)體位置處聚攏，且vb的振蕩效應(yīng)減弱，將導(dǎo)致種群的多樣性隨迭代次數(shù)的增加而快速降低，使SMA在搜索時(shí)易陷入局部最優(yōu)。針對(duì)上述問(wèn)題，HASMFP采用基于相似度與適應(yīng)度的綜合排序感知策略對(duì)原SMA的全局搜索規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，以提升種群多樣性并增強(qiáng)SMA的全局搜索能力。

在每次迭代中，先按向量間的夾角余弦值計(jì)算黏菌子種群中的每個(gè)黏菌個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體間的相似度Mti：

其中：Xti，j是t次迭代中第i個(gè)向量個(gè)體的第j維；Xtbest，j是t次迭代中當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的第j維；D表示維度;Mti越小代表解向量之間的夾角余弦值越小，夾角越大，該個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體相似度越低。

再將黏菌子種群中的所有個(gè)體按相似度和適應(yīng)度分別進(jìn)行升序排序，得到黏菌個(gè)體排序后的相似度序號(hào)mi和適應(yīng)度序號(hào)ni，然后按式（14）可得每個(gè)黏菌個(gè)體的綜合排序序號(hào)Ri：

Ri=mi+ni（14）

因?yàn)閙i越小，表示該個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的差異性越大，并且ni越小則該個(gè)體適應(yīng)度越低，所以Ri越小代表黏菌個(gè)體越優(yōu)質(zhì)。當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的相似度序號(hào)和適應(yīng)度序號(hào)都為1，所以其綜合排序序號(hào)也為1，即綜合排序?yàn)榈谝?。圖3（a）（b）分別顯示了只按適應(yīng)度排序和按本文提出的綜合排序后排名靠前的若干優(yōu)質(zhì)個(gè)體分布對(duì)比。從圖3（a）可看出，只依據(jù)個(gè)體適應(yīng)度排序結(jié)果選出的優(yōu)質(zhì)個(gè)體易聚集在一個(gè)或多個(gè)波谷附近。如圖3（b）所示，利用相似度與適應(yīng)度的綜合排序選擇出的優(yōu)質(zhì)個(gè)體具有適應(yīng)度值低，位置也相對(duì)比較分散的特點(diǎn)，所以可以選擇那些相似度較低且適應(yīng)度值小的黏菌個(gè)體來(lái)替換當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體來(lái)進(jìn)行全局探索，以增加種群多樣性并提升算法的探索性能。

在得到黏菌個(gè)體的綜合排序序號(hào)Ri后，HASMFP根據(jù)每個(gè)黏菌個(gè)體的Ri，按式（15）計(jì)算該個(gè)體被選擇的概率Pi，并依據(jù)選擇概率Pi從種群中隨機(jī)選擇黏菌個(gè)體替換原SMA位置，更新式（9）的當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體：

其中：N是黏菌種群規(guī)模；Wi為第i個(gè)黏菌個(gè)體的選擇權(quán)重。選擇權(quán)重Wi的計(jì)算公式如式（16）所示。

其中：θ為控制選擇權(quán)重隨綜合排序序號(hào)增加而下降的參數(shù)。由式（16）可知，每個(gè)黏菌個(gè)體的選擇權(quán)重Wi與綜合排序序號(hào)Ri為指數(shù)關(guān)系。選擇概率Pi的值只和黏菌個(gè)體的綜合排序序號(hào)Ri有關(guān)，排名的范圍是從1到N。即確保黏菌個(gè)體越優(yōu)質(zhì)，其被選中的概率就越大。

式（16）中的參數(shù)θ影響著每個(gè)黏菌個(gè)體的選擇概率。為了更好地觀察參數(shù)θ產(chǎn)生對(duì)選擇概率Pi的影響，圖4繪制了在不同θ設(shè)置下，選擇權(quán)重隨綜合排序序號(hào)增加的變化曲線。

從圖4可知：a）θ值越小，隨著綜合排序序號(hào)增加，選擇權(quán)重下降的速度越快，即優(yōu)秀黏菌個(gè)體保留更多的選擇權(quán)重。最終選擇權(quán)重集中在前幾個(gè)最優(yōu)秀的黏菌個(gè)體上，使黏菌種群的個(gè)體將被引導(dǎo)在幾個(gè)方向上搜索解空間，可以增強(qiáng)搜索效率。b）θ值越大，隨著綜合排序序號(hào)增加，選擇權(quán)重下降的速度越慢，黏菌個(gè)體的選擇權(quán)重之間的差距不明顯，可以引導(dǎo)黏菌個(gè)體從更多元化的方向去尋找最優(yōu)解，有利于提高種群的多樣性?；谏鲜龇治?，為了更好地平衡搜索效率和種群多樣性，HASMFP將θ設(shè)置為0.2，可以使黏菌個(gè)體既能夠有效地探索解空間，又可以適當(dāng)?shù)赝诰蛴袧摿Φ膮^(qū)域。

綜上，改進(jìn)后的SMA全局位置更新規(guī)則如式（17）所示。

Xt+1=Xtselect+vb·（W·XtA-XtB） r<p（17）

其中：Xtselect表示第t次迭代中黏菌子種群中通過(guò)綜合排序感知選擇概率得到的優(yōu)質(zhì)黏菌個(gè)體，其他變量同式（4）。

2.3 改進(jìn)的FPA

與其他啟發(fā)式算法類似，花授粉算法到了迭代后期收斂速度變慢，且隨著迭代次數(shù)的增加，種群多樣性減少，算法容易滯留在局部的某個(gè)點(diǎn)，出現(xiàn)收斂精度低、探索與開(kāi)發(fā)不平衡等問(wèn)題。由于萊維飛行具有大小步長(zhǎng)概率出現(xiàn)、運(yùn)動(dòng)方向多變的特性，可能會(huì)因運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng)太大導(dǎo)致最優(yōu)花粉個(gè)體信息的丟失，且花授粉算法在局部搜索中使用的隨機(jī)差分項(xiàng)具有一定的搜索盲目性，即搜索規(guī)則中兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體的差分操作會(huì)使算法進(jìn)行無(wú)目的的隨機(jī)搜索，可能降低算法的搜索效率。針對(duì)上述問(wèn)題，HASMFP對(duì)FPA的全局搜索和局部搜索機(jī)制進(jìn)行了改進(jìn)。

群智能優(yōu)化算法中，擾動(dòng)項(xiàng)前面的系數(shù)將直接影響算法的最終性能，系數(shù)取值過(guò)大或者過(guò)小都會(huì)導(dǎo)致算法過(guò)早收斂，采用動(dòng)態(tài)權(quán)值可以很好地平衡算法前后期對(duì)擾動(dòng)的需求［23］，HASMFP利用了動(dòng)態(tài)權(quán)重值和恒定收縮系數(shù)來(lái)改進(jìn)全局搜索。全局搜索公式的改進(jìn)如式（18）所示。

其中：rand是［0，1］的隨機(jī)數(shù)；α是取值為0.01的恒定收縮系數(shù)；δ是動(dòng)態(tài)權(quán)重，其他變量同式（1）。動(dòng)態(tài)權(quán)重δ的定義如式（19）所示。

其中：δmax和δmin分別為參與權(quán)重值計(jì)算的最大值和最小值；T為算法的最大迭代次數(shù)；t是當(dāng)前迭代次數(shù)。如圖5所示，δ的值呈一條非線性下降的曲線。在迭代前期δ的值較大，以更強(qiáng)的擾動(dòng)來(lái)尋找優(yōu)勢(shì)解，并擴(kuò)大花粉個(gè)體搜索的范圍，增強(qiáng)算法的全局搜索能力。δ的值隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸降低，使FPA在迭代后期應(yīng)由勘探轉(zhuǎn)向開(kāi)發(fā)，降低權(quán)重值可以減少無(wú)效探索，以優(yōu)質(zhì)解為引導(dǎo)進(jìn)行更小幅度的擾動(dòng)，提高算法迭代后期的開(kāi)發(fā)能力。FPA使用的萊維飛行會(huì)使花粉個(gè)體位置更新出現(xiàn)不穩(wěn)定的大步長(zhǎng)擾動(dòng)［16］，不利于小范圍內(nèi)的局部開(kāi)發(fā)。HASMFP提出使用恒定收縮系數(shù)α，來(lái)縮小花粉個(gè)體由于萊維飛行產(chǎn)生的大跨步探索，使FPA能夠?qū)Ｗ⒂诰植块_(kāi)發(fā)。

HASMFP在FPA的局部搜索機(jī)制中添加了精英引導(dǎo)項(xiàng)將花粉個(gè)體往更優(yōu)處引導(dǎo)，以進(jìn)一步增強(qiáng)FPA的局部搜索效率，F(xiàn)PA局部搜索的改進(jìn)如式（20）所示。

Xt+1i=Xti+ε（Xtj-Xtk）+（XtA-XtB）（20）

其中：XtA和XtB代表第t次迭代時(shí)花粉種群中適應(yīng)度值排在前一半的兩個(gè)隨機(jī)個(gè)體，并且XtA的適應(yīng)度值優(yōu)于XtB；是［0，1］符合均勻分布的隨機(jī)數(shù)，其他變量同式（3）。式（20）右邊的第三項(xiàng)為精英引導(dǎo)項(xiàng)，即將花粉子種群中適應(yīng)度值排在前一半的個(gè)體劃分為精英個(gè)體，隨機(jī)選擇兩個(gè)精英個(gè)體XA和XB的差分值來(lái)組成精英引導(dǎo)項(xiàng)，加快算法的收斂速度。精英引導(dǎo)項(xiàng)選擇較優(yōu)個(gè)體XA作為差分中的被減向量，可以將花粉個(gè)體往更優(yōu)位置處擾動(dòng)，如圖6所示。精英個(gè)體能夠引導(dǎo)花粉子種群中的個(gè)體往更優(yōu)位置靠近，幫助算法找到更優(yōu)解。式（20）右邊的第二項(xiàng)為隨機(jī)差分項(xiàng)，增加隨機(jī)差分項(xiàng)使算法具有一定的全局搜索能力，有利于擺脫陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致的搜索停滯。

2.4 算法流程

HASMFP流程如圖7所示。

2.5 HASMFP時(shí)間復(fù)雜度分析

標(biāo)準(zhǔn)FPA和SMA的時(shí)間復(fù)雜度可以表示為O（T×N×D），其中T為算法最大迭代次數(shù)、N為種群規(guī)模、D為問(wèn)題維度。設(shè)NSMA為黏菌子種群規(guī)模、NFPA為花粉子種群規(guī)模。HASMFP開(kāi)始迭代以后，每次迭代按距離排序?qū)⒎N群劃分為雙種群，增加的時(shí)間復(fù)雜度為O1（T×N×D）。黏菌子種群的相似度與適應(yīng)度綜合排序增加的時(shí)間復(fù)雜度為O2（T×NSMA×D），排序后計(jì)算相似度序號(hào)mi和適應(yīng)度序號(hào)ni所增加的時(shí)間復(fù)雜度為O3（T×NSMA）。得到相似度序號(hào)與適應(yīng)度序號(hào)之后，根據(jù)式（14）計(jì)算綜合排序序號(hào)Ri增加的時(shí)間復(fù)雜度為O4（T×NSMA）。根據(jù)式（15）（16）計(jì)算選擇概率和選擇權(quán)重增加的時(shí)間復(fù)雜度分別為O5（T×NSMA）和O6（T×NSMA）。對(duì)花粉子種群適應(yīng)度進(jìn)行排序，尋找精英個(gè)體增加的時(shí)間復(fù)雜度為O7（T×NFPA）。綜上所述，HASMFP的時(shí)間復(fù)雜度為O8=O（T×N×D）+O1+O2+O3+O4+O5+O6+O7=O（T×N×D）。

3 算法性能測(cè)試與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為保障實(shí)驗(yàn)的公平性，所有仿真實(shí)驗(yàn)均處于同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境中進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)仿真軟件為MATLAB R2022b，基于AMD R7-5800HS CPU、16.0 GB內(nèi)存以及Windows 10（64位）的操作系統(tǒng)。本次實(shí)驗(yàn)對(duì)HASMFP以及其他五個(gè)對(duì)比算法進(jìn)行性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)，其他對(duì)比算法為ISMA［24］、DTSMA［25］、HLFPA［26］、SCFPA［27］、tMFPA［28］，并且對(duì)HASMFP各個(gè)策略進(jìn)行完整性消融實(shí)驗(yàn)測(cè)試。選取了12個(gè)CEC2017中具有代表性的函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，其中包含3個(gè)多峰函數(shù)（f1～f3）、3個(gè)混合函數(shù)（f4～f6）和6個(gè)復(fù)合函數(shù)（f7～f12）。選取的所有測(cè)試函數(shù)都具有大量的局部最優(yōu)，且隨函數(shù)復(fù)雜度逐漸增加，算法陷入局部最優(yōu)的可能性也逐步增大。測(cè)試集函數(shù)如表1所示。

將HASMFP和其他5個(gè)對(duì)比算法在維度為100維的測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試，算法的迭代次數(shù)為500次，各算法獨(dú)立運(yùn)行30次。取各算法運(yùn)行后獲得的最優(yōu)解的均值（mean）、方差（std）以及算法排名（rank）三項(xiàng)指標(biāo)來(lái)評(píng)估各算法的穩(wěn)定性與優(yōu)化性能。為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，各算法的參數(shù)設(shè)置都和其原論文中一致。極小值問(wèn)題的求解中，均值越小代表著算法的平均性能越好，方差越小代表著算法性能越穩(wěn)定。排名的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是均值優(yōu)先，方差隨后。count表示算法排名第一的總次數(shù)，ave rank表示算法的平均排名情況，total rank表示基于平均排名來(lái)進(jìn)行最終的排名情況。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與收斂曲線對(duì)比分析

如表2所示，HASMFP在12個(gè)測(cè)試函數(shù)中收斂精度排名均取得了第一，在total rank總排名中也取得了第一名。HASMFP方差排在實(shí)驗(yàn)測(cè)試算法中的前列，說(shuō)明混合算法相較于其他對(duì)比算法更具有優(yōu)勢(shì)并具有更好的魯棒性能。HASMFP在f1、f4～f6和f12測(cè)試函數(shù)上的收斂精度甚至高出其他對(duì)比算法一個(gè)量級(jí)左右。

為了直觀對(duì)比HASMFP算法和五種對(duì)比算法尋優(yōu)能力的優(yōu)劣，圖8給出了六種算法在100維情況下12個(gè)測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線。觀察收斂曲線可知，在12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中，HASMFP都具有更好的收斂效果。其中圖8（a）～（c）為多峰函數(shù)f1～f3的收斂圖，可以看出HASMFP的收斂精度要優(yōu)于其他對(duì)比算法；圖8（d）～（f）為混合函數(shù)f4～f6的收斂圖，在算法迭代到100次左右時(shí)，HASMFP的收斂精度就超過(guò)了其他對(duì)比算法，并且隨著迭代次數(shù)的增加，收斂精度還在不斷深入；圖8（g）～（l）為復(fù)合函數(shù)f7～f12的收斂圖，從圖中可以看出HASMFP具備跳出局部最優(yōu)的能力，當(dāng)算法迭代到中后期時(shí)，其他對(duì)比算法都已經(jīng)陷入了局部最優(yōu)。以上表明，HASMFP具備更優(yōu)的性能。

3.3 算法箱線圖對(duì)比分析

圖9包括了HASMFP與對(duì)比算法基于上述12個(gè)測(cè)試函數(shù)在維度為100時(shí)獨(dú)立執(zhí)行30次獲得最優(yōu)解的箱線圖。圖中箱體高度代表算法最優(yōu)值的波動(dòng)情況，箱體底部表示算法的搜索精度。圖中除f2和f6以外的函數(shù)中，HASMFP箱體較窄，說(shuō)明HASMFP在這些測(cè)試函數(shù)中的最優(yōu)值波動(dòng)情況小，算法收斂速度較快，導(dǎo)致每一代的最優(yōu)解之間跨度較小。其他改進(jìn)算法的箱體較寬，代表算法從迭代開(kāi)始到結(jié)束獲取的所有解變化大，魯棒性比HASMFP弱。同時(shí)可明顯看出，HASMFP在測(cè)試函數(shù)中箱體的下限比對(duì)比算法更低，代表其搜索精度更高，能夠?qū)ふ业礁鼉?yōu)質(zhì)的解。以上分析表明了HASMFP使用的策略有利于增強(qiáng)混合算法的求解精度與穩(wěn)定性。

3.4 完整性消融實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證HASMFP各個(gè)策略的有效性，對(duì)HASMFP中的改進(jìn)策略進(jìn)行完整性消融實(shí)驗(yàn)。設(shè)將標(biāo)準(zhǔn)FPA和標(biāo)準(zhǔn)SMA按動(dòng)態(tài)雙種群混合方式進(jìn)行混合的算法為HASMFP1，在HASMFP1的基礎(chǔ)之上只對(duì)黏菌子種群進(jìn)行改進(jìn)的算法為HASMFP2，在HASMFP1的基礎(chǔ)之上只對(duì)花粉子種群進(jìn)行改進(jìn)的算法為HASMFP3。將標(biāo)準(zhǔn)SMA、標(biāo)準(zhǔn)FPA、HASMFP1、HASMFP2、HASMFP3和HASMFP基于表1基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，所有算法在維度為100維的函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試，各算法獨(dú)立運(yùn)行30次，迭代次數(shù)為500次，各算法參數(shù)均保持一致。表3展現(xiàn)了不同改進(jìn)策略算法收斂精度的情況。

從表3看出，HASMFP1在12個(gè)測(cè)試函數(shù)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)SMA和FPA，表明了動(dòng)態(tài)雙種群混合策略的優(yōu)越性。在黏菌子種群和花粉子種群上各自進(jìn)行改進(jìn)的算法HASMFP2和HASMFP3的測(cè)試結(jié)果優(yōu)于HASMFP1，說(shuō)明SMA的改進(jìn)和FPA的改進(jìn)對(duì)算法有提升。最后HASMFP的測(cè)試結(jié)果比HASMFP2和HASMFP3都要好，說(shuō)明將兩種算法的改進(jìn)并混合到一起后，進(jìn)一步提升了算法的性能。可表明每個(gè)策略在混合算法上都是有效的，各個(gè)策略都是HASMFP中不可或缺的，共同提升了HASMFP的綜合尋優(yōu)性能。

3.5 Friedman檢驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證HASMFP與對(duì)比算法的顯著差異性，采用Friedman檢驗(yàn)［29］對(duì)3.1節(jié)記錄的六種算法進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示，表中的P-value表示漸進(jìn)顯著性，是判斷各個(gè)算法之間是否存在顯著性差異的指標(biāo)，如果該值小于0.01，則表示各項(xiàng)數(shù)據(jù)之間存在顯著性差異。從表4可以看出，對(duì)于30維、50維、100維，HASMFP的P-value值分別是2.170 1E-9、4.154 2E-9、1.816 1E-9，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.01，說(shuō)明HASMFP和其他對(duì)比算法之間存在顯著的差異性。在三種不同維度的Friedman檢驗(yàn)中，HASMFP秩的平均值都是最小的，表明HASMFP的性能最佳。綜上所述，HASMFP的優(yōu)化能力在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上相比于其他對(duì)比算法有較大提升。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)單一啟發(fā)式算法易受到自身原理的限制導(dǎo)致全局與局部搜索不平衡的問(wèn)題，提出了一種基于動(dòng)態(tài)雙種群的黏菌和花粉混合算法HASMFP。首先，對(duì)種群中個(gè)體與當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體的距離進(jìn)行排序，并按排序的距離對(duì)種群動(dòng)態(tài)劃分為黏菌子種群和花粉子種群。其次，對(duì)SMA和FPA進(jìn)行改進(jìn)。最后，HASMFP與五種對(duì)比算法基于CEC2017中的12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的進(jìn)行性能測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，HASMFP在高維度下的測(cè)試函數(shù)中取得了較好的尋優(yōu)精度。基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Friedman檢驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了HASMFP的有效性。在后續(xù)的研究中，將進(jìn)一步對(duì)HASMFP進(jìn)行改進(jìn)，并用于解決多目標(biāo)問(wèn)題。

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