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    證明的“浪漫”

    2024-08-14 00:00:00吳欣晨
    初中生世界·七年級(jí) 2024年8期

    我國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身先生曾說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹的學(xué)問(wèn),從一組公設(shè),經(jīng)過(guò)邏輯的推理,獲得結(jié)論。”數(shù)學(xué)老師也一直引導(dǎo)我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,要會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,到分析問(wèn)題,最后去解決問(wèn)題。

    “三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”,這是我們?cè)谛W(xué)階段就知道的知識(shí)。記得當(dāng)時(shí),老師將三角形卡片的三個(gè)角隨意撕開(kāi),隨后又將頂角拼湊到一起,如圖1所示,三角形的三個(gè)角竟然正好在一條直線上,我很驚訝。下課后,我又用量角器量出三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),計(jì)算發(fā)現(xiàn),三個(gè)內(nèi)角度數(shù)加起來(lái)確實(shí)等于180°。懵懂的我不禁對(duì)此產(chǎn)生好奇,為什么呢?該如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)證明這一現(xiàn)象呢?

    上了初中,當(dāng)我學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后,再回想“三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°”這一定理時(shí),我想到了證明這一定理的方法。

    我當(dāng)時(shí)想到的方法和畢達(dá)哥拉斯的證明方法是一樣的,如圖2,過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線DE,∵BC∥DE,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC,∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°,∴在任意三角形中,其內(nèi)角和都為180°。

    “反證法”也是常用的證明方法,了解到這一點(diǎn)后,我又思考能否舉出反例來(lái)推翻這一結(jié)論。如圖3,假設(shè)∠ABC+∠ACB+∠BAC≠180°。

    我延長(zhǎng)BC,得到射線BE,過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB,可知,∠DCE=∠ABC,∠BAC=∠ACD,所以得到∠BCA+∠ACD+∠DCE≠180°,又因?yàn)锽、C、E三點(diǎn)共線,所以與假設(shè)矛盾,假設(shè)不成立。

    數(shù)學(xué)結(jié)論的證明都需要一步步地探索,探索的過(guò)程充滿了驚喜與浪漫。在上述推理探究的過(guò)程中,我總結(jié)了三條證明思路:

    (1)分析法:從結(jié)論逆推到條件(即“執(zhí)果索因法”,如拼圖、量角證明)。

    (2)綜合法:從條件推得結(jié)論(即“由因?qū)Чā保鐖D2的證明)。

    (3)反證法:假設(shè)結(jié)論不成立,由此推導(dǎo)出與已知條件或公理、定理相違背的結(jié)論,從而證明假設(shè)不成立(如圖3的證明)

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們不妨主動(dòng)提出自己的疑惑,積極和老師、同學(xué)互動(dòng)交流,運(yùn)用各種方法,層層遞進(jìn),來(lái)探求一個(gè)真命題的成立。我相信,你也一定會(huì)感受到證明的“浪漫”和獨(dú)一無(wú)二的成就感。

    教師點(diǎn)評(píng)

    “證明”確實(shí)是一件很浪漫的事,小作者從小學(xué)遇見(jiàn)的問(wèn)題入手,利用初中學(xué)習(xí)所得,再次去分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,切身感受到了數(shù)學(xué)的證明之美,推理之趣,同時(shí)利用自己的收獲,總結(jié)出對(duì)證明的認(rèn)知,也提供了證明的多種途徑,相信會(huì)對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā),有所幫助。

    (指導(dǎo)教師:楊石波)

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