撬起不等式杠桿，解悟數(shù)學(xué)奧秘

不等式是一種刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在初中數(shù)學(xué)中，“一元一次不等式”是學(xué)習(xí)不等式的起始內(nèi)容，它既是對此前已經(jīng)學(xué)習(xí)的“一元一次方程”“二元一次方程組”等刻畫數(shù)量關(guān)系的模型的升華，也能為即將學(xué)習(xí)的“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”等知識打下基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。在這一章節(jié)，我們要從“等”走向“不等”，從“方程”走向“不等式”，撬起不等式的杠桿，解悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奧秘。

一、知識結(jié)構(gòu)

我們在學(xué)習(xí)新章節(jié)時，如果能把舊知和新知做一個知識脈絡(luò)的類比，會讓學(xué)習(xí)更為高效。在類比中，觀察共同點能幫助我們掌握、梳理知識，比較不同點能幫助我們強化、深挖知識。在比較中，我們不難梳理出一元一次不等式與一元一次方程的知識網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示。

二、例題引領(lǐng)

下面，就讓我們通過典型例題，再次回顧一元一次不等式章節(jié)里的知識點與思想方法。

1.不等式（組）解法及相關(guān)應(yīng)用

例1 解不等式[x+12]＞3（x-1）-4。

解：去分母，得x+1＞6（x-1）-8。

去括號，得x+1＞6x-6-8。

移項，得x-6x＞-1-6-8。

合并同類項，得-5x＞-15。

系數(shù)化為1，得x＜3。

解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。其中，特別值得我們關(guān)注和注意的是：在不等式兩邊同時乘（或除以）一個負數(shù)時，根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等號的方向要改變。

變式1 解不等式組：

[x+12＞3（x-1）-4，①3x-6≥2（x-3）-1。②]

解：解不等式①，得x＜3；

解不等式②，得x≥-1。

在數(shù)軸上表示這兩個不等式的解集（圖2）：

所以，不等式組的解集為-1≤x＜3。

解不等式組的步驟為：先分別解出每個不等式，再利用數(shù)軸找到它們的公共部分。另外，我們也可借助口訣直接得到公共部分，如本題就可利用“大小小大中間找”，直接得出最后答案。

變式2 解不等式組：

[x+12＞3（x-1）-4，①3x-6≥2（x-3）+m。②]

（1）該不等式組有解，則m的范圍是 ；

（2）該不等式組有三個整數(shù)解，則m的范圍是 。

解：（1）解不等式①，得x＜3；

解不等式②，得x≥m。

∵不等式組有解，

∴m＜3。

遇到含參不等式，可先化簡，再和題目結(jié)合。題目要求“有解”，若從數(shù)軸上去考慮，則m必須在3的左側(cè)，這樣兩個不等式的解集才會有公共部分，因此m＜3；若從“大小小大中間找，大大小小找不到”考慮，則兩個不等式的解集應(yīng)符合“大小小大”的情況，因此m＜3。

解：（2）［步驟1］畫數(shù)軸確定大致范圍，如圖3。

根據(jù)圖像，可知題目要求的3個整數(shù)解為：0、1、2。

因此，m的大致范圍是-1＜m＜0。

［步驟2］驗證端點值。

當m=-1時，-1≤x＜3，有4個整數(shù)解，不符合題意。

當m=0時，0≤x＜3，有3個整數(shù)解，符合題意。

綜上所述：-1＜m≤0。

遇到含參數(shù)的整數(shù)解問題，同學(xué)們務(wù)必要利用數(shù)軸，運用數(shù)形結(jié)合思想來解決。若將第二問中的“整數(shù)解”變?yōu)椤柏撜麛?shù)解”，題目答案會有什么樣的變化呢？同學(xué)們試著做做看！

2.用不等式解決實際問題

例2 王同學(xué)每天騎自行車去學(xué)校，學(xué)校規(guī)定學(xué)生需在7∶10分前到達學(xué)校。今天王同學(xué)早晨6∶50從離校4千米的家出發(fā)，那么他每小時至少要走多少千米才能保證按時到校？

解：根據(jù)題意，可知不等關(guān)系為速度×?xí)r間≥路程。設(shè)王同學(xué)的速度為x千米/小時。

20分鐘=[13]小時，

[13]x≥4，得x≥12。

答：他每小時至少要走12千米。

與解決一元一次方程有關(guān)的實際問題類似，不等式里的實際問題也需要經(jīng)歷審、設(shè)、列、解、答這些步驟，只不過方程問題中我們要找的是相等關(guān)系，不等式問題中我們要找的是不等關(guān)系，而不等關(guān)系常常蘊藏在“至少”“至多”“超過”“不少于”等代表著不等符號的字眼里。

例3 （策略類問題）學(xué)校計劃組織部分七年級學(xué)生代表到某景點觀光學(xué)習(xí)，甲、乙兩個旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同且組織到該景點旅游的價格都是每人200元，甲旅行社表示可以給予每位游客七五折優(yōu)惠，乙旅行社表示可以免去一位帶隊人員的旅游費用，給其余游客八折優(yōu)惠。

（1）兩種方案的選擇與什么有關(guān)？

（2）若有20人參與此次觀光學(xué)習(xí)，請問選擇哪家旅行社比較劃算？

（3）為了盡可能節(jié)省旅游費用，請你設(shè)計一個合理的出行方案。

解：（1）與旅游的人數(shù)相關(guān)。

（2）兩個旅行社的總費用分別為：

甲：20×200×0.75=3000（元），

乙：19×200×0.8=3040（元）。

∵3000＜3040，

∴選擇甲旅行社。

（3）設(shè)有x人參加此次觀光學(xué)習(xí)，兩個旅行社的總費用分別為：

甲：200×0.75x=150x，

乙：200×0.8（x-1）=160x-160。

令150x＜160x-160，

得x＞16。

當x＞16時，甲的費用低，則選擇甲；當x＜16時，乙的費用低，則選擇乙；當x=16時，甲、乙費用相同，都可選擇。

方案決策類應(yīng)用題一般會給同學(xué)們提供多種選擇，解決這類問題，一般要根據(jù)題目的條件，列舉方案，分別計算結(jié)果，再比較、擇優(yōu)，具有一定的開放性和探索性。

三、探索啟示

在經(jīng)歷了例題的探究過程后，同學(xué)們有沒有體會到不等式運用的奧秘呢？通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們將會用更開闊的數(shù)學(xué)眼光、更深刻的數(shù)學(xué)思想來看待和思考現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)問題。在實際的學(xué)習(xí)過程中，還將會有更多與不等式相關(guān)的題型等待同學(xué)們?nèi)ヌ魬?zhàn)，圖4是這一章節(jié)的涵蓋重難點的題型線索圖，同學(xué)們快去挑戰(zhàn)吧！

（作者單位：江蘇省張家港市實驗學(xué)校）