一種融合反向?qū)W習機制與差分進化策略的蛇優(yōu)化算法

摘要： 蛇優(yōu)化（snake optimizer， SO）算法存在前期收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)的問題，為此提出一種融合反向?qū)W習機制與差分進化策略的改進蛇優(yōu)化（improved snake optimizer， ISO） 算法。反向?qū)W習機制可提高種群質(zhì)量，以提升算法尋優(yōu)速度；差分進化策略有助于算法精準尋優(yōu)，降低算法陷入局部最優(yōu)的幾率。在10個基準測試函數(shù)上的實驗結(jié)果表明，ISO算法擁有更高的尋優(yōu)精度和更快的收斂速率。將其應用于支持向量機（support vector machine， SVM）的參數(shù)選取中，進一步驗證了ISO算法的有效性。

關(guān)鍵詞： 蛇優(yōu)化算法； 差分進化； 反向?qū)W習； 參數(shù)優(yōu)化； 支持向量機

中圖分類號： TP181

文獻標志碼： A

文章編號： 1671-6841（2024）06-0025-07

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023113

Snake Optimizer Algorithm Based on Opposition-based Learning

Mechanism and Differential Evolution Strategy

ZHAN Hongxiang， WANG Tinghua， ZHANG Xin

（School of Mathematics and Computer Science， Gannan Normal University， Ganzhou 341000， Chin4d3a71e5be1c90707b3d14a40f044f6ed976c4e07b13404b4703480ae60e3b59a）

Abstract： To address the problem of slow convergence speed in the early stage and local optimization， an improved snake optimizer （ISO） algorithm based on reverse learning mechanism and differential evolution strategy was proposed. The reverse learning mechanism could improve the population quality to enhance optimization speed.The differential evolution strategy could help search accurately and reduce the probability of falling into local optimal value.The experimental results of ten benchmark functions showed that ISO had higher optimization accuracy and faster convergence rate. It was later applied to the parameter selection of the support vector machine （SVM） to demonstrate the effectiveness of the proposed ISO algorithm.

Key words： snake optimizer algorithm; differential evolution; opposition-based learning; parameter optimization; support vector machine （SVM）

0 引言

近年來，隨著人工智能技術(shù)的迅速發(fā)展，越來越多的國內(nèi)外學者將群智能（swarm intelligence， SI）算法應用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域，并取得了許多成果。群智能算法是受自然界中生物種群社會行為的啟發(fā)構(gòu)造出的一類具有簡單性、自適應性、靈活性等特點的元啟發(fā)式算法，而蛇優(yōu)化（snake optimizer， SO）算法［1］就是在2022年提出來的。一般來說，元啟發(fā)式算法沒有標準的分類。在文獻［1］中，將其分為四類。

1） 進化算法（evolution-based algorithms）。它是模擬生物遺傳學中個體基因之間選擇、交叉、突變等規(guī)則隨機對群體進行更新與替換的算法。運用較廣的進化算法有遺傳算法（genetic algorithm， GA）［2-3］、差分進化算法（differential evolution algorithm， DE）［4-5］等。

2） 物理化學算法（physical & chemical-based algorithms）。它是模擬宇宙中存在的物理現(xiàn)象或化學定律的算法。如萊維飛行算法（Levy flight algorithm， LFA）、模擬退火算法（simulated annealing algorithm， SA）［6］、獵鷹優(yōu)化算法（falcon optimizer algorithm， FOA）等。

3） 人類算法（human-based algorithms）。它是受人類心理活動或者社會行為啟發(fā)的算法。如教學優(yōu)化算法（teaching-learning-based optimization， TLBO）、社會進化與學習優(yōu)化算法（socio evolution and learning optimization， SELO）等。

4） 群智能算法。它是模仿自然界生物的個體或者種群行為，構(gòu)架出具有隨機性、可行性的優(yōu)化算法。應用較多的有人工蜂群算法（artificial bee colony algorithm， ABC）［7-8］、粒子群算法（particle swarm optimization， PSO）［9-10］、灰狼優(yōu)化算法（gray wolf optimization algorithm， GWO）［11-12］、鯨魚優(yōu)化算法（whale optimizer algorithm， WOA）［13-15］、北方蒼鷹算法（northern goshawk optimizer， NGO）［16］等。

目前對SO算法的改進研究不多，例如Hu等［17］提出了一種引入雙向搜索、進化種群動力學和精英反向策略的SO算法，取得了良好的效果。Khurma等［18］對比了兩種基于SO算法的特征選擇算法，第一種是在S形變換函數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)建的二進制蛇優(yōu)化（binary SO， BSO）算法；第二種是引入了三種進化交叉算子（即一點交叉、兩點交叉和均勻交叉），并通過切換概率進行控制的BSO算法（BSO-CV），實驗表明BSO-CV具有更高的優(yōu)越性。

本文針對SO算法存在前期收斂速度較慢和易陷入局部最優(yōu)等問題，提出一種改進的SO算法（improved snake optimizer， ISO）。首先引入反向?qū)W習機制提高種群質(zhì)量，擴大搜索范圍，從而提升算法的遍歷性；然后融合差分進化策略中的優(yōu)勝劣汰規(guī)則，降低算法易陷入局部最優(yōu)的風險。通過10個基準測試函數(shù)，并與其他群智能算法比較，驗證了ISO算法具有更好的尋優(yōu)能力。將其應用于支持向量機（support vector machine，SVM）參數(shù)優(yōu)化選取中，進一步驗證了ISO算法的有效性。

1 蛇優(yōu)化算法

蛇優(yōu)化算法的靈感來源于蛇的覓食與繁殖行為，其搜索過程可分為勘探和開發(fā)兩個階段。

勘探階段描述了環(huán)境因素，即溫度和食物，且在該階段不會存在蛇只在它周圍的環(huán)境中尋找食物這種情況，保證算法能夠遍歷盡量大的搜索空間。開發(fā)階段包括戰(zhàn)斗模式和繁殖模式，這兩個模式用來提高算法的搜索效率。在戰(zhàn)斗模式中，每個雄蛇之間會戰(zhàn)斗得到最好的雌蛇，每個雌蛇會選出最好的雄蛇。在繁殖模式中，每對蛇繁殖行為的發(fā)生取決于食物的數(shù)量和溫度。如果繁殖行為發(fā)生，雄蛇與雌蛇就會更新至當前循環(huán)的最差位置，進行下一輪的迭代與更新。

下面用數(shù)學模型表示SO算法的基本過程。

1） 種群初始化。

Ui=Umin+r×（Umax-Umin），（1）

其中：Ui為第i個蛇的位置；r是［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)；Umax和Umin分別是求解問題的上界和下界。

2） 將種群分為雌性和雄性兩個組。假設(shè)種群數(shù)量為N，分為雄蛇組和雌蛇組。

Nm≈N/2，（2）

Nf=N-Nm，（3）

其中：Nm為雄蛇組的數(shù)量；Nf為雌蛇組的數(shù)量。

計算兩組的適應度值并找出各組中最好的個體，得到當前雄蛇組最好的個體Ubest，m、雌蛇組最好的個體Ubest，f和全局最佳位置Ufood，并定義溫度Temp和食物數(shù)量Q。

Temp=exp（（-t）/T），（4）

其中：t為當前的迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

Q=c1×exp（（t-T）/T），（5）

這里c1為一個常數(shù)，取0.5。

3） 勘探階段。若Q<Threshold（閾值Threshold=0.25），蛇通過選擇任何隨機位置來搜索食物，并更新它們的位置。用如下式子模擬勘探階段，

Ui，m（t+1）=Urand，m（t）±c2×Am×（（Umax-Umin）×rand+Umin），（6）

其中：Ui，m為雄蛇位置；Urand，m為隨機選擇的雄蛇位置；rand是［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)；

這里c2為一個常數(shù)，取0.05;

Am為雄蛇尋找食物的能力，計算公式為

Am=exp（（-frand，m）/fi，m），（7）

其中：frand，m為隨機選擇的雄性位置Urand，m的適應度值；fi，m為雄性位置Ui，m的適應度值。

若雄蛇位置能夠確定，則雌蛇位置也可以確定，其表達式為

Ui，f（t+1）=Urand.f（t）±c2×Af×

（（Umax-Umin）×rand+Umin），（8）

其中：Ui，f為雌蛇位置；Urand，f為隨機選擇的雌蛇位置；rand是［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)；Af為雌蛇尋找食物的能力，其計算公式為

Af=exp（（-frand，f）/fi，f）（9）

其中：frand，f為隨機選擇的雌蛇位置Urand，f的適應度值；fi，f為雌蛇位置Ui，f的適應度值。

在式（6）和（8）中都出現(xiàn)了標志方向運算符±，其目的是幫助蛇個體更新位置時，在給定的搜索空間內(nèi)能探索所有可能的方向，保證算法有一定的遍歷性。

4） 開發(fā)階段。在Q>Threshold的條件下，若Temp>Threshold2（閾值Threshold2=0.6），此時溫度處于高溫狀態(tài)，蛇只會尋找食物，位置更新公式為

Ui.j（t+1）=Ufood±c3×Temp×rand×

（Ufood-Ui，j（t）），（10）

其中：Ui，j為蛇個體（雄蛇或雌蛇）的位置；Ufood為當前迭代的全局最佳位置；這里c3為一個常數(shù)，取2。

在Q>Threshold的條件下，若Temp<Threshold2，此時溫度處于低溫狀態(tài)，蛇將處于戰(zhàn)斗模式或繁殖模式。

① 戰(zhàn)斗模式。

Ui，m（t+1）=Ui.m（t）+c3×Fm×rand×

（Q×Ubest，f-Ui，m（t）），（11）

其中：Ui，m為第i個雄蛇的位置；Ubest，f為雌蛇組中的最佳位置；Fm為雄蛇戰(zhàn)斗能力。

Ui，f（t+1）=Ui.f（t）+c3×Ff×rand×

（Q×Ubest，m-Ui，f（t）），（12）

其中：Ui，f為第i個雌蛇的位置；Ubest，m為雄蛇組中的最佳位置；Ff為雌蛇戰(zhàn)斗能力。Fm和Ff的計算公式為

Fm=exp（（-fbest，f）/fi，m），（13）

Ff=exp（（-fbest，m）/fi，f），（14）

其中：fbest，f為雌蛇組中最佳位置Ubest，f的適應度值；fbest，m為雄蛇組中最佳位置Ubest，m的適應度值；fi，m，fi，f分別為雄蛇組和雌蛇組中當前個體的適應度值。

② 繁殖模式。

Ui，m（t+1）=Ui.m（t）+c3×Mm×rand×

（Q×Ui，f（t）-Ui，m（t）），（15）

Ui，f（t+1）=Ui.f（t）+c3×Mf×rand×

（Q×Ui，m（t）-Ui，f（t）），（16）

其中：Ui，m為第i個雄蛇的位置；Ui，f為第i個雌蛇的位置；Mm和Mf分別為雄蛇和雌蛇的繁殖能力，所用公式為

Mm=exp（（-fi，f）/fi，m），（17）

Mf=exp（（-fi，m）/fi，f），（18）

其中：fi，m為第i個雄蛇位置的適應度值；fi，f為第i個雌蛇位置的適應度值。

如果繁殖成功，選擇最差的雄蛇和雌蛇，并替換它們。

Uworst，m=Umin+rand×（Umax-Umin），（19）

Uworst，f=Umin+rand×（Umax-Umin），（20）

其中：Uworst，m為雄蛇組中的最差位置；Uworst，f為雌蛇組中的最差位置。

2 改進的蛇優(yōu)化算法

本節(jié)主要介紹反向?qū)W習機制和差分進化策略，并將這兩個概念引入蛇優(yōu)化算法中。

2.1 反向?qū)W習機制

在許多情況下，問題的求解過程一般是從零或者一個隨機值開始向著最優(yōu)解靠近。例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、群智能算法的種群參數(shù)、支持向量機的核參數(shù)等等。若一開始隨機值在最優(yōu)解附近，則問題可快速解決。然而也存在最壞的情況，即隨機值出現(xiàn)在離最優(yōu)解相反的地方，那么求解過程就會花費大量的時間。在沒有先驗知識的基礎(chǔ)上，不可能初始就得到較好的隨機值。且從邏輯上來說，問題的求解可以從各個方向進行搜索，如果引入最優(yōu)解的反向解一起作為問題的可行解，也就擴大了搜索空間，則尋優(yōu)效率也會隨之更高。這就是反向?qū)W習［19］的核心理論。將反向?qū)W習機制應用于ISO算法，可幫助提升初始種群的質(zhì)量和多樣性，保證算法可以在搜索空間更全面地尋優(yōu)，增加找到全局最優(yōu)值的幾率。個體Ui的反向解RUi用數(shù)學模型表示為

RUi=k×（Umax+Umin）-Ui，（21）

其中：k∈（1，dim），dim為維度值。

2.2 差分進化策略

差分進化算法是在遺傳算法基礎(chǔ)上提出的群智能算法，兩者相同之處是都通過隨機生成初始化種群，以種群中每個個體的適應度值為選擇標準，且迭代過程都包括變異、交叉和選擇三個步驟。不同之處在于遺傳算法是直接根據(jù)適應度值來選擇是否與父代雜交生成新個體，但新個體的適應度值不能保證會比原個體的適應度值好。而差分進化算法是選擇兩個不同的個體相減產(chǎn)生差分個體，將差分個體賦予權(quán)值后與第三個個體向量相加，產(chǎn)生變異個體。若變異個體的適應度值優(yōu)于父代個體的適應度值，則選用變異個體進入下一輪迭代，否則保留父代個體。通過不斷進化，保留優(yōu)勝的個體，引導搜索過程向最優(yōu)解逼近。顯然差分進化算法的逼近效果比遺傳算法更加顯著。

由于SO算法擁有三種遍歷方式，與大部分群智能算d5d96029c0e290bee3981bad960c3d40法相比，能尋到更優(yōu)的適應度值，但這也限制了算法的收斂速度。同時，SO算法在尋優(yōu)后期，容易趨近最優(yōu)值附近，導致算法陷入局部最優(yōu)。為解決此問題，引入了差分進化策略：首先將全部個體的順序隨機排列，并選定兩個變異個體Ua和Ub供變異操作產(chǎn)生一個中間體；然后將當前最優(yōu)個體與中間體進行交叉操作得到一個新個體；最后將新個體與當前個體進行比較，選擇兩者中的較優(yōu)個體。

新個體用數(shù)學模型表示為

NUi=Ufood+beta×（Ua-Ub），（22）

其中：Ufood為當前全局最優(yōu)位置；beta為縮放因子，

beta=betamax－t×（betamax－betamin）/T，（23）

其中：betamax為縮放因子上界，本文設(shè)置為0.8；betamin為縮放因子下界，設(shè)置為0.2。

2.3 算法流程

改進的蛇優(yōu)化算法流程如算法1所示。

算法1 改進的蛇優(yōu)化算法（ISO）

輸入： 種群數(shù)量N、當前迭代次數(shù)t、最大迭代次數(shù)T、問題上界UB及下界LB、維度dim。

輸出： 最優(yōu)解。

Step1 初始化種群，得到初始解x。

Step2 將初始解x分為雄蛇組和雌蛇組。

Step3 計算溫度Temp和食物數(shù)量Q。

IF （Q<0.25） {由公式（6）、（8）更新雄蛇和雌蛇的位置}。

ELSE

IF （Temp>0.6） {由公式（10）更新雄蛇和雌蛇的位置}。

ELSE

IF （rand>0.6） {由公式（11）、（12）更新雄蛇和雌蛇的位置}。

ELSE {由公式（15）、（16）更新雄蛇和雌蛇的位置，并由公式（19）、（20）更新種群中最差的雄蛇與雌蛇位置}。

END IF

END IF

END IF

Step4 分別在雄蛇組與雌蛇組中，根據(jù)差分進化策略計算全新解NUi。

Step5 根據(jù)反向?qū)W習機制計算全新解的反向解RUi。

Step6 分別在雄蛇組與雌蛇組中依次比較NUi與RUi，兩者間保留較優(yōu)解。

Step7 比較雄蛇組與雌蛇組中的最優(yōu)解，得到唯一最優(yōu)解。

Step8 判斷算法是否達到終止條件（t≤T）。若是，終止算法，輸出最優(yōu)解;否則轉(zhuǎn)Step3。

3 仿真實驗

為驗證ISO算法是否有效，本文將ISO與SO［1］、DE［4-5］、PSO［9-10］、GWO［11-12］、WOA［13-15］、NGO［16］七個算法進行基準測試函數(shù)比較實驗和SVM分類效果對比實驗。

3.1 基準測試函數(shù)比較實驗

本實驗選取10個基準測試函數(shù)，所用的群智能算法種群數(shù)量設(shè)定為30，最大迭代次數(shù)為200，每個基準測試函數(shù)單獨運行30次。

表1為基準測試函數(shù)的基本信息，測試函數(shù)F1～F4為單峰函數(shù)，函數(shù)F5～F10為多峰函數(shù)。圖1為 ISO算法與各算法的尋優(yōu)收斂曲線，可對比t種算法之間的收斂速度和優(yōu)化結(jié)果。

分析圖1可知，ISO算法不論是在單峰函數(shù)還是在多峰函數(shù)中，都能在找到最優(yōu)值的情況下，迭代次數(shù)較SO算法更少，說明其收斂速度更快。且SO算法存在易陷入局部最優(yōu)問題，而ISO算法能跳出局部最優(yōu)值。與其他群智能算法相比，雖然ISO算法在部分函數(shù)的收斂速度上存在劣勢，但它能更深地搜索空間，保證尋優(yōu)精度更高。因此，在相同的迭代次數(shù)下，ISO算法的求解精度略高于SO算法和其他群智能算法。

3.2 SVM參數(shù)優(yōu)化對比實驗

本實驗選取UCI標準數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)集，包括Iris、Parkinsons、Fire、Heart和Ionosphere共五個數(shù)據(jù)集。各數(shù)據(jù)集經(jīng)過處理后信息如表2所示。

以Iris數(shù)據(jù)集為例，分別從三類樣本Iris setosa、Iris versicolour和Iris virginica中抽取50%的數(shù)據(jù)作為訓練集，剩余的數(shù)據(jù)作為測試集。接下來將訓練集和測試集的數(shù)據(jù)歸一化到［0，1］區(qū)間，以方便SVM模型訓練。然后通過七種群智能算法各自選擇出最佳的SVM參數(shù)組合（懲罰參數(shù)C和高斯核的帶寬σ），再利用七組最佳參數(shù)訓練SVM模型并進行分類實驗，以測試集分類準確率作為評判標準并分析實驗結(jié)果。為減小實驗隨機誤差，共進行10輪測試并取平均值，結(jié)果如表3所示。

分析表3中數(shù)據(jù)可得（表中黑體數(shù)據(jù)為較優(yōu)結(jié)果），基于ISO算法的SVM分類準確率在五個數(shù)據(jù)集中都高于SO算法。相較于其他算法，ISO算法在Iris數(shù)據(jù)集上的分類準確率與PSO算法持平，其余四個數(shù)據(jù)集都能達到最高的準確率?？梢?，ISO算法的改進是有效且優(yōu)于SO算法的，應用在SVM參數(shù)優(yōu)化上有明顯提升。

4 結(jié)束語

本文針對SO算法存在的前期收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)問題，提出一種基于反向?qū)W習機制和差分進化策略的ISO算法。實驗結(jié)果表明，ISO算法具有更高的尋優(yōu)性能和更快的收斂速度，運用在SVM參數(shù)優(yōu)化上是可行且有效的。

雖然ISO算法用于優(yōu)化SVM參數(shù)取得了一定的成果，讓模型能夠獲得較高的預測和分類精度，但還是存在一定的局限性。主要問題有：在1～2個測試函數(shù)中ISO算法尋優(yōu)結(jié)果不如SO算法；ISO算法能在一定條件下避免陷入局部最優(yōu)，但是依然存在陷入局部最優(yōu)的可能性；與其他群智能算法相比，ISO算法在單峰函數(shù)上優(yōu)化效果明顯，而部分多峰函數(shù)的效果不太明顯。后續(xù)將根據(jù)這些問題提出相應的改進方法，并應用于其他領(lǐng)域的實際問題。

參考文獻：

［1］ HASHIM F A， HUSSIEN A G. Snake optimizer： a novel meta-heuristic optimization algorithm［J］. Knowledge-based systems， 2022， 242： 108320.

［2］ CHEN R， ZHANG Q W， PENG R T， et al. Hybrid identification method of material parameters based on genetic algorithm and improved homotopy algorithm［J］. Materials today communications， 2022， 33： 104380.

［3］ OZCALICI M， BUMIN M T. Optimizing filter rule parameters with genetic algorithm and stock selection with artificial neural networks for an improved trading： the case of Borsa Istanbul［J］. Expert systems with applications， 2022， 208： 118120.

［4］ SONG Y J， ZHAO G Y， ZHANG B， et al. An enhanced distributed differential evolution algorithm for portfolio optimization problems［J］. Engineering applications of artificial intelligence， 2023， 121： 106004.

［5］ OPARA K R， ARABAS J. Differential Evolution： a survey of theoretical analyses［J］. Swarm and evolutionary computation， 2019， 44： 546-558.

［6］ 吳宇翔， 王曉峰， 于卓， 等. 一種求解Max-SAT問題的快速模擬退火算法［J］. 鄭州大學學報（理學版）， 2023， 55（4）： 46-53.

WU Y X， WANG X F， YU Z， et al. A fast simulated annealing algorithm for solving max-SAT problem［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2023， 55（4）： 46-53.

［7］ 劉擁民， 王靖楓， 黃浩， 等. 模擬人工蜂群的高維數(shù)據(jù)特征選擇算法研究［J］. 鄭州大學學報（理學版）， 2023， 55（3）： 57-64.

LIU Y M， WANG J F， HUANG H， et al. Research on high-dimensional data feature selection algorithm simulating artificial bee colony［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2023， 55（3）： 57-64.

［8］ 封碩， 劉琨. 融合差分進化思想的自適應人工蜂群算法［J］. 鄭州大學學報（理學版）， 2021， 53（3）： 72-78.

FENG S， LIU K. Adaptive artificial bee colony algorithm based on differential evolution［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2021， 53（3）： 72-78.

［9］ ABBASZADEH M， SOLTANI-MOHAMMADI S， AHMED A N. Optimization of support vector machine parameters in modeling of Iju deposit mineralization and alteration zones using particle swarm optimization algorithm and grid search method［J］. Computers & geosciences， 2022， 165： 105140.

［10］CAI B， ZHU X P， QIN Y X. Parameters optimization of hybrid strategy recommendation based on particle swarm algorithm［J］. Expert systems with applications， 2021， 168： 114388.

［11］WANG E L， XIA J Y， LI J， et al. Parameters exploration of SOFC for dynamic simulation using adaptive chaotic grey wolf optimization algorithm［J］. Energy， 2022， 261： 125146.

［12］LI S， XU K， XUE G Z， et al. Prediction of coal spontaneous combustion temperature based on improved grey wolf optimizer algorithm and support vector regression［J］. Fuel， 2022， 324： 124670.

［13］李天翼， 陳紅梅. 一種用于解決特征選擇問題的新型混合演化算法［J］. 鄭州大學學報（理學版）， 2021， 53（2）： 41-49.

LI T Y， CHEN H M. A new hybrid evolutionary algorithm for solving feature selection problem［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science ead9FV5FOl/qmG3widNhzQ59F/rS+LUilq3UjNtyzaOg=dition）， 2021， 53（2）： 41-49.

［14］CHAKRABORTY S， KUMAR SAHA A， SHARMA S， et al. A novel enhanced whale optimization algorithm for global optimization［J］. Computers & industrial engineering， 2021， 153： 107086.

［15］ELAZIZ M A， MIRJALILI S. A hyper-heuristic for improving the initial population of whale optimization algorithm［J］. Knowledge-based systems， 2019， 172： 42-63.

［16］DEHGHANI M， HUBALOVSKY S， TROJOVSKY P. Northern goshawk optimization： a new swarm-based algorithm for solving optimization problems［J］. IEEE access， 2021， 9： 162059-162080.

［17］HU G， YANG R， ABBAS M， et al. BEESO： multi-strategy boosted snake-inspired optimizer for engineering applications［J］. Journal of bionic engineering， 2023， 20（4）： 1791-1827.

［18］ABU KHURMA R， ALBASHISH D， BRAIK M， et al. An augmented Snake Optimizer for diseases and COVID-19 diagnosis［J］. Biomedical signal processing and control， 2023， 84： 104718.

［19］TIZHOOSH H R. Opposition-based learning： a new scheme for machine intelligence［C］∥International Conference on Computational Intelligence for Modelling， Control and Automation and International Conference on Intelligent Agents， Web Technologies and Internet Commerce. Piscataway： IEEE Press， 2006： 695-701.