非經(jīng)典阻尼體系的求解方法綜述

摘要：在結構動力學方程中，阻尼被視為核心參數(shù)。經(jīng)典阻尼假定適用于阻尼較小、質量和剛度分布比較均勻的建筑物。然而，實際工程結構的動力特性分布不均勻，如復合材料、混合結構、減隔振結構等。在分析該類結構，經(jīng)典阻尼結構假定給結構反應分析帶來顯著的誤差。為解決這一問題，學者們采用了非經(jīng)典阻尼假定。為獲得非經(jīng)典阻尼假定下的結構動力響應，對結構動力分析方法進行論述，總結其特點和適用范圍。

關鍵詞：非經(jīng)典阻尼 復模態(tài)法 直接積分法 實模態(tài)法

中圖分類號：O322

A Review of Methods for Solving the Non-Classical Damping System

BAI Yibin

School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology， Harbin，Heilongjiang Province ，150006 China

Abstract：Damping is considered as a core parameter in structural dynamic equations. The classical damping assumption is acceptable for buildings with small damping and therelatively uniform distribution of mass and stiffness. However，the distribution of the dynamic characteristics of actual engineering structures is uneven， such as composite materials， hybrid structures and vibrationreduction and isolation structures.In the analysis of such structures， the assumption of classical dampingstructures brings significant errors to structural response analysis. In order to solve this issue， scholars have adopted thenon-classical damping assumption. In order to obtain the structural dynamic response under the non-classical damping assumption， this paper discusses the structural dynamic analysis method， and summarizes its characteristics and scope of applicable.

KeyWords： Non-classical damping; Complex modal method; Immediate integration; Real modal method

結構的動力響應是阻尼的函數(shù)。在結構動力分析過程中，需用合理的方法來表達阻尼。經(jīng)典阻尼假定阻尼力和變形速度成線性關系。經(jīng)典阻尼假定對振動是解耦的，能夠表達頻率、共振等物理現(xiàn)象，而且能夠通過結構體系質量和剛度構造出具體的阻尼系數(shù)。實際表明，經(jīng)典阻尼假定適用于阻尼較小、質量和剛度分布比較均勻的建筑物。然而，當上述動力系統(tǒng)的特性分布不均Jn/ztl/PSZoD6XBEhaAzHu/97NnyGfZoQFHZg12IH2E=勻時，如土-結構、流體-結構、主從結構、設置耗能裝置的減震控制體系及由性質不同的材料組成的組合結構，經(jīng)典阻尼假定會導致系統(tǒng)動力反應分析誤差。隨著現(xiàn)代抗震理論的發(fā)展和研究問題的深入，就必然會面對非經(jīng)典阻尼問題，從而尋求其準確的表達方法成為抗震領域的重要問題。

1 阻尼理論

阻尼是指由于外界作用和（或）系統(tǒng)本身固有的原因引起的振幅隨時間逐漸減小的特性[1-2]。阻尼是結構動力方程的基本變量，表征了振動過程中能量耗散。導致結構振動衰減的多種因素包括結構材料的內部摩擦、連接部位的干摩擦、氣動阻尼以及地基與土壤之間的摩擦等。根據(jù)阻尼產(chǎn)生的物理機制，這些因素可以被分類為材料內部阻尼、結構阻尼和流體阻尼。在實際工程應用中，通常采用動力分析軟件對不同類型的阻尼比進行計算，以得到最優(yōu)方案，從而為工程設計提供理論依據(jù)。在動力系統(tǒng)方程里，阻尼模型通常涵蓋了黏性阻尼、遲滯阻尼、結構阻尼、結構庫倫阻尼以及流體阻尼這幾種類型。

2 經(jīng)典阻尼和非經(jīng)典阻尼的區(qū)別

非經(jīng)典阻尼與經(jīng)典阻尼的區(qū)別在于質量、剛度和阻尼矩陣是否滿足矩MTC與MTK 可交換[3]。若滿足，則 φTCφ為對角陣，則運動方程為一組獨立的微分方程組，代表經(jīng)典阻尼體系；若不滿足， φTCφ為非對角矩陣，運動方程是關于φTCφ耦合的方程組，代表非經(jīng)典阻尼體系。

經(jīng)典阻尼的假定可使運動方程解耦，其動力響應可以采用模態(tài)疊加法，適用于阻尼較小、質量和剛度分布較均勻結構。常見的經(jīng)典阻尼模型有瑞利阻尼、柯西阻尼、修正的瑞利阻尼等。在非傳統(tǒng)阻尼系統(tǒng)里，該系統(tǒng)的無阻尼真實模態(tài)矩陣并不是正交的，模態(tài)之間存在相互的耦合作用，其振動行為表現(xiàn)為復雜的模態(tài)，具體為：（1）各點位間存在相位差；（2）隨著時間的推移，各個點位之間的移動比率會發(fā)生變化。對于土-結構、流體-結構、主從結構、設置耗能裝置的減震控制體系及由性質不同的材料組成的結構，經(jīng)典阻尼假定導致系統(tǒng)動力反應分析誤差，需要采用非經(jīng)典阻尼體系。

3 非經(jīng)典阻尼體系的解法綜述

非經(jīng)典阻尼體系動力分析方法的主要方法包括復模態(tài)方法、直接積分法和實模態(tài)近似法，其中實模態(tài)近似法又可細分為近似解耦方法、矩陣攝動法、擬力實模態(tài)疊加法Laplace變換法、實振型分解算法等。

3.1 復模態(tài)法

復模態(tài)分析法[4-6]利用狀態(tài)空間理論，將非經(jīng)典阻尼體系動力方程寫成以下1階2N個聯(lián)立微分方程式，將其轉化為狀態(tài)空間中的運動方程，根據(jù)求解得到的N對復共軛特征值，得到解耦的運動方程，進而得到穩(wěn)態(tài)解，從而解決了這類體系不能解耦的問題。

復模態(tài)分解法具有明確的概念和實數(shù)形態(tài)，與目前普遍采用的基于無阻尼振型展開的方法有相似之處，適用于任何具有阻尼線的彈性系統(tǒng)。本文在介紹其基本思想和算法后，重點討論了如何確定復模態(tài)參數(shù)與求解復模態(tài)系數(shù)矩陣等有關問題，并通過算例對該方法進行驗證。相較于實模態(tài)方法，復模態(tài)特征問題：（1）具有2N×2N的階數(shù)，這導致其計算量相對于實模態(tài)方法增加了一倍；（2） 復模態(tài)振型的物理含義尚不清晰，主要用于理論探討，而在實際的分析和計算中應用較少。

3.2 直接積分法

當結構進入非線性范圍或具有非典型阻尼特征時，實模態(tài)分析與復模態(tài)分析將不再適用，國內外學者提出了直接積分法。直接積分法也稱動力時程分析。在時程分析中，時間被分成一系列小的步長 ，第 時間間隔的反應已經(jīng)確定，第 時間間隔的體系反應將滿足運動方程。其數(shù)值積分的精度依賴于插值函數(shù)和積分方法，其中無條件穩(wěn)定積分格均采用瑞利阻尼的假定。對于非經(jīng)典阻尼體系是否成立，并未得到證明。另外對于大型結構，直接積分法內存較多，計算時間長。針對上述缺陷，國內學者汪夢甫等人[7]、王書霞等人[8]研究給出了解析與高精度積分方法等解決方案。

實際結構的動力反應，如地震作用下的結構反應，一般以初始速度和位移為0。采用直接積分法求解得到結構時程反應，能用于校驗規(guī)范反應譜的計算結果，可以真實地反映建筑物的地震響應，從而能更精確找到結構的薄弱部位。

3.3 實模態(tài)近似法

3.3.1 近似解耦方法

經(jīng)典阻尼體系普遍采用的模態(tài)分解法具有計算簡單、容易實現(xiàn)、物理意義明確等優(yōu)點，故科研人員研究提出了一種基于實模態(tài)對非經(jīng)典阻尼體系進行地震分析的方法。近似解耦方法通過對耦合的模態(tài)阻尼矩陣進行近似，例如：忽略阻尼矩陣中的非對角元素，從而使耦合方程近似解耦求解。近似處理不可避免地會帶來誤差。使用能量法來確定等效阻尼比實際上是一種將非經(jīng)典阻尼簡化為經(jīng)典阻尼的另一種近似手段，該方法是基于總能量相等的原則，將非經(jīng)典阻尼轉換為經(jīng)典阻尼。本文給出了用此法計算結構地震響應和動力可靠度分析結果的算例?！督ㄖ拐鹪O計規(guī)范》（GB/T50011—2010）已經(jīng)將這種方法納入其內部規(guī)范，并明確指出，在消能部件布局相對均勻且阻尼比不超過0.20的情況下，強行解耦與精確解之間的誤差大多數(shù)情況下可以控制在5%以內。

3.3.2 矩陣攝動法

為了解決復模態(tài)法在計算內存方面存在的過大問題，郭永剛等人[9]推薦使用矩陣攝動法來解決非經(jīng)典阻尼結構體系的問題。本文對該方法進行了改進，提出一種基于特征值靈敏度分析的快速計算方法?；跀z動理論，對動力方程中的非傳統(tǒng)阻尼矩陣進行了研究C以經(jīng)典阻尼矩陣CC和另一矩陣△C表示為C=CC+ε△C，ε=0時轉化為經(jīng)典阻尼體系。當體系非經(jīng)典阻尼較小時，攝動分析結果接近于精確解且計算速度比復模態(tài)法快，但隨著△C提 高，攝動分析迭代次數(shù)相應增加，可能會得到不收斂的分析結果。

3.3.3 擬力實模態(tài)疊加法

動力方程中的阻尼會耗散能量。參照該思想，擬力實模態(tài)疊加法[10]把耦合的模態(tài)阻尼矩陣分成經(jīng)典和非經(jīng)典。經(jīng)典阻尼耗散能量，非經(jīng)典阻尼轉換能量，將后者移到方程右端，再迭代求解方程。由于右側存在未確定的項，因此有必要進行迭代式的計算。在每一個時間步驟中，都需要對阻尼滿陣和速度矢量的乘積進行計算，這種方法具有出色的解決準確性，具有一定的實用性。

3.3.4 Laplace變換法

非傳統(tǒng)的阻尼結構是一個復雜的耦合運動方程，其方程的解耦過程相當復雜。本文提出一種基于實數(shù)編碼遺傳算法求解耦聯(lián)系統(tǒng)動力學參數(shù)和位移響應的數(shù)值算法。通過采用Laplace變換來簡化耦合的動態(tài)方程，并與實振型分解技術結合使用，我們可以對隔震結構進行動態(tài)響應的分析。

3.3.5 實振型分解算法

隔震結構中，非經(jīng)典阻尼體系由隔震系統(tǒng)的集中阻尼和上部結構的分布阻尼組成。杜永峰等人[11]證明隔震結構的阻尼耦合度要遠遠小于非隔震結構，即隔震系統(tǒng)對結構體系動力響應有解耦效應，通過對動力方程實施Laplace變換后進行簡化，可先求得低階廣義坐標解答，再求得高階廣義坐標解答，進而得到動力響應的時域解答。實振型分解法與Laplace變換方法聯(lián)合應用比復振型算法占用計算資源少且計算精度更高。該方法缺點是僅適用于隔震結構。

3.3.6 矩陣變換轉換法

針對非經(jīng)典阻尼體系，為消除非經(jīng)典阻尼項給求解帶來的困難，徐濤等人[12]通過引入矩陣函數(shù)變換消除了原系統(tǒng)的阻尼條件項，將非經(jīng)典阻尼振動微分方程轉化為擬時不變經(jīng)典阻尼方程。矩陣變化轉換法，通過利用具有完全特征向量系的矩陣在約化Jordan標準形過程中可正交相似對角矩陣的特性，將變換矩陣取為Jordan標準形過程中的分解矩陣，從而求出所求系統(tǒng)的特征問題的全部特征值和相應的特征向量。同時，根據(jù)矩陣正交相似的性質分析得知不僅變換前后兩個矩陣的特征值完全相同并與時間變量無關，而且時間變化對此系統(tǒng)的影響可以只由變換后系統(tǒng)的特征向量來描述。

相比其他方法只給出特征向量的近似求解方法，矩陣變換轉換法給出的準確的時間解方法，而且能反映了原始系統(tǒng)明確的振動狀態(tài)的物理解釋。

4 結語

隨著結構減隔震技術在實際工程中的應用，非經(jīng)典阻尼問題愈加突出，研究非經(jīng)典阻尼體系動力分析方法具有重要的現(xiàn)實意義。直接積分法最精確，但該方法需首先構造阻尼矩陣，然后需要選用較多條時程曲線來表達某地區(qū)的地震作用?；诘刃д裥妥枘岜确椒ǖ膹娖冉怦罘椒?，分析程序上方便實現(xiàn)，對阻尼分布比較均勻的結構可將誤差控制在一定范圍內。復模態(tài)方法能夠把握非經(jīng)典阻尼體系動力分析的本質，分析精確，但也復雜，難以在實際工程中推廣。實數(shù)域內的近似分析方法雖然相對簡單，在求解精度和有效性上仍需要進一步研究。

本文所介紹的非經(jīng)典阻尼體系的分析方法，在阻尼的解耦方式上存在不同，可供實際工程中非經(jīng)典阻尼體系的動力分析研究參考。

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