明算理?知算法

【摘要】計(jì)算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要板塊，也是后續(xù)開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。算理和算法是數(shù)字計(jì)算的構(gòu)成部分。算理是計(jì)算問題的路徑，而算法則側(cè)重計(jì)算問題的手段。學(xué)生對算理和算法的掌握程度，決定了他們的計(jì)算效率。文章分析教師帶領(lǐng)學(xué)生參與算理和算法探究的過程。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；理解算理；優(yōu)化算法；計(jì)算效率

作者簡介：張海燕（1980—），女，江蘇省如皋市丁堰鎮(zhèn)丁堰小學(xué)。

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，既需要學(xué)生對算理有充分理解，又要求學(xué)生對算法融會(huì)貫通。一方面，在小學(xué)階段，學(xué)生需要理解運(yùn)算的各種規(guī)則，掌握加、減、乘、除等基本的運(yùn)算方法；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中會(huì)遇到各種困難，如對運(yùn)算規(guī)則理解不深、計(jì)算速度慢、計(jì)算錯(cuò)誤率高等。對此，教師應(yīng)充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，優(yōu)化設(shè)計(jì)教學(xué)策略，以“明算理、知算法”為出發(fā)點(diǎn)，將算理和算法兩項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合，指導(dǎo)學(xué)生理解算理、優(yōu)化算法［1］。

一、搭建探究平臺(tái)

算理是算法的支撐，它涉及算法的原理、方法和過程，為算法提供重要的理論依據(jù)，是算法存在和發(fā)展的基礎(chǔ)。教師需要梳理教學(xué)思路，讓學(xué)生充分感受由抽象算理到直觀算法的演變。教師可以為學(xué)生提供探究式學(xué)習(xí)平臺(tái)，創(chuàng)設(shè)生活化情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生參與算理的探索過程，讓學(xué)生從不同維度深入理解算理的內(nèi)涵、強(qiáng)化邏輯思維，從而初步培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)計(jì)算問題的能力。

以蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)加法和減法”的教學(xué)為例。本單元內(nèi)容的內(nèi)在算理邏輯是把相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)進(jìn)行相加、相減。學(xué)生需要掌握其中的計(jì)算法則，即加法“滿十進(jìn)一”、減法“退一當(dāng)十”。

筆者先以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用生活化事物搭建探究平臺(tái)的框架，提出問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。具體來說，筆者借助貨幣單位的換算引導(dǎo)學(xué)生展開探究。筆者在課前提問學(xué)生：“同學(xué)們，這里有1本練習(xí)冊和1支鋼筆，已知1本練習(xí)冊7.45元，1支鋼筆9.73元，這些加起來該付多少錢呢？”學(xué)生依據(jù)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算：元加元，7元加9元等于16元；角加角，4角加7角等于1元1角；分加分，5分加3分等于8分。16元、1元1角、8分加起來就是17元1角8分，也就是17.18，所以7.45+9.73＝17.18。學(xué)生在計(jì)算的過程中自主思考，初步內(nèi)化小數(shù)計(jì)算的算理邏輯：對齊計(jì)數(shù)單位。

接著，筆者正式帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)，理清計(jì)算的路徑和規(guī)律，并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)形成正確的算理邏輯和計(jì)算策略。具體來說，筆者利用知識(shí)遷移的方法，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)整數(shù)的豎式計(jì)算：“同學(xué)們，試著列一下15+14的豎式，想一想15+1.4的豎式該怎么列呢？”由此，有的學(xué)生提出問題：“兩位整數(shù)加減法的計(jì)算規(guī)律是相同位數(shù)相加，那么小數(shù)加減法的計(jì)算規(guī)律也是這樣的嗎？”有的學(xué)生提出問題：“小數(shù)中的相同位數(shù)指的是什么？”在學(xué)生充分思考這些問題后，筆者為學(xué)生講解：“用豎式計(jì)算小數(shù)加法和減法，要注意先把小數(shù)點(diǎn)對齊再算，小數(shù)加法和減法同樣適用兩、三位數(shù)的加法和減法計(jì)算中加法‘滿十進(jìn)一’、減法‘退一當(dāng)十’的計(jì)算規(guī)則?！?/p>

可見，計(jì)算教學(xué)是循序漸進(jìn)的。教師在教學(xué)過程中需要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主思考，幫助學(xué)生真正理解算理邏輯，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力和思維素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)。

二、直觀展示算法

算法是解決計(jì)算問題的步驟或方法。教師可以把算法教學(xué)分成板書展示、演算講解、驗(yàn)算講解三個(gè)步驟，使學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)、實(shí)際運(yùn)用、總結(jié)拓展的過程中充分掌握數(shù)學(xué)算法。學(xué)生學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問題分解為簡單的步驟，有利于加深對數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則的理解［2］。

以蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的教學(xué)為例。本單元要求學(xué)生掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式算法和驗(yàn)算方法。

首先，筆者通過板書的方式清晰地呈現(xiàn)計(jì)算思路。具體來說，筆者在黑板上板書48÷2的豎式形式，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)除法豎式zth3Its3HRgcue91sqhYug==計(jì)算的雛形。

其次，筆者引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考算法問題：“為什么2在商的十位上？”此時(shí)，學(xué)生無從下手。

再次，筆者進(jìn)行演算講解：“兩位數(shù)除以一位數(shù)需要按照計(jì)算單位逐位計(jì)算。被除數(shù)的最高位十位是4，4÷2=2。因此，在商的十位上寫2。被除數(shù)的個(gè)位是8，8÷2=4。因此，在商的個(gè)位上寫4。算式的結(jié)果就是24。”

最后，學(xué)生依托直觀的豎式計(jì)算講解，深入理解算法路徑，明確算法的執(zhí)行過程。

在此基礎(chǔ)上，筆者借助直觀的板書，教授學(xué)生該以何種計(jì)算形式來進(jìn)行驗(yàn)算。繼續(xù)以2√48 =24的豎式計(jì)算為例。筆者教授學(xué)生：“除法可以用乘法驗(yàn)算?！睂W(xué)生在筆者的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)，24×2＝48，這說明上述除法豎式的計(jì)算結(jié)果是正確的。

學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)兩位數(shù)除以一位數(shù)的驗(yàn)算后，便能夠舉一反三，嘗試對三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算，并發(fā)現(xiàn)不同數(shù)值除法豎式計(jì)算的兼容性算法規(guī)律，從而深化對算理的理解。

可見，直觀的教學(xué)形式能夠讓學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)形成更加清晰的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。在教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程，耐心解答學(xué)生的問題。

三、實(shí)際應(yīng)用算理

算理和算法兩者的割裂教學(xué)不僅無法讓學(xué)生發(fā)展計(jì)算思維，還會(huì)讓學(xué)生對算理和算法的理解浮于表面。如此，當(dāng)學(xué)生面對實(shí)際問題時(shí)，很難靈活地轉(zhuǎn)換思維解決問題。教師需要結(jié)合算理和算法的教學(xué)，讓學(xué)生在解決問題的過程中強(qiáng)化分析思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

以蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“解決問題的策略”的教學(xué)為例。本單元的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生理清數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過畫圖探索解決問題的步驟與方法。

首先，筆者借助教材中具體的問題情境引導(dǎo)學(xué)生分析算理和算法。具體來說，筆者引導(dǎo)學(xué)生閱讀以下例題，提煉問題的關(guān)鍵信息—郵票的枚數(shù)。

小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

其次，筆者出示線段圖，要求學(xué)生根據(jù)題意將線段圖補(bǔ)充完整。在補(bǔ)充線段圖的過程中，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，探索算法。

算法一：兩人郵票的總數(shù)減去12，就是小寧郵票枚數(shù)的2倍，可以先計(jì)算小寧有多少枚郵票。

算法二：兩人郵票的總數(shù)加上12，就是小春郵票枚數(shù)的2倍，可以先計(jì)算小春有多少枚郵票。

再次，學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)建立解決問題的數(shù)量模型，計(jì)算得出小寧有30枚郵票，小春有42枚郵票，并加以驗(yàn)證。

最后，筆者趁熱打鐵，設(shè)計(jì)具體的生活化問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)算理對問題進(jìn)行分析，從而讓學(xué)生在解決問題的過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)分析思維。

不同的問題有多種不同的算理思路，且不同算理思路的效率和適用性各不相同。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在解決問題的過程中，嘗試探究不同的計(jì)算方法，并比CHDtSoRfsK9ABpyoFi001Q==較針對同一問題的不同計(jì)算方法的運(yùn)算效率，從而運(yùn)用最合理、最簡便的算法來提高解題速度。

可見，算理可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，還可以幫助學(xué)生尋找解題的最佳方法。學(xué)生從不同維度深入理解算理，主動(dòng)優(yōu)化算法，可以提高分析問題的能力和解決問題的效率。

四、實(shí)時(shí)評估反饋

算理為算法的設(shè)計(jì)和分析提供了理論基礎(chǔ)，而高效的算法能夠在有限的步驟內(nèi)解決特定問題，二者相輔相成，共同為提高計(jì)算效率提供支撐。如果計(jì)算教學(xué)側(cè)重于機(jī)械記憶和重復(fù)練習(xí)，學(xué)生就難以透徹把握算理和算法。對此，教師需要通過實(shí)時(shí)評估和及時(shí)反饋，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己在計(jì)算過程中的思維誤區(qū)與不良習(xí)慣，幫助學(xué)生分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因與培養(yǎng)良好的計(jì)算習(xí)慣。

以蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘法”的教學(xué)為例。在本單元中，學(xué)生初步接觸分?jǐn)?shù)乘法的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，對于分?jǐn)?shù)乘法的算理和算法尚未形成充分的認(rèn)識(shí)，在進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算時(shí)錯(cuò)誤率較高。

首先，筆者設(shè)計(jì)以下難度適宜、有代表性的易錯(cuò)分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算題。

題一：××50= （ ）

題二：××= （ ）

學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂計(jì)算。有的學(xué)生在計(jì)算××50時(shí)，未把50進(jìn)行約分，導(dǎo)致最終的計(jì)算結(jié)果不是最簡真分?jǐn)?shù)的形式；有的學(xué)生在計(jì)算××?xí)r，誤將兩個(gè)11進(jìn)行約分，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤；還有的學(xué)生出現(xiàn)分子分母顛倒等常見的計(jì)算錯(cuò)誤。

其次，筆者對學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行總結(jié)歸納，并向?qū)W生反饋。筆者向?qū)W生講解：“分?jǐn)?shù)乘法的核心是將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相乘，得到新分?jǐn)?shù)的分子；接著將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相乘，得到新分?jǐn)?shù)的分母；再簡化新分?jǐn)?shù)，把分子和分母約分至最簡形式。分母不能和分母約分，只有分子和分母之間可以約分?！?/p>

再次，筆者分析不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并為其設(shè)計(jì)個(gè)性化指導(dǎo)方案。對于在計(jì)算過程中未將結(jié)果約分至最簡形式的學(xué)生，筆者認(rèn)為他們在算法上存在疏漏。此時(shí)，筆者立即給予反饋，直接指出他們的錯(cuò)誤，引導(dǎo)他們將××50的分子50與分母100進(jìn)行重新約分。對于算理理解不到位的學(xué)生，筆者幫助他們重新分析分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)在邏輯，引導(dǎo)他們再次嘗試計(jì)算。

最后，筆者以實(shí)時(shí)評估的反饋結(jié)果為基礎(chǔ)，判斷學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘法單元算理的理解是否深入、對算法的掌握是否熟練。學(xué)生在筆者的引導(dǎo)下，重新思考分?jǐn)?shù)的計(jì)算規(guī)則，及時(shí)修補(bǔ)知識(shí)缺漏，進(jìn)而提高計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法的效率。

可見，實(shí)時(shí)評估反饋是提高小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重要手段。教師需要注重實(shí)時(shí)評估反饋的應(yīng)用，為學(xué)生提供個(gè)性化的反饋信息和指導(dǎo)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，從而有針對性地提高計(jì)算的準(zhǔn)確性［3］。

結(jié)語

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，算理和算法相輔相成，缺一不可。教師要將幫助學(xué)生理解和掌握算理作為教學(xué)的基礎(chǔ)，將優(yōu)化算法作為教學(xué)的關(guān)鍵，設(shè)計(jì)指向性明確的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生將算理和算法相結(jié)合，助力學(xué)生從基礎(chǔ)計(jì)算練習(xí)順利過渡至復(fù)雜的算理應(yīng)用。在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師應(yīng)依據(jù)實(shí)際的課堂反饋，靈活地調(diào)整教學(xué)策略，運(yùn)用多樣的演示，加深學(xué)生對抽象算理的理解，進(jìn)而提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

［1］宋曉光.小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理和算法的有效融合：以蘇教版“小數(shù)加法和減法”為例［J］.名師在線，2022（35）：55-57.

［2］楊升群.小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)算理和算法融合之道［J］.新課程，2022（35）：99-101.

［3］吳厚天.從“算法”到“算理”的升華：以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)加法和減法”為例［J］.中國教師，2022（7）：66-68.