數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略研究

【摘要】數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，其符合學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著無可替代的作用。文章簡要闡述數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)容，并結(jié)合實(shí)例總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想中“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用策略

作者簡介：曹麗花（1983—），女，陜西省安康市第一小學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。王永春教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”［1］。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)最基本的兩個(gè)研究對象，它們是既對立又統(tǒng)一的，在本質(zhì)上有著緊密聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法［2］。

“數(shù)”主要是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，具有精確性?！靶巍敝饕侵笌缀螆D形和函數(shù)圖像，具有直觀性。數(shù)形結(jié)合可以使“數(shù)”形象化、視覺化，使“形”精確化、入微化，從而使“數(shù)”與“形”各自發(fā)揮優(yōu)勢，相互配合，使形象思維和抽象思維協(xié)同發(fā)揮作用。

數(shù)學(xué)家華羅庚曾寫過這樣一首詩：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離。”這首詩形象深刻地揭示了“數(shù)”與“形”之間對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，同時(shí)揭示了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)和價(jià)值。

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用具體體現(xiàn)為兩種方式，一種是“以形助數(shù)”，即借助形的幾何直觀，理解抽象的數(shù)量關(guān)系；另一種是“以數(shù)解形”，即借助數(shù)的精確性、可操作性來研究形的某些屬性，解決較為復(fù)雜的幾何問題。這兩種方式的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更為準(zhǔn)確、輕松、全面地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

（一）“以形助數(shù)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

1.明晰概念本質(zhì)

概念是數(shù)學(xué)大廈的基石，它不僅是知識(shí)的基礎(chǔ)，也是抽象思維的基礎(chǔ)和基本形式。概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，如果混淆概念，就會(huì)影響學(xué)生理解和掌握其數(shù)學(xué)知識(shí)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多概念是抽象的，部分描述概念的文字枯燥、乏味，甚至有些艱澀、拗口，這導(dǎo)致學(xué)生難以理解。教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，恰到好處地運(yùn)用“以形助數(shù)”，除了能幫助學(xué)生直觀形象、輕松準(zhǔn)確地理解概念，起到事半功倍的效果，還能為學(xué)生增添學(xué)習(xí)的樂趣。

數(shù)線、數(shù)軸在數(shù)的概念教學(xué)中起著重要的作用。數(shù)線和數(shù)軸是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，它們使數(shù)有順序、有方向、有規(guī)律地排列，并使每一個(gè)數(shù)與數(shù)線、數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)的關(guān)系，從而使抽象的數(shù)在看得見的數(shù)線、數(shù)軸上形象直觀地呈現(xiàn)，有助于學(xué)生理解數(shù)的順序、大小和排列規(guī)律。

例如，在一年級初學(xué)整數(shù)時(shí)，有很多學(xué)生分不清數(shù)的順序。到了后面學(xué)習(xí)100以內(nèi)的數(shù)、1000以內(nèi)的數(shù)、萬以內(nèi)的數(shù)，以及認(rèn)識(shí)正、負(fù)數(shù)時(shí)，也有很多學(xué)生弄混數(shù)的前后順序。數(shù)線、數(shù)軸能夠很好地解決這個(gè)問題。在初學(xué)整數(shù)時(shí)，教師可以引入數(shù)尺幫助學(xué)生形象地認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，并隨著學(xué)習(xí)的深入，再逐步引入數(shù)線、數(shù)軸。這樣，可以很好地促進(jìn)學(xué)生的后續(xù)

學(xué)習(xí)。

又如，分?jǐn)?shù)、小數(shù)的教學(xué)也可以借助數(shù)線、數(shù)軸來開展。教師可以在教學(xué)分?jǐn)?shù)、真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)等相關(guān)知識(shí)時(shí)，組織學(xué)生將圖形作為學(xué)具，開展分一分、折一折、畫一畫、涂一涂等操作活動(dòng)。在活動(dòng)中，學(xué)生可以親身體驗(yàn)，經(jīng)歷數(shù)與形結(jié)合的過程。

再如，在教學(xué)“量”的概念時(shí)，如果教師僅靠文字描述，很難明確一個(gè)計(jì)量單位到底是多長、多大。即使學(xué)生將文字描述記得滾瓜爛熟，也無法建立表象。教師可以通過具體的“形”，讓學(xué)生親眼看到物體的實(shí)際長短或大小，從而幫助學(xué)生建立清晰正確的表象。

2.探究算理算法

計(jì)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，離開了計(jì)算，數(shù)學(xué)活動(dòng)便成了無本之木。計(jì)算能力是學(xué)生必須形成的基本技能， 也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他相關(guān)學(xué)科的重要

基礎(chǔ)。

計(jì)算能力的形成不是單純依靠模仿、記憶和“題海戰(zhàn)術(shù)”。教師需要巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，用直觀、形象、有趣的“形”引導(dǎo)學(xué)生探究、理解枯燥的算理，從而讓學(xué)生在透徹理解算理的基礎(chǔ)上真正掌握算法。

例如，在教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)的加減法時(shí)，教師可以充分利用直觀圖，將分?jǐn)?shù)與圖形結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生在觀察和分析中理解“分?jǐn)?shù)單位不同，即將圓平均分成的份數(shù)不同時(shí)，無法直接相加減，只有分?jǐn)?shù)單位相同，即將圓平均分得的份數(shù)相同時(shí)，才能將兩部分的份數(shù)即分子直接相加減”。在這一過程中，教師通過數(shù)形結(jié)合將抽象思維過程視覺化、形象化，有助于學(xué)生明確通分的必要性，進(jìn)而理解異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算的算理和算法。

3.靈活解決問題

數(shù)學(xué)實(shí)際問題綜合性較強(qiáng)，部分學(xué)生遇到稍微復(fù)雜的實(shí)際問題，就不知從何入手。有學(xué)生因?yàn)榻鉀Q問題的能力較弱這一短板，影響整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，甚至對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣和信心。

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的一把利器。線段圖可以摘錄、梳理題目中的信息，將抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了、形象可視，有助于學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的突破口，從而形成解決問題的思路。

例如，植樹問題是一類比較抽象且易錯(cuò)的數(shù)學(xué)實(shí)際問題。如果學(xué)生只是死記硬背三種情況下棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系式，是難以靈活解決此類實(shí)際問題的。借助線段圖不僅能使此類實(shí)際問題變得簡單、直觀，還能給學(xué)生提供探究的突破口。結(jié)合線段圖，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)植樹問題中“兩端都栽”“只栽一端”“兩端不栽”三種情況下棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)歷了畫線段圖探究的過程，學(xué)生可以真正理解植樹問題的解決方法，建立植樹問題的模型，從而觸類旁通地解決爬樓梯、鋸木頭、敲鐘等沒有“樹”的植樹問題，取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

4.理解統(tǒng)計(jì)知識(shí)

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在日常生活、生產(chǎn)及科研方面有著廣泛且重要的作用。如果只是用文字、數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)問題，會(huì)顯得單調(diào)、枯燥、沒有說服力。統(tǒng)計(jì)圖能夠很好地將數(shù)與形結(jié)合起來，使統(tǒng)計(jì)結(jié)果更直觀、形象、生動(dòng)、具有說服力，同時(shí)更便于人們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，進(jìn)而進(jìn)行合理預(yù)測。

（二）“以數(shù)解形”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

“以數(shù)解形”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要應(yīng)用于“圖形與幾何”領(lǐng)域。

1.認(rèn)識(shí)幾何圖形

代數(shù)和幾何是數(shù)學(xué)的兩大分支，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)能夠?yàn)閷W(xué)生將來學(xué)習(xí)幾何奠定重要的基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)主要包括兩類基本幾何圖形，一類是平面圖形，包括線段、角、長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等；另一類是立體圖形，包括長方體、正方體、圓柱、圓錐、球

等［3］。在教學(xué)這些幾何圖形時(shí)，教師一方面要給學(xué)生提供觀察、分析、操作的模型素材，讓學(xué)生用眼看、用手摸，從而建立幾何圖形的表象；另一方面要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)去量化幾何圖形，再引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)幾何圖形的特征。這樣，通過調(diào)動(dòng)多種感官，學(xué)生能夠?qū)缀螆D形產(chǎn)生更全面、深刻的認(rèn)識(shí)。

例如，在教學(xué)線段的知識(shí)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生測量線段的長度，使學(xué)生初步了解“圖形的某些性質(zhì)可以用數(shù)來描述”。這樣，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)長方形、正方形時(shí)，可以通過測量、對折、比較、歸納發(fā)現(xiàn)它們角的特征和邊的特征；認(rèn)識(shí)三角形時(shí)，可以根據(jù)角的度數(shù)或邊的長度進(jìn)行描述，并利用數(shù)據(jù)說明三角形三邊之間的關(guān)系；認(rèn)識(shí)長方體、正方體時(shí)，可以通過實(shí)際操作發(fā)現(xiàn)它們面、棱、頂點(diǎn)的特征；認(rèn)識(shí)圓時(shí)，可以通過測量、比較、猜想、驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)圓的特征及半徑和直徑的關(guān)系……

學(xué)生通過測量獲得圖形的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，不僅可以體會(huì)到數(shù)與形之間微妙、緊密、不可分割的關(guān)系，還可以為后續(xù)靈活運(yùn)用“以數(shù)解形”的方法研究數(shù)學(xué)問題提供實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與思路。

2.研究圖形運(yùn)動(dòng)

小學(xué)數(shù)學(xué)主要研究三種圖形運(yùn)動(dòng)的方式，分別是軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)。這三種圖形運(yùn)動(dòng)的方式都需要使用數(shù)進(jìn)行定量描述。

例如，學(xué)生需要按要求數(shù)出相應(yīng)的格子，找出各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，才能正確地畫出平移后的圖形。如果沒有“數(shù)”的協(xié)助，學(xué)生是沒有辦法精確描述和研究圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的。

3.解決幾何問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多“形”的問題是要用“數(shù)”來解決的，如圖形的周長、面積、表面積、體積等計(jì)算公式，都是通過大量的測量、計(jì)算、猜想、推理、驗(yàn)證而總結(jié)出來的。

以長方體體積的計(jì)算公式推導(dǎo)為例。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用體積為1立方厘米的小正方體擺成長方體，然后進(jìn)行觀察、分析、計(jì)算，從而得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生研究小正方體的個(gè)數(shù)、行數(shù)、層數(shù)與長方體長、寬、高之間的關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出長方體體積的計(jì)算公式。

（三）加強(qiáng)指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力

要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，教師開展教學(xué)時(shí)所用的“形”必須是規(guī)范的、能正確反映數(shù)量關(guān)系的，否則就會(huì)適得其反，影響學(xué)生對圖形知識(shí)的分析和理解。

教師要注重學(xué)生作圖能力的指導(dǎo)與訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握作圖的基本方法，如不同數(shù)量關(guān)系的線段圖的畫法、平面幾何圖形和立體圖形的畫法、正比例圖像的畫法等，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)轉(zhuǎn)化成形的能力。教師正確的示范和引導(dǎo)，不僅可以幫助學(xué)生養(yǎng)成作圖的習(xí)慣，還可以讓學(xué)生根據(jù)不同的題目選擇合適的“形”進(jìn)行輔助。

結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用符合小學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，能夠很好地幫助學(xué)生發(fā)展抽象思維。教師有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益，還能對學(xué)生的思維習(xí)慣和品質(zhì)產(chǎn)生積極影響。教師應(yīng)該積極深入研究數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，切實(shí)提升小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

［1］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

［2］吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2014.

［3］劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的有效教學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.