借助GeoGebra軟件探究水中物體折射成像位置問題

王韻涵 侯汶君 馮潔 李紅梅

［摘 要］對于水中物體的折射成像，教師常結(jié)合小孩叉魚、池底變淺等例子進行講解，但對于水中物體折射成像的位置描述卻不夠科學準確。文章借助GeoGebra軟件對水中物體折射形成的虛像位置及其隨視角變化的情況進行模擬演示，通過虛擬仿真手段直觀、完整地展示水中物體折射成像問題的實質(zhì)，并在教學中呈現(xiàn)更嚴謹?shù)膱D示，幫助師生深度理解水中物體折射成像的原理。

［關鍵詞］水中物體；折射成像；GeoGebra軟件

［中圖分類號］??? G633.7??????? ［文獻標識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0040-04

一、 問題的由來

［題目］（2022年云南省初中學業(yè)水平考試物理第24題）小華偶然間豎直向下看到放在玻璃磚下面的字發(fā)生了錯位。

（1）他想光斜射時才發(fā)生偏折，才會出現(xiàn)“池底變淺”的現(xiàn)象。那么，光在垂直入射時，光線不再偏折，還會有“池底變淺”的現(xiàn)象嗎？上述過程，在科學探究中叫作??????????????? （選填“設計實驗”“提出問題”或“分析論證”）。

（2）①聯(lián)想到“平面鏡成像”找像位置的方法，于是他按如圖1甲所示將玻璃磚緊貼物體擺放在水平桌面上的一張白紙上，標記出物體的位置。按照圖1乙的方式沿水平方向觀察物體（觀察盒上的條形碼）。當看到物體經(jīng)玻璃磚成的像時，前后移動小卡片，使小卡片與像在同一個平面上，將小卡片此時的位置標記在白紙上，這樣就找到了放置一塊玻璃磚時????????? 的位置。

②隨后，他將玻璃磚離開物體向觀察者移動一小段距離后進行觀察，發(fā)現(xiàn)像的位置不變，說明玻璃磚與物體的距離??????????? 影響成像位置（選填“會”或“不會”）。

[俯視圖????????????? 一塊玻璃磚?????????? 兩塊玻璃磚??????????? 三塊玻璃磚][甲??????????????????????????? 乙????????????????????????? 丙????????????????????????? 丁][厚度][小卡片][小卡片][小卡片]

圖1

（3）為了觀察不同厚度玻璃的成像情況，他將第二塊相同玻璃磚緊貼在第一塊后面，如圖1丙所示，觀察并記錄像的位置；他再將第三塊相同玻璃磚緊貼在前兩塊后面，如圖1丁所示，觀察并記錄像的位置。記錄數(shù)據(jù)如圖2所示。

[物體的位置][一塊玻璃磚時像的位置][兩塊玻璃磚時像的位置][三塊玻璃磚時像的位置][2.13 cm][2.15 cm][2.35 cm]

圖2

①分析圖2的數(shù)據(jù)可知，用一塊玻璃磚觀察時，像與物體的距離是?????????? cm；

②三次實驗都說明了光在垂直入射時，像的位置會???????? ?????觀察者（選填“靠近”或“遠離”）。

（4）從圖2的實驗數(shù)據(jù)還可以得出：玻璃的厚度越厚，像與物的距離越?????????? 。

（5）從以上探究可知，從豎直方向看到的池底比它的實際位置???????????? （選填“淺”或“深”）。

分析：這一道探究題，基于真實情境設置問題，從設計實驗、進行實驗、收集證據(jù)、分析論證等方面對學生的科學探究能力進行考查。光的折射是生活中常見的現(xiàn)象，教師常結(jié)合小孩叉魚、池底變淺等例子來進行解釋，但在解釋這些現(xiàn)象背后的原理時往往只提到當光線斜射入其他介質(zhì)時折射角小于入射角，當光垂直入射時光線的傳播方向不變。在講解時也只是進行了“虛像在魚上方”“水看起來變淺”等的描述，而對于當視角變化時折射成像位置發(fā)生變化的情況以及光線垂直入射時折射成像的位置并不提及。

本題對于光線垂直水面入射時的成像位置提出疑問，而后用玻璃磚與小卡片進行定性探究，最后得出結(jié)論。按照題中的實驗設計進行探究，發(fā)現(xiàn)雖然能夠根據(jù)現(xiàn)象得出結(jié)論，但仍然無法清晰地體現(xiàn)變化規(guī)律以及成像特點。借助GeoGebra軟件強大的數(shù)據(jù)運算以及動態(tài)模擬功能，建立物理模型，通過動態(tài)、立體圖示，可以準確直觀地表征和解釋水中物體折射成像的位置問題，清晰體現(xiàn)其變化規(guī)律以及成像特點。

二、憑借主觀經(jīng)驗繪圖存在的缺陷

水中物體折射成像的光路圖如圖3所示。位于[P]點的物體發(fā)出兩條靠得很近的光線[PA1]和[PA2]，由于水的折射率[n1]大于空氣的折射率[n2]，折射光線[A1B1]和[A2B2]向遠離法線的一側(cè)偏折。精確的折射角度依據(jù)光的折射定律[n1sinθ1=n2sinθ2]來確定。此時，觀察者逆著折射光線看向水中，看到的物體位置應位于兩條折射光線[A1B1]和[A2B2]的反向延長線的交點[P′]處。

如圖3所示，當水中的物體發(fā)出的光斜射入人眼時，物體的真實位置在豎直方向上且在觀察者看到的像的位置下方，在水平方向上會比虛像更遠離觀察者［1］。但在實際作圖時，由于折射角的計算涉及反三角函數(shù)，往往不能即時得出精確的角度，于是教師在講解時常常通過估測，先畫出兩條折射光線，再標注折射角，最后反向延長使之相交，得出虛像的位置。教師由于沒有利用光的折射定律進行計算，直接憑借主觀經(jīng)驗畫出折射光線，因此常會出現(xiàn)光線偏折程度不當，甚至出現(xiàn)入射角大于臨界角的情況，與全反射規(guī)律相違背。這樣的作圖方式缺乏科學性與嚴謹性，于教師專業(yè)發(fā)展不利，同時也會影響學生實事求是、嚴謹認真的科學態(tài)度的培養(yǎng)。

另外，教師在黑板上即時繪圖并不能連貫地向?qū)W生演示隨著觀察者視角的變化虛像位置的變化情況。即使嚴格按照光的折射定律進行計算，其過程也較為煩瑣，耗費時間長且不夠直觀，學生難以發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律以及一些特殊情況下（如光線垂直入射時）的折射成像特點。

三、借助GeoGebra軟件直觀演示水中物體折射成像的位置變化

基于上述分析，借助GeoGebra軟件來準確直觀地演示水中物體折射成像的位置變化。

（一）基于單心光束的水中物體折射成像的位置演示

從水中物體發(fā)出的光束如果在水與空氣的分界面發(fā)生折射后仍是單心光束，就說明光線的方向雖然改變，但折射光束中的所有光線的反向延長線仍能匯聚于同一個點，這個點就是像點。因此，只需要考慮任意兩條折射光線，作出其反向延長線的交點，就能找到水中物體折射所成的虛像的位置。

如圖4所示建立[xOy]平面，光源[P]在[y]軸上，考慮從[P]發(fā)出的兩條光線[PA1]和[PA2]，利用GeoGebra軟件的“角度”工具直接測出入射角[α1]和[β1]，輸入光的折射定律公式，利用GeoGebra軟件的運算功能即可直接得出折射角[α2]和[β2]的大小，再根據(jù)折射角繪制折射光線。將兩條折射光線[A1B1]和[A2B2]反向延長分別交[y]軸于[P1]、[P2]點，并且它們在[xOy]平面上相交于[P′]點，這個點就是此時虛像的位置。

隨著觀察者在岸上走動，虛像的位置也會隨之變化，因此設置[P′]的屬性為顯示蹤跡，啟動[A1]、[A2]動畫，這兩點將向右移動，表示觀察者的視角發(fā)生變化，逐漸遠離水中的物體[P]，而虛像[P′]的位置將隨觀察者視角的改變而改變，并顯示出其軌跡（如圖5）。

[O][P2][P1][P][y][n2][n1][x][B2][B1][A1][A2][P′][β2=89.11°][β1=48.75°][α2=65.2°][α1=13.04°]

圖5

根據(jù)光學原理，設[P]點的坐標為（0，y），則[P′]點的橫坐標與縱坐標［2］分別為

[x'=yn21n22-1tanα31]????????????????????????????????????? （1）

[y'=yn2n11-n21n22-1tanα2132]????? ???????????????（2）

（二）基于較大范圍內(nèi)光束的水中物體折射成像的位置演示

水中物體發(fā)出的光束如果所占范圍較大，從[P]點發(fā)出時是一束單心空間光束，但經(jīng)過折射后可能不再保持其單心性，那么就需要考慮折射光束的空間分布。由于平時在黑板或紙面上作圖，受限于二維平面，因此難以描述三維空間中光的折射情況，而利用GeoGebra軟件的3D繪圖功能可以直觀演示三維空間中光的折射成像情況。

建立三維坐標系，選[x]軸上的任意兩點[A1]、[A2]為入射點，此時光源[P]在[A1A2]范圍內(nèi)發(fā)出的單心光束如圖6所示。

輸入光的折射定律公式后得到折射光線，并將其反向延長，可以看出折射光束中所有光線的延長線并不交于同一個點，而是交[y]軸于線段[P1P2]的范圍內(nèi)。同時，[P′]點描出一段很短的弧，可近似看作垂直于[xOy]平面的一小段直線，折射光束中所有光線的延長線也分別交于這一小段直線上的各個點［3］，如圖7所示。

[B1][B2][n2=1][n1=1.33][x][A2][β1=40.679°][β2=60.104°][A1][α2=28.593°][α1=21.09°][O][y][P2][P1][P′] [z]

（a）從z軸正向往z軸負向看

[y][z][n2=1][n1=1.33][B1][O][P2][P′][α2=28.593°][α1=21.09°]

（b）從x軸負向往x軸正向看

圖7

由此可見，當水中物體發(fā)出的光束所占范圍較大時，折射光束不再保持單心性，而成為像散光束，折射光線的反向延長線不再交于一點，整個區(qū)域有很多可能的交點［4］。因此，當觀察者處于光束[PA1A2]范圍內(nèi)的不同空間位置處時，交點[P′]的位置也會有所不同，虛像的位置也會不同［5］。

當觀察者在水中物體的正上方豎直向下看時，[P]點所發(fā)出的光線幾乎垂直于分界面，即入射角[α1=0]時，由式（1）和式（2）得像點[P′]的坐標［6］為：

[x'=0]，[y'=y1=y2=n2n1y]???????????????????????????? （3）

此時[P1]、[P2]、[P′]三點幾乎重合在一起，折射光束仍保持單心性，由于[n1>n2]，則[y′>y]，虛像的位置位于真實物體的上方，如圖8所示。

現(xiàn)在再來回顧2022年云南省初中學業(yè)水平考試物理試題第24題，這道實驗探究題中物體的位置代表池底的位置，玻璃磚的厚度代表池子的深度，小卡片的位置代表光在垂直入射時池底折射成像的位置。題目的第（3）（4）問提出的問題是當玻璃磚的厚度不同時，求像與觀察者的距離關系以及像與物的距離關系。利用GeoGebra軟件建立的模型來模擬實驗情境，[xOz]平面代表池子水面，池底[P]在[y]軸上，觀察者位于[O]點處，改變?nèi)肷浣鞘构饩€垂直水面入射，題目中依次增加玻璃磚的數(shù)量意味著池底到觀察者的距離越來越遠，于是向[y]軸正方向拖動[P]點，表示逐漸增加池子的深度，如圖9所示。

[O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 3.559][物體的深度y=4.734][像與物體的距離d=y-y'=1.175][（a）當池子深度為4.734時的折射成像情況] [O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 6.22][物體的深度y=8.272][像與物體的距離d=y-y'=2.052][（b）當池子深度為8.272時的折射成像情況][P][P]

[O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′=10.764][物體的深度y=14.316][像與物體的距離d=y-y'=3.552][P][（d）當池子深度為14.316時的折射成像情況][O][A1][A2][P′][y][z][x][n2][n1][B1][B2][像的深度y′= 8.326][物體的深度y=11.073][像與物體的距離d=y-y'=2.747][（c）當池子深度為11.073時的折射成像情況][P]

圖9

用[y]來表示物體與觀察者的距離，即物體的深度，用[y′]來表示像與觀察者的距離，即像的深度，設置公式計算并顯示出[y]與[y′]之差以及[y′]與[y]之比，精確度為保留3位小數(shù)。仔細觀察[P]點折射所成像的位置[P′]點，分析[P]與[P′]點的坐標，得出以下結(jié)論：①光在垂直入射時，像的位置會比物體的實際位置更靠近觀察者，也就是我們看到的“池底變淺”的現(xiàn)象；②物體與觀察者的距離越大，折射所成的像與觀察者的距離越大，像與物的距離也越大；③在光線垂直入射時，無論物體與觀察者的距離是多少，像的深度與物體的深度之比始終不變，其值的大小為兩種介質(zhì)的折射率[n2]與[n1]之比，與式（3）相符合。

四、總結(jié)

受限于復雜的計算以及煩瑣的繪圖步驟，教師在講解水中物體折射成像時往往根據(jù)主觀經(jīng)驗，大概地畫出光線的偏折程度以及所成虛像的位置。這樣的繪畫方式不夠規(guī)范，甚至有可能產(chǎn)生科學性錯誤，影響學生形成科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。借助GeoGebra軟件強大的數(shù)據(jù)運算以及動態(tài)模擬功能，可以準確地解釋水中物體折射成像的規(guī)律，幫助學生加深對光的折射知識的理解。希望本文有關GeoGebra軟件的應用能夠?qū)χ袑W教師有所啟發(fā)，促使中學教師應用GeoGebro軟件輔助教學，從而取得更好的教學效果。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

［1］? 董霞，張雄，徐曉梅，等．“魚在哪里”：中學物理教學中的折射解析［J］.物理教師，2013（11）：59-60，62.

［2］［3］［6］? 姚啟鈞.光學教程［M］.5版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］［5］? 汪志榮，蘇銀鳳.物理教科書光學插圖設計問題與對策：基于8種版本初中物理教科書折射成像插圖分析［J］.物理教師，2019（2）：27-32，36.

（責任編輯 黃春香）

［基金項目］2022年度教育部高等學校大學物理課程教學指導委員會大中物理教育銜接工作委員會教學研究課題（項目編號：WX202214）。

［通信作者］李紅梅（1972— ），女，云南人，碩士研究生導師，研究方向為中學物理教學研究、實驗創(chuàng)新研究。