解直角三角形在解決實際問題中的應用探究

黃天紀

［摘 要］在現實生活中，有很多和解直角三角形相關的實際問題。教師應引導學生應用解直角三角形的相關知識解決這些實際問題，以培養(yǎng)學生的數學建模、數學抽象素養(yǎng)。文章結合典型例題，探討解直角三角形在解決實際問題中的應用，旨在幫助學生理解解直角三角形的常見概念及模型，找到解題突破口，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力和數學核心素養(yǎng)。

［關鍵詞］解直角三角形；實際問題；應用

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻標識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0033-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，通過經歷獨立的數學思維過程，學生能夠分析、解決簡單的數學問題和實際問題。由此可見，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，成為新時代數學課程改革的重要內容。在解決實際問題的過程中，學生常遇到這樣的困境：不會結合數學知識把現實生活問題轉化為數學問題，解題無從下手。本文結合典型例題，探討解直角三角形在解決實際問題中的應用，以培養(yǎng)學生解決實際問題的能力和數學核心素養(yǎng)。

一、解直角三角形的常見概念及模型

（一）常見概念

1.仰角、俯角——觀察者的視線與水平線所形成的夾角，即視線高于水平線所形成的角叫仰角，視線低于水平線所形成的角叫俯角。

2. 方向角——以觀測點O為中心，過觀測點作一條水平線和一條鉛垂線，表示南北方向的鉛垂線，與觀測點到目的地之間的連線所形成的夾角叫方向角。

3. 坡角、坡度——水平面與坡面所形成的夾角叫坡角，而坡度就是坡面的鉛直高度與坡面的水平寬度的比值。

4.直角三角形五個元素之間的關系：（1）三邊關系（勾股定理）；（2）兩角關系（兩個銳角互余）；（3）邊角關系（銳角三角函數）。在這五個元素當中，已知其中兩個元素（必須有一個元素是邊），就可以求出其余未知的三個元素。

（二）常見模型

模型1：背靠背模型（如圖1、圖2）。

圖1???????????????????????????? 圖2

模型2：母子模型 （如圖3、圖4）。

圖3??????????????????????????????????? 圖4

模型3：擁抱模型（如圖5、圖6、圖7）。

圖5?????????????????????? 圖6????????????????????????? 圖7

二、應用解直角三角形解決實際問題的基本思路

（一）基本思路

應用解直角三角形解決實際問題的基本思路：首先將實際問題轉化為數學問題（含解直角三角形），即舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯系轉化為圖形（含點、線、角等元素）；然后對數學問題進行解答，得出的數學問題的解即為實際問題的解。

（二）具體步驟

（1）理解題干中出現的數學概念和意義，如前面提及的仰角、坡角等，根據題干的問題描述，畫出對應的平面圖形，將實際問題轉化為數學問題；（2）將數學問題與解直角三角形知識建立聯系，并利用直角三角形的邊角關系構造等式、解答問題（對于銳角或鈍角的非直角三角形，可先采用輔助線法，將它們分割或補充，構造出直角三角形或矩形）；（3）找出與解題有關的直角三角形，并解這些三角形，最后得到答案。

三、解直角三角形在解決實際問題中的應用例析

在應用解直角三角形知識解決實際問題時，要將實際問題轉化為數學問題，將實際問題中的數量關系轉換為直角三角形的邊角關系，結合圖形、已知條件、所求問題展開聯想，尋找條件與問題之間的邏輯關系或轉化關系，利用解直角三角形知識解決問題。若所給圖形不是直角三角形，應添加輔助線，構造出直角三角形。若有兩個或兩個以上的三角形，且不能直接求解，則可以考慮分別由兩個三角形找出含有相同元素的關系式，運用方程知識求解。本文主要探討應用解直角三角形解決有關仰角俯角、方位角、坡角坡度問題的方法。

（一）應用解直角三角形解決仰角俯角問題

解決仰角俯角問題，關鍵是弄清仰角和俯角的定義，根據題意畫出含有仰角和俯角的幾何圖形，將實際問題中的數量關系轉換為直角三角形的邊角關系，也就是將已知數據在幾何圖形中標出，再利用解直角三角形知識求解。

［例題1］如圖8所示，無人機從地面[CD]的中點[B]垂直起飛到達點[A]處，測得1號樓頂部[E]的俯角為60°，測得2號樓頂部[F]的俯角為37°，此時航拍無人機的高度為60米，已知1號樓的高[CE]為20米，求2號樓的高[DF]。（結果精確到1米；參考數據[sin37°≈0.60]，[cos37°≈0.80]，[tan37°≈0.75]，[3≈1.73]，[2≈1.41]）

【分析】過點[E]、[F]分別作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分別為[M]、[N]，通過添加輔助線構造兩個直角三角形，將實際問題中的數量關系轉換為直角三角形的邊角關系。由題意可得，在[Rt△AEM]中，[AM=40]，[∠AEM=60°]，已知兩個條件（一邊一角），可以求出其他的邊和角，用銳角三角函數求出[EM]，再運用矩形、中點性質求出[NF]，再轉換到解[Rt△AFN]。由題意可得[∠AFN=37°]，在Rt[△AFN]中又找到兩個已知條件（一邊一角），可用銳角三角函數求出[AN]，最后用線段和差求出[DF=BN=AB-AN]。

【詳解】如圖9所示，過點[E]、[F]分別作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分別為[E]、[F]，由題意得[BM=CE=20]，[∠AEM=60°]，[∠AFN=37°]，[CB=DB=EM=FN]，[AB=60]，∴[AM=AB-MB=60-20=40]，

在[Rt△AEM]中，∵[tan∠AEM=AMEM]，∴[EM=AMtan60°=403≈401.73≈23.12]，∴[FN=EM=23.12]。

在[Rt△AFN]中，∵[tan∠AFN=ANFN]，∴[AN=tan37°]，[AN=tan37°×23.12≈0.75×23.12=17.34]，∴[DF=BN=AB-AN≈60-17.34≈43]。

答：2號樓的高[DF]約為43米。

【培養(yǎng)目標】引導學生應用解直角三角形知識解決仰角俯角問題，幫助學生理解仰角和俯角的概念，使學生能夠熟練應用三角函數解直角三角形；通過指導學生添加輔助線構造直角三角形，讓學生學會把實際問題轉化為數學問題，培養(yǎng)學生的數學建模、數學運算、數學抽象等核心素養(yǎng)。

（二）應用解直角三角形解決方位角問題

解決有關方位角的問題，關鍵是弄清方位角的定義，畫出有方位角的幾何圖形。如題圖為非直角三角形，則需添加輔助線，構造直角三角形和矩形，將實際問題中的數量關系轉換為直角三角形的邊角關系，再利用解直角三角形知識求解。

［例題2］在東西走向筆直的限速公路上，規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60 km/h（即[503 ]m/s），交通管理部門在離該公路正南方向100米[A]處設置了速度檢測點，以東西向[BC]為[x]軸，以南北向為[y]軸建立如圖10所示的平面直角坐標系，[A]位于[y]軸上，測速路段[BC]在[x]軸上，點[B]在點[A]的北偏西60°方向上，點[C]在點[A]的北偏東45°方向上。一輛汽車從點[B]勻速行駛到點[C]所用時間為15 s。請你通過計算，判斷該汽車在這段限速公路上是否超速。（[3]取1.7）

[A（0，-100）][x/m][y/m][B][O][C]

圖10

【分析】在直角三角形[ABO]和直角三角形[ACO]中，分別找出兩個已知條件（一邊一角），即[AO=100]和[∠OAB=60°]；[AO=100]和[∠OAC=45°]，可利用銳角三角函數求出[OB]和[OC]的長，從而求出[BC=OB+OC]，也就是求出限速路程，由此求出速度，即可解答。

【詳解】∵在直角三角形[ABO]中，[AO=100]，[∠BAO=60°]，∴[OB=OA·tan60°=1003]，

∵[△AOC]是等腰直角三角形，

∴[OC=OA=100]，

∴[BC=OB+OC=1003+100≈270]，

∵[270÷15=18]，

[18>503]，

∴該汽車在這段限速公路上超速了。

【培養(yǎng)目標】引導學生應用解直角三角形知識解決方位角問題，幫助學生理解方位角的概念，使學生能夠熟練應用三角函數解直角三角形。通過指導學生畫出幾何圖形，培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數學問題的能力，提升學生的數學建模素養(yǎng)及分析與解決問題的能力。

（三）應用解直角三角形解決坡角坡度問題

解決坡角坡度問題，關鍵是弄清坡角、坡度、垂直距離、水平距離的定義，根據題意構造出有坡角和坡度的幾何圖形。若圖形是非直角三角形，則需添加輔助線，構造直角三角形和矩形，再利用解直角三角形知識求解。

［例題3］貴州旅游資源豐富。某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖11所示的景區(qū)內修建觀光索道，設計示意圖如圖12所示，以山腳[A]為起點，沿途修建[AB]、[CD]兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂[D]處，中途設計了一段與[AF]平行的觀光平臺[BC]為50 m。索道[AB]與[AF]的夾角為15°，[CD]與水平線夾角為45°，[A、B]兩處的水平距離[AE]為576 m，[DF⊥AF]，垂足為點[F]。（圖中所有點都在同一平面內，點[A]、[E]、[F]在同一水平線上。結果精確到1 m。參考數據：[sin15°≈0.25]，[cos15°≈0.96]，[tan15°≈0.26]，[2≈1.41]）

（1）求索道[AB]的長；

（2）求水平距離[AF]的長。

圖11??????????????????????????????? 圖12

【分析】（1）在直角三角形[ABE]中，找出兩個已知條件（一邊一角），即[AE=576]和[∠BAE=15°]，可利用銳角三角函數求出索道[AB]的長度600米，所以[AB=CD=600]。（2）要求[AF]的長度，可添加輔助線，作[CG]垂直[DF]，垂足為[G]，構造直角三角形[DCG]，在直角三角形[DCG]中找出兩個已知條件（一邊一角），即[CD=600]和[∠DCG=45°]，利用銳角三角函數或勾股定理求出[CG]，從而求出[AF=AE+BC+CG]。

【詳解】（1）在直角三角形[ABE]中，[AE=576]，[∠BAE=]15°，∴ [AB=AEcos15°=5760.96=600]。

（2）如圖13，作[CG]垂直[DF]，垂足為[G]，在直角三角形[DCG]中，[CD=AB=600]，[∠DCG=45°]，∴[CG=CDcos45°=600×22=600×1.412=423]，∴[AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049]。

【培養(yǎng)目標】引導學生利用解三角形知識解決坡角坡度問題，幫助學生理解坡角和坡度的概念，熟悉應用銳角三角函數和勾股定理解決實際問題。通過引導學生審題、分析問題，使學生掌握數形結合思想，提升學生的直觀想象、數學抽象等核心素養(yǎng)。

應用解直角三角形解決仰角俯角、方位角、坡角坡度問題，要熟練掌握解題思路與方法，把握解題關鍵，找準解題切入點。

總之，解直角三角形是初中數學的核心內容，解直角三角形在解決實際問題中的應用是中考必考點。本文探討解直角三角形在解決實際問題的應用，幫助學生掌握解決實際問題的數學思想方法，提升學生的解決問題能力和數學核心素養(yǎng)。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

［1］? 黃金珠.解直角三角形在解決實際問題中的應用［J］.數理天地（初中版），2023（9）：28-29.

［2］? 梁海栗.核心素養(yǎng)導向下的初中數學解題教學策略研究［J］.中學教學參考，2023（2）：10-12.

［3］? 趙芳.論相似三角形在實際生活中的應用［J］.中學教學參考，2023（29）：13-15，25.

［4］? 王志剛.逆向思維在初中數學解題中的應用［J］.中學教學參考，2023（29）：4-6.

［5］? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯 黃春香）