含參不等式問題解答方法探究

劉振明

［摘 要］不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，每年的數(shù)學(xué)高考題都會涉及不等式。含參不等式問題是一類復(fù)雜的不等式問題，參數(shù)的存在增加了解題的難度，不少學(xué)生在解答這類問題時往往不知從何下手。文章結(jié)合相關(guān)例題，探究含參不等式問題的解答方法。

［關(guān)鍵詞］含參；不等式問題；解答方法

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0030-03

不等式問題是高考的必考問題，其中含參不等式問題既是高頻考點(diǎn)，又是難點(diǎn)問題。解答含參不等式問題，不但需要學(xué)生熟練掌握不等式的相關(guān)知識，而且需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的計(jì)算能力、抽象思維能力。雖然含參不等式問題有一定的復(fù)雜性，但通過對高考試題的分析發(fā)現(xiàn)其常用的解答方法有一定的規(guī)律性。本文結(jié)合相關(guān)例題，總結(jié)含參不等式問題常用的解答方法，以期幫助學(xué)生掌握解題方法，提升解題效率。

一、分離參數(shù)法

分離參數(shù)是解答含參不等式問題的常用方法。當(dāng)題目中涉及的不等式，能夠通過化簡轉(zhuǎn)化將參數(shù)進(jìn)行分離時，便可以借助分離參數(shù)法。在解題中，首先需要將不等式進(jìn)行化簡，將參數(shù)置于不等式一側(cè)，而后將另一側(cè)構(gòu)造為新函數(shù)，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷所構(gòu)造的函數(shù)的最值，進(jìn)而得到答案。

［例1］函數(shù)[f（x）=lnx-ax]，若[f（x）

解析：由題意知[lnx-axxlnx-x3]，故只需證明[a>（xlnx-x3）max]即可，其中[x∈]（1，+∞），

令[g（x）=xlnx-x3]，可得[g'（x）=1+lnx-3x2]，

而[g'（1）=-2]，[g″（x）=1x-6x=1-6x2x<0]，

則[g'（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以[g'（x）<] [g'（1）<0]，

可知[g（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

則[g（x）

說明：在觀察本題的過程中可以發(fā)現(xiàn) [f（x）=lnx-axxlnx-x3]，故本題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[g（x）=xlnx-x3]的最大值問題，通過求導(dǎo)可得[g（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故[g（x）]的最大值為[-1]，即[a≥-1]。

二、判別式法

對于二次含參不等式恒成立問題，可以將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題，用判別式進(jìn)行解答。對于二次函數(shù)[f（x）=ax2+bx+c]恒大于[0]，可與[a>0，Δ<0]互相推導(dǎo)；對于[f（x）=ax2+bx+c]恒小于[0]，可與[a<0，Δ<0]互相推導(dǎo)，以此建立關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)行解答便可得到參數(shù)的取值范圍。

［例2］若不等式[2x2+2mx+m4x2+6x+3<1]對一切[x∈R]恒成立，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍。

解析：因?yàn)閇4x2+6x+3=2x+322+34>0]在[R]上恒成立，所以[2x2+2mx+m4x2+6x+3<1]可以轉(zhuǎn)化為[2x2+2mx+m<4x2+6x+3]，

即[2x2+（6-2m）x+3-m>0]，

令[f（x）=2x2+（6-2m）x+3-m]，

要使[f（x）]恒大于[0]，需使[Δ=（6-2m）2-8（3-m）<0]，

解得[1

故實(shí)數(shù)[m]的取值范圍為[m∈（1，3）]。

說明：在本題中，[2x2+2mx+m4x2+6x+3<1]通過整理可得[2x2+（6-2m）x+3-m>0]，其滿足二次函數(shù)[f（x）=ax2+bx+c]恒大于[0]的形式，故可以通過[a>0，Δ<0]來求解參數(shù)[m]的取值范圍。

三、分類討論法

對于一些較為復(fù)雜的題目，可以借助分類討論法，將一個復(fù)雜不等式分為多個簡單不等式，通過一一解答，最后進(jìn)行總結(jié)，從而求出參數(shù)的取值范圍。在實(shí)際的解題中，首先要確定參數(shù)對不等式的影響，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，而后對問題進(jìn)行分類討論，求得每一個部分的結(jié)果，最后進(jìn)行匯總。

［例3］若存在非零實(shí)數(shù)[x、y]，使不等式[（6a-1）x2-2xy+ay2≥0]，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍為（）。

A. [0，+∞]

B. [-∞，-13?12，+∞]

C. [-13，+∞]

D. [12，+∞]

解析：因?yàn)閇y≠0]，所以[（6a-1）xy2-2·xy+a≥0]，

令[t=xy]，則問題轉(zhuǎn)化為“存在非零實(shí)數(shù)[t]，使得[（6a-1）t2-2t+a≥0]成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍”。

①當(dāng)[6a-1>0]，即[a>16]時，顯然存在非零實(shí)數(shù)[t]，使不等式[（6a-1）t2-2t+a≥0]成立。

②當(dāng)[6a-1=0]，即[a=16]時，不等式變?yōu)閇-2t+16≥0]，存在非零實(shí)數(shù)[t]，使不等式成立。

③當(dāng)[6a-1<0]，即[a<16]時，結(jié)合[Δ=4-4a（6a-1）≥0]，解得[-13≤a<16]。

綜上可知，[a∈-13，+∞]，故正確答案為[C]。

借助分類討論法解答本題時，通過令[t=xy]，可以將問題轉(zhuǎn)化為“存在非零實(shí)數(shù)[t]，使得[（6a-1）t2-2t+a≥0]成立”，后續(xù)通過判斷[6a-1]與[0]之間的關(guān)系，將在三種情況下[a]的取值范圍進(jìn)行匯總，便可得[a∈-13，+∞]。

四、主參換位法

主參換位法是解答已知參數(shù)的取值范圍求自變量的取值范圍的問題的常用方法。在解題過程中，首先將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式，而后以參數(shù)為自變量，構(gòu)造新的函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，最后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解答不等式問題，進(jìn)而求解參數(shù)的取值范圍。

［例4］函數(shù)[f（x）=ax2+bx-6]，不等式[f（x）≤0]的解集為[-3，2]。若當(dāng)[0≤m≤4]時，不等式[mf（x）+6m

解析：由不等式[f（x）≤0]的解集為[-3，2]，可知[-3，2]是方程[ax2+bx-6=0]的根，且[a>0]，

所以[-ba=-3+2，-6a=（-3）×2，]解得[a=1，b=1]，

所以[f（x）=x2+x-6]，

所以[mf（x）+6m

令[g（m）=（x2+x）m-x-1]，

所以[g（0）<0，g（4）<0，]

即[-x-1<0，4x2+3x-1<0，]

解得[x>-1，-1

所以[-1

說明：在本題的解答過程中便運(yùn)用了主參換位法。題目中已知[0≤m≤4]，故可以將其視為自變量，通過換位，將[mf（x）+6m

五、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是解答不等式問題的常用方法之一，主要是將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象關(guān)系問題，結(jié)合圖象進(jìn)行解題。在實(shí)際的解題中，可以根據(jù)代數(shù)式的含義畫出相應(yīng)的幾何圖形，結(jié)合圖象討論不等式的成立條件，進(jìn)而解答問題。但是需要注意關(guān)注臨界點(diǎn)，即交點(diǎn)、切點(diǎn)等特殊位置。

［例5］設(shè)[x∈[-4，0]]，若不等式[x（-4-x）<43x+1-a]恒成立，求[a]的取值范圍。

解析：設(shè)[y1=x（-4-x）]，則[（x+2）2+y21=4（y1≥0）]，該式可轉(zhuǎn)化為如圖1所示的半圓，

圖1

設(shè)[y2=43x+1-a]，則其圖象為直線，如圖所示，若[x（-4-x）<43x+1-a]恒成立，即直線始終在半圓上，圓心[（-2，0）]到直線[4x-3y+3-3a=0]的距離[d=-8+3-3a5>2]，且[1-a>0]，

可得[a<-5]，即[a]的取值范圍為（-∞，-5）。

說明：在本題中，通過數(shù)形結(jié)合，將[x（-4-x）<43x+1-a]進(jìn)行拆分，其中[y1=x（-4-x）]視為上半圓，[y2=43x+1-a]為直線；將二者置于坐標(biāo)系中，找出臨界點(diǎn)，便可以解答問題。

六、導(dǎo)數(shù)法

一些不等式的證明，可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。導(dǎo)數(shù)是解答函數(shù)最值問題最為有效的方法。在實(shí)際的解題中，可對不等式兩側(cè)進(jìn)行作差，而后構(gòu)造函數(shù)，如此便可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。在后續(xù)的求解中，則可以借助求導(dǎo)確定零點(diǎn)范圍，借助變形與轉(zhuǎn)化確定含零點(diǎn)關(guān)系式的最值，進(jìn)而結(jié)合條件最終確定參數(shù)的取值范圍。

［例6］已知函數(shù)[f（x）=aex-lnx-1]，證明當(dāng)[a≥1e]時，[f（x）≥0]。

解析：對函數(shù)[f（x）=aex-lnx-1]求導(dǎo)，得[f '（x）=axex-1x（x>0）]，

令函數(shù)[g（x）=axex-1a≥1e]，則[g（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

且[g（0）=-1<0]，[g（1）=ae-1≥0]，

故存在唯一零點(diǎn)[x0∈0，1]，使得[g（x0）=0]，

即[x0=1aex0]，所以當(dāng)[x∈（0，x0）]時，[f '（x）<0]，[f（x）]單調(diào)遞減；

當(dāng)[x∈] （[x0] ， +∞）時， [f '（x）>0] ， [f（x）]單調(diào)遞增；

所以[f（x）]在[x=x0]處取得最小值。

又因?yàn)閇f（x0）=aex0-lnx0-1=a·1ax0-ln1aex0-1=1x0+x0+lna-1≥2+lna-1=1+lna≥0]，

當(dāng)且僅當(dāng)[x0=1]及[a=1e]時，兩等號同時成立，所以當(dāng)[a≥1e]時，[ f（x）≥f（x0）≥0]。

在解答本題時，通過求導(dǎo)可以確定零點(diǎn)的存在，但是并不能求出零點(diǎn)的值。通過求導(dǎo)，則有[f '（x）=axex-1x（x>0）]，構(gòu)造函數(shù)[g（x）=axex-1a≥1e]，[g（0）=-1<0]，[g（1）=ae-1≥0]，故存在唯一零點(diǎn)[x0∈0，1]，使得[g（x0）=0]，此時[x0=1aex0]，無法直接求出。而后通過對其設(shè)而不求，確定其取值范圍及滿足關(guān)系式后對代數(shù)式進(jìn)行整體替換，進(jìn)而解答問題。

本文結(jié)合實(shí)際問題，總結(jié)了解答含參不等式問題常用的六種方法，分別為分離參數(shù)法、判別式法、分類討論法、主參換位法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法，每種解答方法適用的背景不盡相同，因此在考試中，學(xué)生需結(jié)合實(shí)際問題靈活選擇解答方法。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 張中臣.含參不等式恒成立問題的解題[J].數(shù)理天地（高中版），2022（12）：29-31.

[2]? 李慧.一個含參不等式恒成立問題的多解探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（12）：31-33.

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[4]? 孫小芳.解答含參不等式問題常用的幾種方法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2023（3）：35-36.

[5]? 安現(xiàn)偉.解答含參不等式恒成立問題的常用方法[J].高中數(shù)理化，2023（15）：51-52.

（責(zé)任編輯 黃春香）