解決含參數(shù)不等式恒成立問題和函數(shù)零點(diǎn)討論問題的兩種方法

馬大文

［摘 要］對于含參數(shù)不等式恒成立問題和函數(shù)零點(diǎn)討論問題，普通高中的學(xué)生常常束手無策。文章結(jié)合例題歸納解決含參數(shù)不等式恒成立問題和函數(shù)零點(diǎn)討論問題的兩種方法——定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法，旨在為普通高中學(xué)生提供方法依據(jù)，幫助他們破解難點(diǎn)。

［關(guān)鍵詞］含參數(shù)不等式恒成立問題；函數(shù)零點(diǎn)討論問題；定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法；平移直線法

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0027-03

歷年廣西普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷的壓軸題，都是利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及討論含參數(shù)不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題。其中，含參數(shù)不等式恒成立問題和函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論問題在大多數(shù)情況下可以用兩種直線法解決，一是定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法，二是平移直線法。這兩種直線法不僅對學(xué)業(yè)水平考試的備考有很好的作用，還對高考備考有一定的啟發(fā)和幫助。

一、方法引入

現(xiàn)以2021年廣西普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題第38題為例歸納定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法。

［例1］已知函數(shù)[f（x）=alnx+bx]，曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（1，f（1））]處的切線方程為[3x-y-1=0]。

（1）求[f（x）]的解析式；

（2）設(shè)[g（x）=x2+mx-f（x）]，試討論函數(shù)[g（x）]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：（1）∵[f '（x）=ax+b]，∴[f '（1）=a+b]，∵[f（1）=aln1+b=b]，[∴]切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，[b]），

由點(diǎn)斜式得切線方程：[y-b=f '（1）（x-1）]，即[（a+b）x-y-a=0]，∵已知切線方程也表示為[3x-y-1=0]，[∴a+b=3，-a=-1，]即[a=1，b=2，][∴f（x）=lnx+2x]。

（2）∵[g（x）=x2+mx-f（x）]，∴[g（x）=x2+mx-lnx-2x]，若函數(shù)[g（x）]有零點(diǎn)，則[g（x）=0]，即[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]。

方法一：變式為[（m-2）x=lnx-x2]，令[y=（m-2）x]和[G（x）=lnx-x2]，則[G'（x）=1x-2x=-2x+22x-22x]。

當(dāng)[x∈0，22]時(shí)，[G'（x）>0]，[G（x）]為增函數(shù)；當(dāng)[x∈22，+∞]時(shí)，[G'（x）<0]，[G（x）]為減函數(shù)。故[G（x）]在[x=22]處有最大值，即[G（x）max=G22=-ln2+12]。當(dāng)[x→0]時(shí)，[G（x）=lnx-x2→-∞]；當(dāng)[x→+∞]時(shí)，由洛必達(dá)法則知，[limx→+∞lnxx2=limx→+∞（lnx）′（x2）′=limx→+∞1x2x=limx→+∞12x2=0]，即[x2]變大的速度比[lnx]變大的速度快，所以[G（x）=lnx-x2→-∞]。

（此處也可以對[y=lnx]和[y=x2]的圖象進(jìn)行比對，判斷[G（x）]的變化趨勢）

則[G（x）]的大致圖象如圖1所示，設(shè)過點(diǎn)（0，0）的直線[y=（m-2）x]與曲線[G（x）=lnx-x2]相切的切點(diǎn)為[（x0，lnx0-x20）]，則切線斜率滿足[G'（x0）=（lnx0-x20）-0x0-0=1x0-2x0]，即[x20+lnx0-1=0]，解得[x0=1]，故切線斜率[k0=1x0-2x0=-1]。當(dāng)[m-2>-1]時(shí)，即[m>1]時(shí)，直線[y=（m-2）x]與曲線[G（x）=lnx-x2]無公共點(diǎn)，即[g（x）]沒有零點(diǎn)；當(dāng)[m-2=-1]時(shí)，即[m=1]時(shí)，直線[y=（m-2）x]與曲線[G（x）=lnx-x2]有1個(gè)公共點(diǎn)，即[g（x）]有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)[m-2<-1]時(shí)，即[m<1]時(shí)，直線[y=（m-2）x]與曲線[G（x）=lnx-x2]有2個(gè)公共點(diǎn)，即[g（x）]有2個(gè)零點(diǎn)。

方法二：由[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]，分離得[m=2-x+lnxx]，令[y=m]和[T（x）=2-x+lnxx]，則[T'（x）=1-lnx-x2x2]，再令[G（x）=1-lnx-x2]，則[G'（x）=-1x-2x]，∵[x>0]，∴[G'（x）<0]，∴[G（x）]在[（0，+∞）]上為減函數(shù)。而[G（1）=1-ln1-12=0]，∴[x∈（0，1）]時(shí)，[G（x）>0]，即[T'（x）>0]；[x∈（1，+∞）]時(shí)，[G（x）<0]，即[T'（x）<0]，而[T'（1）=0]，故[T（x）]在[x=1]處有最大值，即[T（x）max=T（1）=2-1+ln11=1]。對于函數(shù)[T（x）]，當(dāng)[x→0]時(shí)，[T（x）→-∞]；當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[T（x）→-∞]。

函數(shù)[T（x）]的大致圖象如圖2所示，故當(dāng)[m>1]時(shí)，直線[y=m]和曲線[T（x）=2-x+lnxx]無公共點(diǎn)，即[g（x）]沒有零點(diǎn)；當(dāng)[m=1]時(shí)，直線[y=m]和曲線[T（x）=2-x+lnxx]有1個(gè)公共點(diǎn)，即[g（x）]有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)[m<1]時(shí)，直線[y=m]和曲線[T（x）=2-x+lnxx]有2個(gè)公共點(diǎn)，即[g（x）]有2個(gè)零點(diǎn)。

方法一在假設(shè)函數(shù)存在零點(diǎn)的情況下，即方程g（x）=0有解，對[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]進(jìn)行分離，得[（m-2）x=lnx-x2]。通過構(gòu)造一條過定點(diǎn)（0，0）的直線[y=（m-2）x]和一條曲線[G（x）=lnx-x2]，求出直線與曲線相切時(shí)的切線斜率[k]，并利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定曲線[G（x）]的大致圖象，繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線觀察直線與曲線是否有公共點(diǎn)，若有公共點(diǎn)，有幾個(gè)，此時(shí)直線的斜率[m-2]與切線斜率[k]滿足什么關(guān)系，從中找到[m]的取值范圍確定直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。這一種討論函數(shù)零點(diǎn)存在的方法稱為定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法。

方法二在假設(shè)函數(shù)存在零點(diǎn)的情況下，即方程g（x）=0有解，對[x2+mx-lnx-2x=0（x>0）]進(jìn)行分離，得[m=2-x+lnxx]，通過構(gòu)造一條動直線[y=m]和一條曲線[T（x）=2-x+lnxx]，并利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定曲線[T（x）]的大致圖象，上下平移直線[y=m]，觀察直線與曲線是否有公共點(diǎn)，若有公共點(diǎn)，有幾個(gè)，確定相應(yīng)[m]的取值范圍，從而由[m]的取值范圍確定函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。這種討論函數(shù)零點(diǎn)存在的方法稱為平移直線法。

定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法都是在假設(shè)某函數(shù)g（x）存在零點(diǎn)的情況下，由[g（x）=0]分離出一條直線和一條曲線，通過直線的旋轉(zhuǎn)或平移，觀察參數(shù)變化范圍，確定直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法雖然都有一條直線，但定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法中的直線是過定點(diǎn)的，是繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動直線；而平移直線法中的直線不過定點(diǎn)，是一條和[y]軸垂直的動直線。

在解決問題的過程中，如果能分離出一次函數(shù)型的，可以考慮用定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法求解與證明；如果不能分離，一般考慮用平移直線法。具體用哪種方法，應(yīng)根據(jù)問題的條件具體分析。

二、定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法的解題步驟

設(shè)函數(shù)[y=f（x）]，且[f（x）]有零點(diǎn)，即有[f（x）=0]。

（一）定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法

1.分離過定點(diǎn)[P（x0，y0）]的動直線[l：y=k（x-x0）+y0]和曲線C：[y=T（x）]。

2.利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)畫出[y=T（x）]的大致圖象。

3.設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為[（a，T（a））]，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式，即由[T'（a）=y0-T（a）x0-a]求出[a]，進(jìn)而求出切線斜率[k0=T'（a）]。

4.旋轉(zhuǎn)動直線[l]，當(dāng)直線[l]與曲線C沒有公共點(diǎn)時(shí)，即[y=f（x）]沒有零點(diǎn)時(shí)，確定[k]與[k0]的關(guān)系；當(dāng)當(dāng)直線[l]與曲線[C]有公共點(diǎn)時(shí)，即[y=f（x）]有零點(diǎn)時(shí)，確定[k]與[k0]的關(guān)系。

（二）平移直線法

1.分離動直線[l：y=m]和曲線[C]：[y=T（x）]。

2.利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)畫出[y=T（x）]的大致圖象。

3.平移動直線[l]，當(dāng)直線[l]與曲線[C]沒有公共點(diǎn)時(shí)，即[y=f（x）]沒有零點(diǎn)時(shí)，確定[m]的取值范圍；當(dāng)直線[l]與曲線C有公共點(diǎn)時(shí)，即[y=f（x）]有零點(diǎn)時(shí)，確定[m]的取值范圍。這里[m]的取值范圍與函數(shù)[y=T（x）]的值域有關(guān)，特別是函數(shù)的最值與極值和端點(diǎn)與斷點(diǎn)有密切關(guān)系。

在定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法的應(yīng)用中，在畫[y=T（x）]的大致圖象時(shí)，一般由定義域和值域確定圖象的范圍，由單調(diào)性、最值點(diǎn)、極值點(diǎn)、端點(diǎn)和斷點(diǎn)、奇偶性、對稱性和周期性、函數(shù)的變化趨勢等確定圖象的大體形狀。

三、兩種直線法在不同場景下的應(yīng)用

（一）平移直線法的應(yīng)用

［例2］已知函數(shù)[f（x）=x2+x-alnx-2]。若[x>1]時(shí)，[ f（x）>0]恒成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍。

解：∵[f（x）>0]恒成立，即[x2+x-alnx-2>0]，有[alnx1]，∴[lnx>0]，分離得[a0]?！郲M（x）]在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴[M（x）>M（1）=0]，∴[G'（x）>0]，∴[G（x）]在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴[G（x）>G（1）=0]，∴[T'（x）>0]，∴[T（x）]在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴[T（x）>limx→1T（x）=] [limx→1x2+x-2lnx=limx→1（x2+x+2）′（lnx）′=limx→12x+11x=limx→1（2x2+x）=3]。

則[T（x）]的大致圖象如圖3所示，當(dāng)直線[y=a]在過界點(diǎn)（1，3）的直線[y=3]位置或以下時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)[a]的取值范圍是[-∞，3]。

（二）定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法的應(yīng)用

［例3］已知函數(shù)[f（x）=ax2]，[g（x）=xlnx]。若[f（x）≥g（x）]恒成立，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍。

解：∵[x>0]， [f（x）≥g（x）]恒成立，即[ax2≥xlnx]可變形為[ax≥lnx]，令[y=ax]和[T（x）=lnx]，則[T'（x）=1x]。設(shè)過定點(diǎn)（0，0）的直線[y=ax]與曲線[T（x）=lnx]相切的切點(diǎn)為[（x0，lnx0）]，則切線斜率滿足[T'（x0）=lnx0-0x0-0=1x0]，即[lnx0=1]，解得[x0=e]，故切線斜率[k0=1x0=1e]。而[T（x）=lnx]的大致圖象如圖4所示，故當(dāng)[a≥k0]時(shí)，即[a≥1e]時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[1e，+∞]。

［例4］已知函數(shù)[f（x）=ax-lnx（a∈R）]。若[g（x）=f（x）+1-1xlnx]的圖象與直線[y=a]相切，求[a]的值。

解：由[g（x）=f（x）+1-1xlnx]，得[g（x）=ax-1xlnx]，[∵]直線[y=a]與曲線[g（x）=ax-1xlnx]相切，∴[a=ax-1xlnx]有唯一解，分離變量得[a（x-1）=lnxx]。令[y=a（x-1）]和[T（x）=lnxx]，則[T'（x）=1-lnxx2]，當(dāng)[x∈（0，e）]時(shí)，[T'（x）>0]，[T（x）]為增函數(shù)；當(dāng)[x∈（e，+∞）]時(shí)，[T'（x）<0]，[T（x）]為減函數(shù)，∴[T（x）]存在最大值，即[T（x）max=T（e）=1e]。當(dāng)[x→0]時(shí)，[lnx→-∞]，[1x→+∞]，∴[lnxx→-∞]；當(dāng)[x→+∞]時(shí)，[lnxx>0]，又∵[limx→+∞lnxx=limx→+∞（lnx）'x'=limx→+∞1x=0]，則[T（x）]的大致圖象如圖5所示，設(shè)過定點(diǎn)（1，0）的動直線[y=a（x-1）]與曲線[T（x）=lnxx]相切的切點(diǎn)為[x0，lnx0x0]，則切線斜率滿足[T'（x0）=1-lnx0x02=lnx0x0-0x0-1]。整理得[x0+lnx0-2x0lnx0-1=0]，可知[x0=1]是方程的解，故切線斜率[k0=T'（x0）=1-lnx0x02=]1；[∴] [a=k0=1]時(shí)，[y=a（x-1）]與曲線[T（x）=lnxx]相切，也就是[a=1]時(shí)，曲線[g（x）]與直線[y=a]相切。

四、兩種直線法的使用說明

普通高中學(xué)生的邏輯推理能力相對較弱，如果他們按照常規(guī)的解題思路和方法解答導(dǎo)函數(shù)問題，難度很大，較難得分。定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法的解題雖然不是最簡潔的，但它們可以按照一定的程序步驟走，可給學(xué)生創(chuàng)造拿分的機(jī)會，增強(qiáng)他們解題的勇氣和信心。應(yīng)用定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線法和平移直線法的難點(diǎn)在于勾畫出曲線的形狀和判斷圖形的變化趨勢。對此，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板研究、辨析不同函數(shù)的圖形，以及讓學(xué)生借助高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則判斷圖形的變化趨勢。

（責(zé)任編輯??? 黃春香）