“反演變換”條件下的軌跡探求與應(yīng)用

曹捍東

［摘 要］軌跡法是研究幾何動點問題的一種重要方法?！丁岸ń嵌ǚe”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》［1］一文中對“定角定積”類問題進行了探究，但對“定角”等于0度時（即反演變換）的情形沒能展開探究。文章對“反演變換”條件下的軌跡進行探求，在構(gòu)造相似三角形時有獨特的“構(gòu)圖”方式，是《“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》一文的補充與拓展。

［關(guān)鍵詞］反演變換；軌跡；定角定積

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0024-03

不在一定結(jié)構(gòu)中“生長”的碎片化知識，難以“組裝”成解決壓軸問題的“強大武器”。解題教學(xué)中融入結(jié)構(gòu)化思想很重要。能表達(dá)知識整體結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)一致性、表現(xiàn)生長性、尋找通性通法的解題教學(xué)往往能取得事半功倍的教學(xué)效果。2023年深圳中考數(shù)學(xué)試卷首次出現(xiàn)“定角定積”類問題，引發(fā)了教師的思考。本文在解題延伸部分涉及的“反演變換”條件下的軌跡探求，雖可歸為“定角定積”軌跡探求的特例，但其探究方法具有獨特性。

一、試題呈現(xiàn)

［2023年深圳中考數(shù)學(xué)第22題第（3）問］如圖1，在平行四邊形ABCD中，[∠A=60°]，[AB=6]，[AD=5]，點E在[CD]上，且[CE=2]，點F為[BC]上一點，連接[EF]，過[E]作[EG⊥EF]交平行四邊形ABCD的邊于點G，若[EF·EG=73]時，請直接寫出AG的長。

二、試題分析

該題重點考查特殊四邊形的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等主干知識，綜合性強，有較大難度，對學(xué)生幾何構(gòu)造能力、分析與解決問題的能力等有較高的要求。該題的解法雖然比較多，但一般都需進行較為復(fù)雜的構(gòu)圖。那么有沒有能體現(xiàn)通性通法，讓學(xué)生“撥云見日”的方法呢？

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，主、從動點F、G始終受兩個條件約束：（1）線段[GE]和[EF]的夾角是[90°]；（2）[EF·EG=73]，為定值。

那么，能否先去探求從動點G的軌跡呢？筆者的這個想法和國內(nèi)學(xué)者郭源源在《“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》一文中的“定角定積尋軌跡”思路不謀而合，該問題在文中被稱為“定角定積”模型。

思路：先探求從動點G的軌跡，再探求這個軌跡與平行四邊形各邊的交點情況。

三、教學(xué)功能分析

該題宜在九年級總復(fù)習(xí)中進行教學(xué)，適合以專題的形式為學(xué)有余力的學(xué)生開展教學(xué)，比如可開展“動點軌跡是圓”專題教學(xué)、“‘定角定積尋軌跡”專題教學(xué)等。需要說明的是：（1）雖然初中學(xué)段并沒有“軌跡”之說，但“交軌法”的應(yīng)用卻早有滲透；（2）雖然“軌跡”一詞常被“動點路徑”所取代，但其實質(zhì)并未改變。因此，開展上述專題教學(xué)很有必要。開展專題教學(xué)對拓寬學(xué)生解題視野、使學(xué)生掌握通性通法很有幫助。

四、教學(xué)實施

（一）引例

如圖2，線段EP平行于直線l，EH垂直于直線l于點H，點F是直線l上的一動點，點G是平面內(nèi)一動點，[EG⊥EF] （G、E、F按順時針排列），且[EG·EF=PE·EH]，問：點G的軌跡是什么？

解：點G的軌跡是以PE為直徑的圓。理由：連接GP，則易得[∠GEP=∠HEF]，又[EG·EF=PE·EH]，∴[EGEH=PEEF]，∴[△GEP ]∽[△HEF]，∴[∠EGP=∠EHF=90°]，∴點[G]的軌跡是以[PE]為直徑的圓。

（二）思路分析

引例與上述問題有什么聯(lián)系呢？

首先，要發(fā)現(xiàn)點E到CB的距離[EH=3]；其次，構(gòu)造一條平行于CB的線段EP，且使得[EP=7]（如圖3），則[EP·EH=73=GE·EF]，至此兩個問題就關(guān)聯(lián)起來了。

如圖4，由引例知，若動點F是在直線CB上運動，則滿足[GE·EF=PE·EH]的動點G的軌跡是以EP為直徑的圓O。

如圖5，因為動點F是在邊CB上運動，所以其軌跡只是⊙O的一段弧。當(dāng)點F分別與點C、B重合時，利用作圖可以判斷點G的軌跡是[MPN]。

現(xiàn)又要求，點G要在?ABCD的邊上，因此點G 應(yīng)是[MPN]與?ABCD的邊之交點，如圖6所示（其中[G0E]因與CD邊疊合，與邊之交點意義不合，故[G0]應(yīng)舍去）。

以上，就是交軌法的具體運用。不難發(fā)現(xiàn)，問題可以轉(zhuǎn)化為：（1）在線段AD上，是否存在一點G，使[∠PGE=90°]？（2）在線段AB上，是否存在一點G，使[∠PGE=90°]？

這兩個問題是大家熟知的存在性問題。這種轉(zhuǎn)化，既體現(xiàn)了“以生考熟”的命題意圖，又把貌似不同的兩種情況中的一致性體現(xiàn)了出來。

（三）具體求解

第1種情況：當(dāng)點G在AD邊上時，如圖7所示，易得四邊形APEQ是矩形，且[QE=AP=23]，設(shè)[AG=x]，則[GQ=7-x]，利用[△GEQ ]∽[△PGA]，可得[x23=237-x]（或利用勾股定理列方程），解得[x1=3]，[x2=4]，所以[AG=3]或4。

第2種情況：當(dāng)點G在AB邊上時，如圖8，設(shè)[AG=x]，則[GN=4-x]，又[OG=OE=72]，則[ON=32]，[MN=34]，[OM=343]，于是[GM=4-x+34=194-x]。由勾股定理得[GM=722-3342=134]，所以[194-x=134]，所以[x=32]，即[AG=32]。

由前面的分析可知，不存在點G在CD邊或CB邊上的情形。

綜上，[AG=3]或4或[32] 。

（四）解題反思

以上我們對一個包含有特殊的“定角定積”的問題進行了研究，其中使用了一個關(guān)鍵性的方法——軌跡法。具體地講，我們在對“點”進行“搜索”時，使用了如下方法：先放寬或拋開其中的一些約束條件，去研究動點的軌跡，再依次增加條件以“縮小范圍”，最后“交軌定點”。這種確定點的位置的方法在作圖問題中也常用到，具有通性通法的特征。

上例還表明，當(dāng)從動點軌跡的角度看待該問題時，可以更好地看清問題的實質(zhì)，看到一致性，從而更容易找到通性通法，并能借此打開思路，化生為熟，讓問題獲得簡明的解法。

（五）拓展延伸

下面我們把上述“定角定積”問題中的定角改為0度，而“定積”條件保持不變，看會發(fā)生怎樣的情形？（注：從變換角度看，這種變換叫作反演變換[2]）

1.主動點在圓上運動

［例1］如圖9，[A（10，0）]，B（0，2）是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點，⊙A的半徑為5，點P是⊙A上的一動點，點Q是線段OP上的一點，且滿足[OP·OQ=20]，則線段BQ長度的最小值為?????????? 。

思路一：“定積”變“定比”，“反演”變“相似”。

解法一：（1）如圖10，作射線OP交⊙A于點C，設(shè)⊙A交[x]軸于點E、F，連接PE、AC、CF，則易得[△OPE] ∽[△OFC]，則[OP·OC=OE·OF=5×15=75]，又[OP·OQ=20]，所以[OCOQ=7520=154]。

評注：從幾何變換的角度看，O、Q、C三點共線，且[OCOQ] 為定值，這說明存在一個以O(shè)為中心的位似變換。因此，當(dāng)點[C]在⊙A上運動時，點Q必在另一個圓上運動。

（2）確定圓心位置及半徑

在OA上取點D，使[ODOA=OQOC=415]（即取[OD=83] ），則△OQD ∽△OCA，所以[QDCA=415]。

又[AC=5]，所以[QD=43]，即點Q在以[D83，0] 為圓心，[43]為半徑的⊙D上運動。

（3）化為熟悉的問題（點圓最值）

顯然，BD=[22+832=103]，又[BQ+QD≥BD]（等號成立時，B、Q、D三點共線），所以[BQ≥BD-QD=103-43=2]，所以BQ的最小值為2。

思路二：從特殊位置入手，形成初步猜測；依等積式構(gòu)造相似求解。

解法二：如圖11，設(shè)⊙A與[x]軸的兩個交點為[C（5，0）]，[D（15，0）]。

圖11

當(dāng)點P與點C重合時，設(shè)點Q位于點E處，則由[OP·OQ=20]（此時[OP=OC=5]），所以[OQ=4]，即[E（4，0）]。

當(dāng)點P與點D重合時，設(shè)點Q位于點F處，同理，得[F43，0]。

下證：[∠FQE=90°]。由[OP·OQ=OC·OE]，易得△OQE ∽△OCP，所以[∠OQE=∠OCP]，即[∠1+∠3=∠2+∠4]，同理△OQF ∽△ODP，所以[∠1=∠2]，所以[∠3=∠4=90°]，點Q在以EF為直徑的圓上運動。

下同解法一。

2.主動點在直線上運動

［例2］如圖12，點A是直線[l]外一定點，點P是直線[l]上的一動點，點Q是射線AP上的一點，且滿足[AP·AQ=k] （[k>0]且為常數(shù)），試探求點Q的軌跡。

思路：構(gòu)造等積式，得相似。

解：如圖13，過點A作[AH⊥l]，垂足為H，則AH為定長，設(shè)[AH=a]。在射線AH上取點C，使[AC=ka]，則[AH·AC=k=AP·AQ]，易得△AHP ∽△AQC， 所以[∠AQC=∠AHP=90°]，所以點Q在以AC為直徑的⊙O上運動（不包括點A）。

五、教學(xué)啟示

隨著新課標(biāo)的提出，“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”“適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例”等新要求在各地中考試卷中落地生根。這讓“機械刷題”的傳統(tǒng)做法越來越?jīng)]有“市場”。“通性通法”教學(xué)，能讓學(xué)生更好地建構(gòu)具有連續(xù)性、關(guān)聯(lián)性、一致性的知識整體結(jié)構(gòu)；“拓展與延伸”教學(xué)則體現(xiàn)了知識在整體結(jié)構(gòu)中的生長性。教師需領(lǐng)悟的是：不在一定結(jié)構(gòu)中“生長”的碎片化知識，難以“組裝”成解決壓軸問題的“強大武器”。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 郭源源.“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：40-42.

[2]? 梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究：平面幾何［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯??? 黃春香）

［基金項目］本文系廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項課題“‘雙減背景下 AI賦能中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的實踐研究”（立項編號：GDJY-2022-M-b60）研究成果。