基于無人機重心測量的互動模型裝置設(shè)計x

基于無人機重心測量的互動模型裝置設(shè)計魏榛 聶書嚴 劉浩

摘 ?要：該文基于飛機三點法重心測量的基本原理，結(jié)合工科力學(xué)課程的教學(xué)科研需求，設(shè)計一種可以用于驗證重心測量算法的互動模型裝置。該裝置采用一個面內(nèi)對稱設(shè)計的封閉盒體，內(nèi)置有陣列隔間用于放置配重鋼球。模型裝置可以模擬出各種復(fù)雜度的面內(nèi)重心分布。與裝置配套的3個精密電子秤可以對封閉盒體進行不同方案的重心測量，以驗證測量算法的可行性與精度。該裝置采用3D打印技術(shù)制作，具有低成本、高互動性的優(yōu)點，在教學(xué)與科研中起到很好的作用。

關(guān)鍵詞：重心測量；互動裝置；飛機重心；3D打印技術(shù)；無人機

中圖分類號：V216.8 ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2024）18-0136-04

Abstract： Based on the basic principle of aircraft three-point center of gravity measurement and the teaching and research needs of engineering mechanics course， this paper designs an interactive model device which can be used to verify the center of gravity measurement algorithm. The device adopts a closed box body designed symmetrically in the plane， and an array compartment is built into it for placing counterweight steel balls. The model device can simulate the in-plane center of gravity distribution of various complexities. The three precision electronic scales matched with the device can measure the center of gravity of the closed box with different schemes to verify the feasibility and accuracy of the measurement algorithm. The device is made by 3D printing technology， has the advantages of low cost and high interaction， and plays a good role in teaching and scientific research.

Keywords： center of gravity measurement; interactive device; aircraft center of gravity; 3D printing technology; UAV

文章通過對飛機三點法重心測量的基本原理的分析和啟發(fā)，設(shè)計了一種可以用于工科力學(xué)教學(xué)和科研的簡易重心測量互動模型裝置。利用該裝置能夠模擬出平面內(nèi)的各種重心分布情況，并且能夠通過對裝置的實際測量來評估和分析各種重心算法的可行性和精度。

1 ?方案背景

現(xiàn)代無人機的應(yīng)用越來越廣泛，各種各樣布局的無人機不斷涌現(xiàn)。飛機重心變化直接影響飛機的穩(wěn)定性和操縱性能，因此分析和測量飛機的重心對于航空器的設(shè)計和飛行安全一直很重要[1]。

飛機重心測量主要分為千斤頂法[2]和機輪法[3]。千斤頂法是用帶稱重功能的千斤頂抬起飛機，讓飛機先后處于水平姿態(tài)、抬頭姿態(tài)、低頭姿態(tài)分別進行稱重，再用公式求出飛機重心位置。機輪法則是將飛機的機輪放置在3個普通電子秤平臺上，同樣改變飛機姿態(tài)讀出重量，根據(jù)力矩平衡原理采用解析法求出。

這2種方案都是采用三點法重心測量原理，都是依據(jù)理論力學(xué)的靜力平衡方法進行求解，也都被廣泛使用在各類飛行器測量中，但各有優(yōu)劣。為輔助分析三點法測量效果或開發(fā)更簡單、準確的新方法[4]，本文設(shè)計了一種重心測量互動模型裝置。

2 ?總體思路

實際無人機是一個三維實體，重心在水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)都需要測量，本文考慮簡化為平面內(nèi)的重心測量問題。

一般重心測量模型裝置通過推桿或螺絲調(diào)節(jié)模型重心位置來改變測試條件[5]。這種方法雖然調(diào)節(jié)精度高，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制作和維護成本高，且調(diào)節(jié)后的重心位置不容易精確給出。本文采用棋盤格的結(jié)構(gòu)，把配重離散分配到固定隔間內(nèi)，只需知道配重位置即可給出重心。雖然棋盤的配重方式不能連續(xù)調(diào)節(jié)重心位置，但是模型精度大大提高，并且結(jié)構(gòu)簡單成本低廉。

本文重心測量模型設(shè)計了上下?lián)醢逵糜凇皢蚊ぁ睖y試。目前飛機重心測試算法會針對某類重心分布優(yōu)化，這就導(dǎo)致測試的通用性不佳。采用平面模型則可方便設(shè)計模型裝置擋板以實現(xiàn)盲測，真正檢驗測試算法的精度和能力。盲測即在平面模型裝置內(nèi)的配重數(shù)量和分布未知時，通過測試計算其數(shù)量與分布。

綜上，本文提出了一種陣列式隔間，以精密鋼球為配重，帶有上下?lián)醢宓钠矫嬷匦臏y量模型裝置。該裝置設(shè)計簡單合理，重量分布精度高，可用于教學(xué)和科研，以檢驗重心測量算法。配重物數(shù)量和位置可隨機設(shè)置，并且具有不可見擋板，因此，可進行盲測，增加模型裝置的互動性。

3 ?設(shè)計方案

模型裝置主體由3部分組成，即棋盤格陣列隔間、上下?lián)醢?、配重鋼球?/p>

假設(shè)每個鋼球的質(zhì)量為m0，陣列隔間的質(zhì)量為m1，上下?lián)醢宓馁|(zhì)量合計為m2，其他安裝件（如螺栓等）的總質(zhì)量為m3，那么采用b個配重鋼球時模型裝置的總質(zhì)量即為

圖1坐標系中模型裝置左下角位置為（1，1）位置，其他各位置也可以同樣使用其所在隔間的序號（i，j）表示。不難發(fā)現(xiàn)當i≠j時，將一個配重鋼球放置在（i，j）位置或（j，i）位置，求解所得模型的最終重心坐標是不同的。因此，一共有n×n個隔間的模型裝置，在所示坐標系下每一個隔間都是不同的。那么當使用b個配重鋼球時，根據(jù)排列組合原理，一共存在的配重鋼球分布為C種。這些鋼球分布能夠產(chǎn)生足夠多種的重心位置結(jié)果，但是根據(jù)式（5）的求和計算可知，最終重心位置可能性是少于配重鋼球分布種數(shù)的，即有些鋼球分布方式會產(chǎn)生同一種重心坐標。但是即便如此，只要n×n的數(shù)值夠大，重心位置的可能性也將足夠多。

總之，采用棋盤格陣列隔間來設(shè)計的平面重心測量模型裝置具有結(jié)構(gòu)簡單、精確可靠、可以模擬多種重心分布等特點。

4 ?測量方案

以典型的機輪法為例，需要2次將飛機前輪抬起不同高度，以獲得足夠的力矩方程求解水平和豎直方向的重心坐標取值。這并不是唯一的測量方法，目前仍不斷有新的測試方法被提出和使用。尤其對于無人機而言，因為其尺寸小和重量輕的原因，在傳統(tǒng)大型飛機上不適合使用的一些重心測量技巧也能得到應(yīng)用。

本文公式（1）—（6）給出了重心測量模型裝置的設(shè)計，推導(dǎo)了基于配重鋼球分布的重心計算公式。在對三點法重心測量設(shè)備的實際檢測中，并不能直接采用上述公式求解鋼球分布或重心坐標。因為在模型裝置中布置鋼球時是已知鋼球分布求重心坐標問題，而采用模型裝置對三點法重心測量設(shè)備檢驗時是鋼球分布未知的情況，或者說是“單盲”的情況下。

測量方案根據(jù)難度可以分為3個部分：①配重鋼球的數(shù)量確定；②模型裝置的重心確定；③配重鋼球的分布確定。下面依據(jù)從容易到復(fù)雜的順序依次討論測量方案。

首先是配重鋼球的數(shù)量確定。設(shè)三點法中測得3個電子天平的讀數(shù)分別為R1、R2、R3，那么配重鋼球的數(shù)量可以由如下表達式直接給出

式中：[ ]為不大于其值的最大整數(shù)。顯然，確定配重鋼球的數(shù)量是測量任務(wù)中最簡單的環(huán)節(jié)。

第二個是模型裝置的重心測量。除了傳統(tǒng)飛機經(jīng)常采用的千斤頂法和機輪法等三點式重心測量方法外，其他依然有很多方法可以選擇。千斤頂法和機輪法已經(jīng)有不少文獻進行介紹與分析，在此就不贅述。

本文以面內(nèi)移動的三點式重心測量方法為例介紹。如圖2所示，模型裝置采用3個電子天平支撐保持水平，若支撐點分別記為1，2，3，則其天平讀數(shù)記為（R1，R2，R3）（t），其中，t表示第t次測量的天平讀數(shù)。若建立一個模型裝置的平面重心坐標系（gx，gy），假設(shè)坐標系原點在重心位置上，2個坐標軸分別沿著x軸和y軸，3個電子天平支點在重心坐標系下的坐標分別記為（xi，yi）g。

將1，2，3支撐點的受力分別對gx軸和gy軸列力矩平衡方程可得到如下表達式

當該方程組有唯一非零解時，可以解出重心x坐標，同理可以求得重心的y坐標。多次移動支點坐標時，可以獲得多個力矩平衡方程，因此，可以采用基于最小二乘法的求解方式獲得更準確解。

第三個是模型裝置的配重鋼球分布的測量。當求得了配重鋼球的數(shù)量和重心坐標后，可以采用反解的方法找到滿足重心坐標的鋼球分布矩陣Tb，但事實上是比較難操作的：一是從Tb求解重心坐標的過程是“降維”操作，丟失了關(guān)于鋼球分布的特征信息；二是配重鋼球的重心坐標與分布存在多種配重鋼球分布對應(yīng)一種重心坐標的情況。

測量配重鋼球分布是有現(xiàn)實意義的，如無人機轉(zhuǎn)動慣量測定時，獲得無人機初始轉(zhuǎn)動慣量后要考慮在增減載荷時的轉(zhuǎn)動慣量改變，就需要測定重心點的新位置和測定新載荷對重心點的分布情況。轉(zhuǎn)動慣量測定常采用動力學(xué)方法如復(fù)擺法等[6]，對于較重的無人機有較大操作難度。當無人機載荷僅發(fā)生增減時，完全可以通過測定重心和載荷分布重新計算轉(zhuǎn)動慣量，簡單、高效。

配重鋼球分布測量難度與模型的尺寸、規(guī)模和鋼球數(shù)量正相關(guān)。當規(guī)模增加時，需考慮采用計算機模擬和一些簡化方法輔助。如可以將模型改為豎直放置，這樣模型裝置可以看成是沿著x軸或y軸的一維結(jié)構(gòu)，就可以通過2個電子天平測量相對于已測得重心位置的質(zhì)量分布，從而得到分布矩陣Tb按列或按行求和的向量。得到行列方向的求和向量之后，再恢復(fù)分布矩陣Tb的難度大大降低。

5 ?實施驗證

為驗證本文設(shè)計是否可以用于實際的重心測量驗證，開發(fā)了一款小尺寸的重心測量互動模型裝置。該重心測量裝置的尺寸為200 mm×200 mm×32 mm。陣列式隔間部分采用5×5的布局，每個隔間可以容納1顆直徑30 mm的精密鋼球，相鄰隔間的距離d為40 mm。隔間部分采用光固化3D打印制作。上下蓋板部分采用1 mm厚度的鋁基板CNC工藝制作，測量則采用了3臺精度為0.01 g的桌面電子秤。整個模型裝置的三維結(jié)構(gòu)和實物如圖3所示。

取10套模型實際測量加工完成后的裝置中各部分的重量值見表1。

從表1可以看出，鋼球的重量精度足夠高，誤差僅0.7‰，打印的陣列隔間的重量誤差最大在3.3‰左右。本文在實際模型中放置了3個鋼球，以滿足式（2）的敏感性要求。然后對3個鋼球的5種分布情況進行了實際測試。測試共采用了3臺紀銘衡器的JM-B500g/0.001 g電子天平，天平測量前均進行了高精度砝碼的校準。每一種配重鋼球分布的測量均采用了3種測量辦法，包括千斤頂法、機輪法、本文提到的面內(nèi)移動法等。然后對測量得到的重心位置和實際重心位置進行誤差分析，并按公式（11）記錄誤差

式中：GT為測量得到的重心坐標；G0為實際的重心位置坐標；d為隔間的中心間距。最終得到測試結(jié)果見表2。

從表2中可以看出，傳統(tǒng)的千斤頂法和機輪法的測量精度總體都是比較好的，在對5種重心分布的測量中誤差均未超過4%，面內(nèi)移動法的測量結(jié)果誤差偏大，并且測量精度存在發(fā)散。表2的結(jié)果表明，本文所設(shè)計的重心測量互動模型裝置能夠有效地用于檢驗重心測量算法的可行性和精度。

此外，利用該測試模型還在基礎(chǔ)力學(xué)課程教學(xué)中開展了“重力盲盒”的互動游戲?qū)嶒?。游戲中，?個配重鋼球按不同分布放置在所制作的模型裝置中，然后通過上下蓋板封閉使之成為一個“盲盒”。學(xué)生使用3個電子秤和自己設(shè)計的重心測試方法，在規(guī)定時間內(nèi)完成重心位置的測量和配重鋼球的分布測定。該實驗不同于一般的驗證實驗，學(xué)生的興趣很高，證明該模型對基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)也有幫助。

6 ?結(jié)束語

無人機重心測量是關(guān)系飛行器安全和操控的重要因素之一。該文提出了一種簡便可靠的，用于重心測量算法可行性和精度驗證的互動模型裝置。裝置利用陣列式隔間和精密鋼球?qū)崿F(xiàn)了對重心分布的精確與多樣調(diào)節(jié)。

參考文獻：

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