基于哈達(dá)瑪矩陣的改進(jìn)部分傳輸序列算法

郭偉 劉浩

摘要：部分傳輸序列（Partial Transmit Sequences，PTS）是一種常用的降低正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系統(tǒng)峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）的方法，其能確保不給系統(tǒng)帶來(lái)信號(hào)畸變。PTS算法的遍歷特點(diǎn)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度大幅提高，文章提出的基于哈達(dá)瑪矩陣的改進(jìn)PTS算法將在很大程度上保障信號(hào)PAPR的性能，降低計(jì)算的復(fù)雜度。

關(guān)鍵詞：正交頻分復(fù)用；峰均功率比；部分傳輸序列

中圖分類號(hào)：TN929文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于無(wú)線通信領(lǐng)域^[1]。然而，由于系統(tǒng)的疊加，所出現(xiàn)的較高峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）將使信號(hào)失真，提高了信號(hào)的誤碼率。因此，PAPR問(wèn)題已經(jīng)成為OFDM技術(shù)實(shí)用化的一大障礙^[2]。

對(duì)于一個(gè)包含N個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，在一個(gè)符號(hào)時(shí)間間隔內(nèi)，其基帶離散時(shí)間信號(hào)可表示為：

其中，X_k（k=0，1，…，N-1）是由信號(hào)經(jīng)調(diào)制后得到的頻域信號(hào)，x_n是經(jīng)OFDM調(diào)制后信號(hào)，n是離散的時(shí)間點(diǎn)。系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)功能時(shí)，由于信號(hào)的相互疊加，導(dǎo)致較大的PAPR。本文提出的基于哈達(dá)瑪矩陣的改進(jìn)PTS算法將在很大程度上保障信號(hào)PAPR的性能，降低了計(jì)算的復(fù)雜度。

1 傳統(tǒng)PTS算法存在的問(wèn)題

目前，在常用的有效降低信號(hào)PAPR的方法中，部分傳輸序列（Partial Transmission Sequence，PTS）是最常用且有效的方法，但其應(yīng)用會(huì)增加系統(tǒng)的復(fù)雜度。PTS原理如圖1所示。

首先，OFDM系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分割后，進(jìn)行快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）。然后，信號(hào)與系統(tǒng)優(yōu)化相位因子序列合并。最后，對(duì)每種組合進(jìn)行遍歷后，計(jì)算和選擇信號(hào)PAPR。

以上述實(shí)現(xiàn)過(guò)程為例，對(duì)于傳統(tǒng)PTS算法，其總計(jì)需要完成：W^V-1次系統(tǒng)優(yōu)化與分割信號(hào)的乘法運(yùn)算；W^V-1次V分割信號(hào)的加法運(yùn)算；W^V-1次篩選排序；將以上計(jì)算復(fù)雜度設(shè)置為基準(zhǔn)單位C=W^V-1。由此可得結(jié)論：分塊數(shù)V和相位因子取值個(gè)數(shù)W中任意一個(gè)增加，都會(huì)給傳統(tǒng)PTS算法的計(jì)算復(fù)雜度帶來(lái)指數(shù)型增長(zhǎng)。

2 改進(jìn)原理及實(shí)現(xiàn)步驟

2.1 原理1

考慮到系統(tǒng)優(yōu)化的遍歷與最原始的數(shù)據(jù)有較大關(guān)聯(lián)，結(jié)合哈達(dá)瑪矩陣的特性^[3]，即任意2行都是不相關(guān)且正交的，原理如下所述。

最低階的哈達(dá)瑪矩陣為：

其中，N=2^m，U為直積。根據(jù)矩陣特點(diǎn)，改變矩陣中的任意數(shù)據(jù)，不會(huì)影響整體的正交性質(zhì)。

2.2 原理2

傳統(tǒng)的PTS算法是在整個(gè)過(guò)程中遍歷全部可能取得的最優(yōu)解，導(dǎo)致算法具有較大的計(jì)算復(fù)雜度^[4-5]。對(duì)于傳統(tǒng)的迭代線性搜索算法，實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：首先，系統(tǒng)隨機(jī)確定一個(gè)點(diǎn)；然后，在該點(diǎn)的附近不斷計(jì)算更優(yōu)解；最后，確定算法的極值^[6]。

以圖2所示搜索最大值的方法找到算法極值，具體實(shí)現(xiàn)方法為：首先，在曲線上選定一點(diǎn)；然后，用比較算法不斷計(jì)算附近區(qū)域的更大值；最后，確定曲線的極大值點(diǎn)。顯然，隨機(jī)初始化點(diǎn)的選擇對(duì)極大值的選定至關(guān)重要。例如：設(shè)點(diǎn)E為初始化點(diǎn)，在對(duì)比附近極大值的過(guò)程中，迭代線性搜索算法最終確認(rèn)的極大值點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)F顯然不是曲線的最大點(diǎn)。

傳統(tǒng)的PTS遍歷搜索算法過(guò)程相當(dāng)于在二維空間中尋找最大值點(diǎn)H的過(guò)程。迭代移位線性搜索算法初始化相位因子就相當(dāng)于在整條曲線上隨機(jī)選取一點(diǎn)，然后，用搜索算法找到該點(diǎn)附近的極大值點(diǎn)。

2.3 改進(jìn)算法的實(shí)現(xiàn)原理和步驟

改進(jìn)算法流程如圖3所示。在信號(hào)處理前，首先，對(duì)系統(tǒng)優(yōu)化因子進(jìn)行哈達(dá)瑪矩陣處理，處理完成后的每行矩陣系統(tǒng)優(yōu)化因子均不相關(guān)且正交；然后，采用加工后的系統(tǒng)優(yōu)化因子對(duì)分割信號(hào)進(jìn)行合并優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)最小PAPR的1組數(shù)據(jù)作為初始值，記錄該組最小PAPR的優(yōu)化后相位因子，將其作為傳統(tǒng)迭代算法的1組原始系統(tǒng)優(yōu)化因子；最后，不斷優(yōu)化迭代線性搜索算法，隨著迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)PAPR性能趨向于傳統(tǒng)的PTS算法^[7]。由于哈達(dá)瑪矩陣的特性，系統(tǒng)優(yōu)化因子具有更好的正交特性，極大地優(yōu)化了初始位置的選擇，從而減少了系統(tǒng)優(yōu)化因子的遍歷過(guò)程，大幅降低了計(jì)算的復(fù)雜度。

3 計(jì)算復(fù)雜度分析

基于上述分析，在最優(yōu)解算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中主要完成如下運(yùn)算：W×V×n次系統(tǒng)優(yōu)化與分割信號(hào)的乘法運(yùn)算；W×V×n次V分割信號(hào)的加法運(yùn)算；W×V×n次選擇操作。在本算法中，哈達(dá)瑪矩陣對(duì)系統(tǒng)優(yōu)化因子進(jìn)行篩選的過(guò)程可用于產(chǎn)生原始系統(tǒng)的優(yōu)化因子，根據(jù)初始系統(tǒng)優(yōu)化因子的組數(shù)進(jìn)行m次迭代，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的解。因此，改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度為C_PTS-MISLS-H=C_MISLS=m×W×V×n。

綜上所述，改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度與原始算法的系統(tǒng)優(yōu)化因子組數(shù)成正比；相對(duì)于傳統(tǒng)算法，改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度C=W^V-1大幅降低。

4 性能分析

傳統(tǒng)PTS和本文提出的改進(jìn)PTS算法的PAPR性能對(duì)比如圖4所示。

由圖可知，在分組數(shù)相同的情況下，本文提出的改進(jìn)算法通過(guò)哈達(dá)瑪矩陣對(duì)系統(tǒng)優(yōu)化因子的初始化進(jìn)行篩選，結(jié)合不同迭代優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的PAPR性能；同時(shí)，在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，根據(jù)初始系統(tǒng)優(yōu)化因子的組數(shù)進(jìn)行m次迭代，改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度與原始算法的系統(tǒng)優(yōu)化因子組數(shù)成正比；相較于傳統(tǒng)PTS算法的復(fù)雜度呈指數(shù)型增加，改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度隨V值變化不明顯。

5 結(jié)語(yǔ)

在矩陣的改進(jìn)系統(tǒng)優(yōu)化因子的基礎(chǔ)上，本文提出的改進(jìn)算法通過(guò)系統(tǒng)迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)最優(yōu)PAPR性能。與傳統(tǒng)PTS算法相比，本文提出的改進(jìn)算法既能提高PAPR計(jì)算性能，又能降低系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜度。

參考文獻(xiàn)

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（編輯 王永超編輯）

Improved partial transmission sequence algorithm based on Hadamard matrix

Guo? Wei¹， Liu? Hao^2*

（1.Rizhao Radio Monitoring Station， Rizhao 276800， China; 2.Rizhao Jiaoneng Electric Power Engineering

Co.， Ltd.， Rizhao 276800， China）

Abstract：? PTS （Partial Transmission Sequence） is a commonly used method to reduce the PAPR（Peak-to-Average Power Ratio）of OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）system， which ensures not to cause signal distortion for the system. The traversal characteristics of PTS algorithm result in a significant increase in computational complexity. The improved PTS algorithm based Hadamard matrix proposed in this paper greatly ensures the signal PAPR performance while significantly reduces the complexity of the calculation process.

Key words： orthogonal frequency division multiplexing; peak to average power ratio; partial transmission sequence